个人收集整理仅供参考学习1 / 18 立体几何专题全解第一讲空间几何体新课标数学高考考试大纲中对“空间几何体”部分的要求： 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.资料个人收集整理，勿做商业用途 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. 一、基础知识梳理：1。多面体： 由若干个 _围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的_,相邻两个面的公共边叫做多面体的_,棱与棱的公共点叫做多面体的_.资料个人收集整理，勿做商业用途2。棱柱： 有两个面互相 _，其余各面都是_，并且每相邻两个四边形的公共边都_，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做 _,其余各面叫做 _.资料个人收集整理，勿做商业用途棱柱的性质：侧棱都 _，侧面是 _；两个底面与平行于底面的截面是 _；过不相邻的两条侧棱的截面是_。资料个人收集整理，勿做商业用途3。棱锥： 有一个面是 _，其余各面都是有一个公共顶点的_，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。底面是_，且各侧面 _的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质： 各侧棱 _，各侧面都 _；顶点在底面上的射影是底面正多边形的_。 棱锥的高、 斜高和 _组成一个直角三角形，棱锥的高、_和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。资料个人收集整理，勿做商业用途4。棱台： 用一个 _的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： 各侧棱 _，各侧面都是 _；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是的正多边形；正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和_组成一个直角梯形，两底面中心连线、_和两底面相应的半径也组成一个直角梯形，资料个人收集整理，勿做商业用途5。旋转体： 由一个平面图形绕_旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的_，资料个人收集整理，勿做商业用途6。圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。旋转轴叫做它们的_，在轴上这边的长度叫做它们的 _；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做它们的_；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的_；无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的_。圆柱、 圆锥、 圆台的性质： 平行于底面的截面都是圆；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习2 / 18 过轴的截面 (轴截面 )分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。注： 在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用到弧长公式Rl资料个人收集整理，勿做商业用途7.球:以半圆的 _为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简称球 )球的截面性质: 球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r，有下面的关系：_。资料个人收集整理，勿做商业用途8。简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图(正视图 )。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，资料个人收集整理，勿做商业用途投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图 )。三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下方，长度与俯视图一样，左视图放在主视图的右方，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样。即“长对正，高平齐，宽相等”。资料个人收集整理，勿做商业用途9。斜二测画法的画图规则：在已知图形中取互相垂直的两轴Ox,Oy, 画直观图时，把它画成对应的轴yOxO,，使yOx=45O (或 135o) .已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中画成平行于x轴、y轴的线段；平行于x 轴的线段保持长度不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的一半，资料个人收集整理，勿做商业用途10。 旋转体的侧面积：圆柱侧S=_ , 圆锥侧S=_ , 圆台侧S=_ , 球面S=_ .资料个人收集整理，勿做商业用途11。空间几何体的体积：柱体V=_ , 锥体V=_ , 台体V=_ , 球V=_ .资料个人收集整理，勿做商业用途二、典型例题：例 1.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段， 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和 b的线段，则a + b 的最大值为（）资料个人收集整理，勿做商业用途A. 22B. 32C. 4 D.52例 2.在棱长为1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=（0 1） ，则点G到平面D1EF的距离为（）资料个人收集整理，勿做商业用途A.3 B.22C.32D.55例 3. 如果圆台的母线与底面成60角 ,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A2B23C332D21例 4。一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为资料个人收集整理，勿做商业用途例5.已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图 )是一个底边长为 8、高为 4的等腰三角形，侧视图(或称左视图 )是一个底边长为6、高为 4的等腰三角形资料个人收集整理，勿做商业用途(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积 S 三、基础训练：1将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 A，B，C 分别是GHI 三边的中点） 得到几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图 )为( )资料个人收集整理，勿做商业用途2已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习3 / 18 面得两个圆若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A1 B2C3D 2 3.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）资料个人收集整理，勿做商业用途A.433B.33C.43D.1234下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）ABCD5已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，2ACr，则球的体积与三棱锥体积之比是（）2346.设M是球心O的半径OP的中点，分别过,M O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：( ) .41.12 . .23.347.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 .资料个人收集整理，勿做商业用途8.如图所示 ,四棱锥 P-ABCD的底面 ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径 , ABD=60 ， BDC=45o.PD 垂直底面ABCD ， PD=R22. E,F分别是 PB,CD 上的点 ,且FCDFEBPE,过点 E 作 BC 的平行线交PC 于 G. (1)求 BD 与平面 ABP 所成角的正切值 ;资料个人收集整理，勿做商业用途(2)证明 : EFG 是直角三角形 ; (3)当21EBPE时,求 EFG 的面积 . 四、巩固练习：1.如图， 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）资料个人收集整理，勿做商业用途A.63B. 2 65C. 155D. 1052若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A.3B.33C.6D.93、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为 16，则这个球的表面积是（）A16B20C24D324.一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么， 这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 ( )资料个人收集整理，勿做商业用途A.34B.45C.35D.35资料个人收集整理，勿做商业用途5设,M N是球心O的半径OP上的两点，且NPMNOM，分别过,N M O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( )资料个人收集整理，勿做商业用途.3,5,6.3,6,8. 5,7,9.5,8,96.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .7若一个底面边长为62，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为8请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥 （如右图所示） 。 试问当帐篷的顶点O到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？资料个人收集整理，勿做商业用途正方形圆锥三棱台 正 四 棱精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习4 / 18 五、思路总结1.几种常凸多面体间的关系2.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质表一：名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形表二：名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有 一 个 面 是 多边形，其余各面是 有 一 个 公 共顶 点 的 三 角 形的多面体底面是正多边形，且 顶点 在底面的射 影是 底面的射影 是底 面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相 交 于 一 点 但不一定相等相 交于 一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习5 / 18 侧面的形状三角形全 等的 等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与 底 面 相 似 的多边形与 底面 相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心； 侧棱与底面、 侧面与底面、 相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分3三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等4画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。资料个人收集整理，勿做商业用途第二讲空间直线和平面新课标数学高考考试大纲中对“空间直线与平面”部分的要求：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习6 / 18 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理 . 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内 . 公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 . 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 . 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理，并能够证明：如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直， 那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 一、基础知识梳理：1。两异面直线及所成的角：_的两条直线 ,叫做异面直线 ,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线aa,bb,我们把a与b所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线a与b所成的角 (或夹角 ).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.资料个人收集整理，勿做商业用途2。直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足 O 和斜足 A 的直线AO 叫做斜线在这个平面上的射影。资料个人收集整理，勿做商业用途平面的一条斜线和_所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 。一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是_。一条直线和平面平行，或在平面内， 我们说它们所成的角是_.资料个人收集整理，勿做商业用途3。二面角： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的_， 这两个半平面叫做二面角的_。 在二面角l的棱l上任取一点O，以点 O 为垂足， 在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA 和 OB ，则射线 OA 和 OB 构成的AOB 叫做 二面角的平面角。资料个人收集整理，勿做商业用途二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二、典型例题：例 1如图， 在正四棱柱1111ABCDA B C D中，E、F 分别是11ABC、B的中点，则以下结论中不成立的是( ) A1EFBB与垂直B. EFBD与垂直C. EF与CD 异面D. EF11与A C异面例 2.在直三棱柱ABC A1B1C1中， AB=BC=2，BB1=2，90ABC，E、F 分别为 AA1、C1B1的中点， 沿棱柱的表面从E 到 F 两点的最短路径的长度为. 资料个人收集整理，勿做商业用途例 3.已知菱形ABCD中，2AB，120A， 沿对角线BD将ABD折起，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习7 / 18 ABCDP使二面角ABDC为120，则点A到BCD所在平面的距离等于例 4如图，四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为矩形， AB=8 ， AD=43，侧面 PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60 . （）求四棱锥 PABCD 的体积；（）证明 PA BD. 三、基础训练：1已知,m n是两条不同直线，,是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A,mnmn若则B,若则C,mm若则D,mnmn若则2.已知平面平面，= l，点 A， Al，直线 ABl，直线 AC l，直线 m， m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）资料个人收集整理，勿做商业用途A. AB mB. AC mC. AB D. AC 3 已知 P 为平面 a 外一点，直线la,点 Ql,记点 P 到平面 a 的距离为a,点 P到直线 l 的距离为b，点 P、Q 之间的距离为c，则（）资料个人收集整理，勿做商业用途A.cbaB.cbaC.bcaD.acb4如图，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为4和6，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A、B，则ABAB的值为（）A.2 1 B.3 1 C.3 2 D.4 3 5已知平面和平面交于直线l，P 是空间一点， PA ，垂足为A，PB，垂足为 B，且 PA=1 ，PB=2 ，若点 A 在内的射影与点B 在内的射影重合，则点 P 到l的距离为。资料个人收集整理，勿做商业用途6已知平面,和直线，给出条件：/m；m；m；/. （i）当满足条件时，有/m；（ii）当满足条件时，有m.（填所选条件的序号）7三棱锥PABC 中，侧面PAC 与底面 ABC 垂直， PA=PB=PC=3. (1) 求证 AB BC ； (2) 如果 AB=BC=32，求侧面PBC 与侧面 PAC 所成二面角的大小.资料个人收集整理，勿做商业用途8如图，已知平行六面体ABCD-1111DCBA的底面 ABCD 是菱形，且CBC1=BCDCDC1。（I）证明：CC1 BD ；（II）当1CCCD的值为多少时，能使CA1平面BDC1？请给出证明。四、巩固练习：1 设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平面与平面垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面平行D与直线m平行的平面不可能与平面垂直2.设ab，为两条直线 ,，为两个平面 ,下列四个命题中，正确的命题是 ( ) A若ab，与所成的角相等，则abB若a，b，则abC若a，b，ab，则D若a，b，则ab3给出下列四个命题: 垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行. 若直线12,ll与同一平面所成的角相等,则12,ll互相平行 .若直线12,ll是异面直线 ,则与12,l l都相交的两条直线是异面直线.其中假A B ABP C A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习8 / 18 命题的个数是（）资料个人收集整理，勿做商业用途A.1 B.2 C.3 D.4 4设、为平面，lnm、为直线，则m的一个充分条件是( )A.lml,B.,mC.m,D.mnn,5 设 P 是60的二面角l内一点，,PAPB平面平面,A,B为垂足，4,2,PAPB则 AB 的长为： （）A.2 3B .2 5C.2 7D.4 26在四面体ABCD 中， CB= CD, AD BD ，且 E ,F 分别是 AB,BD 的中点，求证： （）直线EF 面ACD ；（）面 EFC 面BCD 7.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知28BDAD，24 5ABDC（）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；（）求四棱锥PABCD的体积第三讲空间向量与立体几何新课标数学高考考试大纲中对“空间向量与立体几何”部分的要求：（1）空间向量及其运算了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 . （2）空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、 平面与平面的垂直、平行关系 . 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、 平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.资料个人收集整理，勿做商业用途一、基础知识归纳：1.向量的数量积：已知非零向量b, a，则b,acos|b|a|ba叫做ba与的数量积。2.两向量夹角的求法：|b|a|bab, acos，立体几何中有关夹角的问题，一般用此式解决。3. ab0ba4.已知两点A(x1,y1，z1),B(x2,y2,z2)，则向量)zz,yy,xx(AB121212, 线段 AB 的中点 M 的坐标是2zz,2yy,2xx212121，A,B 两点间的距离是212212212)zz()yy()xx(|AB|4.若)z,y,x(b),z,y,x(a222111，则212121zzyyxxba. 5.用空间向量解决立体几何问题的“三部曲” ：(1)化为向量问题:建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)进行向量运算:通过向量运算 ,研究点、 直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角问题；(3)回到向量问题:把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。6.设 A， B，平面的法向量是n，直线 AB 与平面所成的角是，则|n,ABcos|sin7.设 A， B，平面的法向量是n，点 A 到平面的距离A B C M P D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习9 / 18 |n|nAB|n,ABcos|AB|d二、典型例题：例 1 如图， 在四棱锥OABCD中， 底面ABCD是边长为 1 的菱形，4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点，N为BC的中点。（）证明：直线MNOCD平面；（）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。例 2 如图，正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2，D 为 CC1中点。（1）求证： AB1面 A1BD；（ 2）求二面角AA1DB 的大小；（3）求点 C 到平面 A1BD 的距离。三、基础训练：1如图 ,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直， BE/CF ，BCF=CEF=90,AD=3,EF=2 。（） 求证：AE/ 平面 DCF ；资料个人收集整理，勿做商业用途（）当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为60？2.如图 5 所示，AF、DE分别世O、1O的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，8AD.BC是O的直径，6ABAC,/OEAD. (I)求二面角BADF的大小；(II)求直线BD与EF所成的角 .资料个人收集整理，勿做商业用途四、巩固练习：1如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1 的菱形，060BCD，E 是 CD 的中点， PA底面 ABCD ，3PA。（I）证明：平面PBE平面 PAB；（II）求二面角ABEP 和的大小。2.如图 ,在直四棱柱1111ABCDA B C D中 , 已知122DCDDADAB,ADDC，ABDC（）设E是DC的中点，求证：1D E 平面BDA1；（）求二面角11ABDC的余弦值3.在三棱锥SABC 中， ABC 是边长为4 的正三角形， 平面 SAC 平面 ABC ，SA=SC=23， M、N 分别为 AB、SB 的中点。资料个人收集整理，勿做商业用途（）证明：AC SB；（）求二面角 NCMB 的大小；（）求点 B 到平面 CMN 的距离 . 第一讲空间几何体（参考答案）二、典型例题：例 1.C. 例 2. D例 3. C 例4、43. 例5.【解析】（1）画出直观图并就该图作必要的说明. 3分(2)64V 7分(3)4024 2S 12分资料个人收集整理，勿做商业用途B C D A 1A1D1C1BE 图 5 ABCFDEO1OPABCEDNMABDCOD A B E F C H G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习10 / 18 三、基础训练：1A 2C3. C 4D5D 6. D7.30O资料个人收集整理，勿做商业用途8. 解：PD 底面ABCD PD AB， BD 是圆的直径 , AD AB，又 PD AD=D AB 平面ADP 又 AB平面 ABP 平面ABP 平面ADP ，且平面 ABP 平面ADP=PA. 在平面 ADP 内作 DH PA, 垂足为 H,则 DH 平面 ABP, 连结 BH, 则 DBH 就是 BD 与平面 ABP 所成角,即 DBH=. 在 Rt ABD 中， BD=2R ，所以 AD=3R. 在 Rt ADP 中，DH PA, PD=22R， AD=3R, 则 AP=R11DH=RAPDPAD1162, 在 Rt BHD 中， BD=2R ，DH=R1162,所以BH=RRRDHBD1152112442222530tanBHDH. (2)证明 : EG BC, GCPGEBPE, 又已知FCDFEBPEFCDFGCPG GF PD 又由 PD底面 ABCD, 可知 PD BC ， EG GF EFG 是直角三角形 . (3)当21EBPE时,由平行线截割定理可知,31PBPEBCEG,32BPBECPCGPDGF, 在 BCD 中, BDC=45o BD=2R, 所以 BC=2R, 又 PD=22R， EG=32R, GF=324R. 所以EFG 的面积为294324322121RRRGFEGSEFG. 解法 2：以 A 为原点，分别以AB、AD 所在的直线为x、y 轴，建立空间直角坐标系 .(略) 四、巩固练习：1。 D. 2 A 3、C4.C. 5. D. 6.9. 7348解：设 OO1为 x m, 则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）22228) 1(3xxx于是底面正六边形的面积为（单位：m2）222x2x8233x2x8436底S。帐篷的体积为（单位：m3）233 313( )(82)(1) 1(16 12)232V xxxxxx求导数，得23( )(123)2Vxx令( )0Vx解得 x=-2( 不合题意，舍去),x=2. 当 1x2 时，( )0Vx,V(x) 为增函数；当 2x4 时，( )0Vx,V(x) 为减函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习11 / 18 图2ABCDPOEF所以当 x=2 时,V(x) 最大。答当 OO1为 2m 时，帐篷的体积最大。第二讲空间直线和平面 (参考答案 )二、典型例题：例 1D. 例 2.223例 3.32例 4解： （）取AD 的中点 E，连结 PE，则 PE AD.作 PO 平面在 ABCD ，垂足为O，连结 OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE AD，所以PEO为侧面 PAD 与底面所成的二面角的平面角，资料个人收集整理，勿做商业用途由已知条件可知 PEO=60 ， PE=6 ，所以 PO=33，四棱锥 PABCD 的体积VP ABCD=.963334831（） 解： 如图 2， 连结 AO， 延长 AO 交 BD 于点 F.通过计算可得EO=3 ， AE=23，又知 AD=43，AB=8 ，得.ABADAEEO所以Rt AEO Rt BAD. 得 EAO= ABD. 所以EAO+ ADF=90 , 所以AF BD. 因为直线 AF 为直线 PA 在平面ABCD 内的射影，所以PA BD.资料个人收集整理，勿做商业用途三、基础训练：1D2. D. 3. A 4A 55。6 ( ) ( ) 资料个人收集整理，勿做商业用途7 （） 证明：如图 1，取 AC 中点 D，连结 PD、BD. 因为 PA=PC ， 所以 PD AC， 又已知面 PAC面ABC ，所以 PD 面ABC ， D 为垂足 . 因为 PA=PB=PC ，所以 DA=DB=DC ，可知 AC 为 ABC 的外接圆直径，因此AB BC. （）解：如图 2，作 CF PB 于 F，连结 AF、DF. 因为PBC PBA ，所以 AF PB， AF=CF. 因此， PB平面AFC ，所以面 AFC 面PBC ，交线是CF ，因此直线AC 在平面 PBC 内的射影为直线CF ， ACF 为 AC 与平面 PBC 所成的角 . 在 Rt ABC 中， AB=BC=23，所以 BD=.6在 Rt PDC 中， DC=.3,6 PD在 Rt PDB 中，.2363PBDBPDDF在 Rt FDC 中，,3362tanDCDFACF所以ACF=30 . 即 AC 与平面 PBC 所成角为30 . 8.（）证明：连结1A1C、AC和BD交于O，连结OC1。四边形 ABCD 是菱形，ACBD，BC=CD。又BC1C=1DCC，CC1=CC1，DCCBCC11，1CB=1CD，OBDOBDOC1，但OOCACBDAC1,，BD平面1AC。 又CC1平面1AC，CC1BD。（）当11CCCD时，能使CA1平面BDC1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习12 / 18 QENMABDCOP证明一：11CCCD，CCCDBC1，又CDCCBCBCD11，由此可推得DCBCBD11。三棱锥BDCC1是正三棱锥。设CA1与OC1相交于G。 ACCA/11，且11CA：2OC：1，GC1：GO=2：1。又OC1是正三角形BDC1的BD边上的高和中线，点G是正三角形BDC1的中心，CG平面BDC1，即CA1平面BDC1. 证明：由（）知，BD平面1AC，CA1平面1AC，CABD1. 当11CCCD时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同CABD1的正法可得CABC11。又BBCBD1，CA1平面BDC1。四、巩固练习：1B2. D 3D 4D。5C. 6 【解析】（）E,F 分别是 AB,BD 的中点， EF 是 ABD 的中位线， EF AD ， EF面 ACD ， AD面 ACD ，直线 EF面ACD （）AD BD ，EF AD ， EF BD. CB=CD, F 是 BD 的中点， CF BD. 又 EFCF=F ， BD面EFC BD面 BCD ，面EFC 面BCD 7 （）证明：在ABD中，由于4AD，8BD，4 5AB，所以222ADBDAB故ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD（）解：过P作POAD交AD于O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD因此PO为四棱锥PABCD的高，又PAD是边长为4 的等边三角形因此342 32PO在底面四边形ABCD中，ABDC，2ABDC，所以四边形ABCD是梯形，在RtADB中，斜边AB边上的高为4 88 554 5，资料个人收集整理，勿做商业用途此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为2 54 58 52425S故1242 316 33PABCDV第三讲空间向量与立体几何(参考答案 )二、典型例题：例 1方法一（综合法）（1）取 OB 中点 E，连接 ME，NE MECDMECD，AB,AB又,NEOCMNEOCD平面平面MNOCD平面（2）CD AB,MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作,APCDP于连接MPA B C M P D O A B C M P D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习13 / 18 xyzNMABDCOP平面A BCD，OACDMP2,42ADP DP=222MDMAAD，1cos,23DPMDPMDCMDPMD所以AB与MD所成角的大小为3（3）AB平面OCD,点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等， 连接 OP, 过点A 作AQOP于点 Q，,APCD OACDCDOAPAQCD平面又,AQOPAQOCD平面,线段 AQ 的长就是点A 到平面 OCD 的距离资料个人收集整理，勿做商业用途2222213 24122OPODDPOAADDP，22APDP222233 22OA APAQOP， 所以点 B 到平面 OCD 的距离为23方法二 (向量法 ) 作APCD于点 P,如图 ,分别以 AB,AP,AO所在直线为, ,x y z轴建立坐标系22222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0, 2),(0, 0,1),(1,0)22244ABPDOMN, (1)22222(1, 1),(0, 2),(, 2)44222MNOPOD设平面 OCD 的法向量为( , , )nx y z,则0,0n OPn OD即2202222022yzxyz取2z,解得(0, 4,2)n22(1, 1) (0, 4,2)044MN nMNOCD平面(2)设AB与MD所成的角为,22(1,0,0),(, 1)22ABMD1cos,23AB MDABMD,AB与MD所成角的大小为3(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为d,则d为OB在向量(0, 4,2)n上的投影的绝对值 , 由(1,0, 2)OB, 得23OB ndn.所以点 B 到平面 OCD 的距离为23例 2.解法一：（）取BC中点O，连结AOABC为正三角形，AOBC正 三 棱 柱111AB CA B C中 ， 平 面ABC平面11BCC B，AO平面11BCC B连结1B O， 在正方形11BB C C中，OD，分别为1BCCC，的中点，1B OBD，1A BB D在 正 方 形11ABB A中 ，11ABA B，1AB 平面1A BDA B C D 1A1C1BO F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习14 / 18 （） 设1AB与1A B交于点G， 在平面1A BD中， 作1GFA D于F， 连结AF，由（）得1AB 平面1A BD1AFA D，AFG为二面角1AA DB的平面角在1AA D中，由等面积法可求得4 55AF，又1122AGAB，210sin44 55AGAFGAF所以二面角1AA DB的大小为10arcsin4（）1A BD中，11152 26A BDBDADABS，1BCDS在正三棱柱中，1A到平面11BCC B的距离为3设点C到平面1A BD的距离为d由11ABCDCA BDVV得111333BCDA BDSSd，1322BCDA BDSdS点C到平面1A BD的距离为22解 法 二 ： （ ） 取BC中 点O， 连 结AOABC为 正 三 角 形 ，AOBC在正三棱柱111ABCA B C中，平面ABC平面11BCC B，AO平面11BCC B取11B C中点1O，以O为原点，OB，1OO，OA的方向为xyz， ，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(10 0)B ，( 11 0)D， ，1(0 23)A， ，(0 03)A，1(12 0)B，1(123)AB， ，( 21 0)BD， ，1( 123)BA， ，12200AB BD，111430AB BA，1ABBD，11ABBA1AB 平面1A BD（）设平面1A AD的法向量为()xyz， ，n( 113)AD， ，1(0 2 0)AA， ，ADn，1AAn，100ADAA，nn3020xyzy，03yxz，令1z得(3 0 1)，n为平面1A AD的一个法向量由（）知1AB 平面1A BD，1AB为平面1A BD的法向量cosn，11133642 22ABABABnn二面角1AA DB的大小为6arccos4（）由（ ） ，1AB为平面1ABD法向量，1( 2 0 0)(123)BCAB， ，点C到平面1A BD的距离112222 2BC ABdAB三、基础训练：1方法一：（）证明：过点E作EGCF交CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形，所以ADEG，从而x z A B C D 1A1C1BO F y D A B E F C H G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习15 / 18 四边形ADGE为平行四边形，故AEDG因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE平面DCF（）解：过点B作BHEF交FE的延长线于H，连结AH由平面ABCD平面BEFC，ABBC，得AB平面BEFC，从而AHEF所以AHB为二面角AEFC的平面角在RtEFG中，因为3EGAD，2EF， 所以60CFE，1FG又因为CEEF，所以4CF，从而3BECG于是3 3sin2BHBEBEH因为tanABBHAHB，所以当AB为92时，二面角AEFC的大小为60方法二：如图，以点C为坐标原点，以CBCF，和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系Cxyz设ABaBEbCFc，则(0 0 0)C，( 3 0)Aa，( 3 0 0)B，( 30)Eb， ，(00)Fc， ，（）证明：(0)AEba， ，( 3 0 0)CB，(00)BEb， ，所以0CB CE，0CB BE，从而CBAE，CBBE，所以CB平面ABE因为CB平面DCF，所以平面ABE平面DCF故AE平面DCF（） 解： 因为(30)EFcb，(30)CEb， ，所以0EF CE，| 2EF，从而23()03()2b cbcb，解得34bc，所以(3 3 0)E， ，(0 4 0)F，设(1)nyz， ，与平面AEF垂直，则0n AE，0n EF，解得3 3(13)na， ，又因为BA平面BEFC，(0 0)BAa，所以2|3 31|cos|2| |427BA nan BABAnaa，得到92a所以当AB为92时，二面角AEFC的大小为602.解： ( ) AD 与两圆所在的平面均垂直, AD AB, AD AF, 故 BAF 是二面角BAD F 的平面角，依题意可知，ABCD 是正方形，所以 BAF 450. 即二面角BADF 的大小为 450；( )以 O 为原点， BC、AF、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O(0,0,0) ， A(0,23,0) ， B(23,0,0 ） ,D（0,23,8） ，E(0,0,8) ，F(0,23,0) 所以，)8 ,23, 0(),8 ,23,23(FEBDD A B E F C y z x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习16 / 18 10828210064180|,cosFEBDFEBDEFBD设异面直线BD 与 EF 所成角为，则1082|,cos|cosEFBD直线BD与EF 所成的角为1082arccos四、巩固练习：1解：解法一（I）如图所示 , 连结,BD由ABCD是菱形且060BCD知，BCD是等边三角形. 因为 E是 CD 的中点，所以,BECD又,ABCD/ /所以,BEAB又因为 PA平面 ABCD ，BE平面 ABCD ，所以,BEPA而,ABAPA因此BE平面 PAB. 又BE平面 PBE ， 所以平面 PBE平面PAB.资料个人收集整理，勿做商业用途（II）由（ I）知，BE平面 PAB, PB平面 PAB, 所以.PBBE又,BEAB所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中, tan3,60.PAPBAPBAAB故二面角ABEP的大小为60.解法二：如图所示,以 A 为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是(0 0 0),A，(10 0),B ，33(0),22C，13(0),22D，(0 03),P，3(10).2E ，（I） 因为3(0,0),2BE，平面 PAB 的一个法向量是0(01 0),n， ，所以BE和0n共线 .从而BE平面 PAB. 又因为BE平面 PBE ， 所以平面 PBE平面 PAB.资料个人收集整理，勿做商业用途（II） 易知3(10,3),(0,0),2PBBE，设1n111()xyz， ，是平面 PBE 的一个法向量 , 则由1100nPBnBE，得11111103030002xyzxyz，所以1113 .yxz=0，故可取1n(3 0 1).，而平面 ABE 的一个法向量是2(0 01).n， ，于是 ,1212121cos,.2| |nnn nnn故二面角ABEP的大小为60.2.【答案】 :(I)连结BE，则四边形DABE为正方形，11BEADA D，且11BEADA D，11A D EB四边形为平行四边形，11D EA B. 1111D EA BDA BA BD平面，平面，11.D EA BD平面(II) 以 D 为原点，1,DA DC DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设1DA，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0, 2,2),(1,0,2).DABCA1(1 ,0,2),(1,1,0).DADB设( , )nx y z为平面1A BD的一个法向量，由1,nDA nDB得B C D A 1A1D1C1BE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习17 / 18 200xyxy，取1z，则( 2,2,1)n. 设111(,)mx y z为平面1C BD的一个法向量，由,mDC mDB得11112200yzxy，取11z,则(1, 1,1)m.33cos,.393m nm nm n由于该二面角11ABDC为锐角，所以所求的二面角11ABDC的余弦值为3.33解法一：（）取AC 中点 D，连结 SD 、DB. SA=SC ，AB=BC ， AC SD 且AC BD， AC平面SDB ， 又 SB平面 SDB ， AC SB.资料个人收集整理，勿做商业用途（） AC 平面SDB ， AC平面ABC ，平面 SDB 平面ABC. 过 N 作 NE BD 于 E，NE 平面ABC ，过 E 作 EF CM 于 F，连结NF，则 NF CM. NFE 为二面角N-CM-B 的平面角 .平面SAC 平面ABC ，SD AC ， SD平面 ABC.又 NE 平面 ABC ， NE SD.资料个人收集整理，勿做商业用途 SN=NB ， NE=21SD=2122ADSA=21412=2，且 ED=EB. 在正ABC 中，由平几知识可求得EF=41MB=21，在 Rt NEF 中， tan NFE=EFEN=22，二面角 N-CM-B 的正切值等于22.资料个人收集整理，勿做商业用途（）在 Rt NEF 中， NF=22ENEF=23， S CMN=21CM NF=233，S CMB=21BM CM=23. 设点 B 到平面 CMN 的距离为h， VB-CMN=VN-CMB，NE 平面CMB ，31S CMN h=31S CMB NE ， h=CMNCMBSNES=324.即点 B 到平面 CMN 的距离为324. 解法二：（）取AC 中点 O，连结OS 、OB. SA=SC ，AB=BC ， AC SO 且 AC BO. 平面 SAC 平面ABC ，平面 SAC平面 ABC=AC SO面ABC ， SO BO. 如图所示建立空间直角坐标系O-xyz. 则 A（2，0，0） ，B（0，23，0） ，C（-2，0，0） ，S（0，0， 22） ，M(1 ，3，0)，N(0 ，3，2). AC=（-4，0，0） ，SB=（0， 23，22） ，ACSB=（-4，0，0） （0，23，22）=0， AC SB. （）由（）得CM=（3，3，0)，MN=（-1，0，2）. 设 n=（x， y，z）为平面CMN 的一个法向量，CM n=3x+3y=0 ，则取 z=1 ，则 x=2，y=-6，MN n=-x+2z=0， n=(2， -6，1)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页个人收集整理仅供参考学习18 / 18 又OS=(0，0，22)为平面 ABC 的一个法向量， cos(n ，OS)=|OSnOSn=31. 二面角 N-CM-B 的大小为arccos31. （）由（）（）得MB=（-1，3，0） ，n=（2，-6，1）为平面 CMN的一个法向量，点B 到平面 CMN 的距离 d=|nMBn=324. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页