学习必备欢迎下载解析几何中的最值问题一、教学目标解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具， 具有较强的综合性， 这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此， 这类问题近年来成为了数学高考中的难关。基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。二、教学重点方法的灵活应用。三、教学程序1、基础知识探求解析几何最值的方法有以下几种: (1) 函数法 （设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。(2) 不等式法 ：（常用的不等式法主要有基本不等式等）(3) 曲线定义法 ：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法（4）平面几何法 ：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等）（1）函数法例 1、已知P点在圆2241xy上移动，Q点在椭圆2219xy上移动 , 试求PQ 的最大值。分析：两个都是动点，看不出究竟，P、Q在什么位置时 |PQ|最大故先让 Q点在椭圆上固定，显然当 PQ通过圆心 O1时|PQ|最大， 因此要求 |PQ|的最大值，只要求 |OQ|的最大值。说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。例 2 在平面直角坐标系xOy中，点,P x y 是椭圆2213xy上的一个动点，求Sxy的最大值（2）不等式法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载例 2、 设21, FF是椭圆1422yx的两个焦点，P是这个椭圆上任一点，则21PFPF的最大值是解：124PFPF由12122PFPFPFPF得44)(22121PFPFPFPF即21PFPF的最大值是 4 。说明：在用基本不等式时要注意条件“一正二定三相等”须同时具备，缺一不可(3) 曲线定义法 ：例 3、 给定点( 2,2)A，已知 B 是椭圆2212516xy上的动点， F 是右焦点，当53ABBF取得最小值时，试求B点的坐标。分析：因为椭圆的离心率35e，所以513ABBFABBFe，而1BFe为动点 B 到左准线的距离。 故本题转法为， 在椭圆上求一点 B ，使得它到 A点和左准线的距离之和最小，过点B 作 l 的垂线，垂点为 N ，过 A作此准线的垂线，垂点为 M ，由椭圆定义|35|BFeBFBNeBNBF于是5| |3ABBFABBNANAM为定值其中，当且仅当 B 点 AM 与椭圆的定点时等点成立，此时 B 为5 3(,2)2所以，当53ABBF取得最小值时， B 点坐标为5 3(,2)2说明：圆锥曲线的定义在处理许多解析几何问题（包括最值问题） 时常常显得极其简便。（4）平面几何法例 4、已知,x y满足22221(2),xyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载(1) 求33yx的最大值和最小值 ; (2) 若2bxy，求 b的最大值和最小值。例 4. 椭圆离心率为，过点 M （1，2），并以 y 轴为准线，则长轴的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 分析： 设椭圆方程为由已知得，a2=4c2b2=3c2 m=4c，椭圆为化为 12c2-8c+1=. 故选 A. 2综合问题例 5、已知椭圆222210xyabab过点3,2 ，离心率为33，圆 O的圆心为坐标原点，直径为椭圆的短轴， 圆 M 的方程为22864xy， 过圆 M上任一点 P 作圆的切线,PA PB，切点分别为,A B(1) 求椭圆的方程；(2) 若直线 PA与圆 M 的另一交点为Q点，当弦PQ最大时，求 PA的方程(3) 求OA OB的最大值与最小值。例 5. 设动点 P到定点 F（1，0）及定直线 L：x=3 距离之和为 4，求 P点轨迹方程，并画出草图 . 若过 F 点的直线被上述轨迹截得弦 AB ，求|AB| 的最大值 . 解：设动点 P（x,y ），P 到定直线 L 的距离 d=|x-3| 依题 意 |PF|+d=4. 即若x 3 ，；. P点轨迹为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载设直线 AB的倾角 . . 3 归纳小结（1）. 解决解几中最值问题的基本思路: （2）求最值常见的方法和技巧：4课后思考题：（20XX年春季高考北京、安徽试题）已知抛物线，过动点 M （a,0 ）且斜率为1 的直线 L 与该抛物线交于不同两点A、B，（1）求 a 的取值范围。（ 2）若线段 AB的垂直平分线交 x 轴与点 N，求 面积的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页