全等证明解题方法归纳第 1 页 共 20 页【第 1 部分全等基础知识归纳、小结】1 、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点 ，互相重合的边叫对应边 ，互相重合的角叫 对应角 。概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化）2 、全等三角形的表示方法：若 ABC 和 A B C是全等的，记作“ABC A B C”其中，“”读作“全等于” 。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3 、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。（ 1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。（ 2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。（ 3）全等三角形周长，面积相等。4 、寻找对应元素的方法（1 ）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么， 以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2 ）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；图 3 图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 2 页 共 20 页（3 ）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3 种：平移、对称、旋转；5 、全等三角形的判定： （深入理解）边边边（ SSS ）边角边（ SAS ）角边角（ ASA ）角角边（ AAS ）斜边，直角边（HL ）注意： （容易出错）（ 1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（ 2）不能证明两个三角形全等的是，三个角对应相等，即AAA ；有两边和其中一角对应相等，即SSA 。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。6 、常见辅助线写法： （照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）如：过点 A 作 BC 的平行线 AF 交 DE 于 F 过点 A 作 BC 的垂线，垂足为D 延长 AB 至 C，使 BC AC 在 AB 上截取 AC，使 ACDE 作 ABC 的平分线，交AC 于 D 取 AB 中点 C，连接 CD 交 EF 于 G 点同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 3 页 共 20 页【第 2 部分中点条件的运用】1 、还原中心对称图形（倍长中线法）中心对称与中心对称图形知识：把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。中心对称的两条基本性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。（一个图形）如：平行四边形线段本身就是中心对称图形，中点就是它的对称中心，所以遇到中点问题，依托中点借助辅助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想 ） 。例 1、 AD 是ABC 中 BC 边上的中线，若 AB2，AC4，则 AD 的取值范围是 _。例 2、已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，延长BE 交 AC 于 F，AFEF，求证： ACBE。ACBBCAODABCABCDEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 4 页 共 20 页例 3、如图， D 是 ABC 的边 BC 上的点，且CD=AB ，ADB= BAD ，AE 是ABD的中线。求证：AC=2AE 例 4 ABC 中， AD 、BE、 CF 是三边对应中线。 （则 O 为重心）求证： AD 、 BE、CF 交于点 O。 （类倍长中线） ；AOBBOCCOASSSVVV练习1、在 ABC 中， D 为 BC 边上的点，已知BADCAD ，BDCD ，求证： ABACABCD2、如图，已知四边形ABCD 中， ABCD ，M、N 分别为 BC 、AD 中点，延长MN 与 AB 、CD 延长线交于E、F，求证 BEMCFM 3、如图， AB=AE ，ABAE，AD=AC ，AD AC ，点 M 为 BC 的中点，求证：DE=2AM （基本型：同角或等角的补角相等、K 型）MDEBACEFACDMBOFEDABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 5 页 共 20 页2 、两条平行线间线段的中点（“ 八字型 ” 全等）如图，1l2l，C 是线段 AB 的中点，那么过点C 的任何直线都可以和二条平行线以及AB 构造 “8 字型 ” 全等例 1 已知梯形ABCD ，AD BC，点 E 是 AB 的中点，连接DE 、CE。求证：ABCD12DECSSV梯例 2如图，在平行四边形ABCD 中， AD=2AB，M 是 AD 的中点， CEAB 于点 E，CEM=40 ，求 DME 的大小。（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）例 3 已知 ABD 和 ACE 都是直角三角形，且 ABDACE=90 ，连接 DE ，设 M 为DE 的中点。 求证： MBMC；设BADCAE ，固定 Rt ABD ，让 Rt ACE移至图示位置，此时MBMC 是否成立？请证明你的结论。l2l1CBAEADCBEMABDCEACDMBEACDMB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 6 页 共 20 页练习1、已知：如图，梯形ABCD 中， AD BC ，ABC=90 若 BD=BC ，F 是 CD 的中点，试问：BAF 与BCD 的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；2、Rt ABC 中， BAC=90 ，M 为 BC 的中点，过A 点作某直线l，过 B 作BDl于点 D，过 C 作CEl于点 E。（1）求证： MD=ME （2）当直线l与 CB 的延长线相交时，其它条件不变，（1）中的结论是否任然成立？3、如图（ 1） ，在正方形ABCD 和正方形CGEF （ CGBC）中，点B、C、G 在同一直线上， M 是 AE 的中点，（1）探究线段MD 、MF 的位置及数量关系，并证明；（2）将图（ 1）中的正方形CGEF 绕点 C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD的边 BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。（结合前面 “8 字型 ” 全等，仔细思考）MDAEFGCBMDAEFGCBABCDFlEDMABClEDMABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 7 页 共 20 页3 、构造中位线三角形中位线 定义 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线 性质 ：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半重点区分 ：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它对边的中点；而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。（全等法）在 ABC 中， D、E 分别是 AB、AC 边的中点，证明：DE BC，DE=12BC 证明：延长DE 至 F 点，使 DE=EF ，连接 CF（倍长中线）三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来，将题目给出的分散条件集中起来（集散思想）。注：题目中给出多个中点时，往往中点还是不够用的。例 1 在四边形ABCD 中， E、F、 G、 H 分别是 AB、BC 、CD 、DA 的中点。求证：四边形EFGH 是平行四边形。例 2 已知四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 相交于点O，且 AC=BD ， M、 N 分别是 AB 、CD 的中点， MN 分别交 BD 、AC 于点 E、F. 你能说出OE 与 OF 的大小关系并加以证明吗？练习1、三角形ABC 中， AD 是BAC 的角平分线，BD AD ，点 D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6 ，AC=14，求 DE 的长。FEDBCAHGFEABCDFEONMABCDEDABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 8 页 共 20 页2、ABCD ，BCAD ，DEBE ，DF=EF ，甲从 B 出发，沿着BA-AD-DF的方向运动， 乙 B 出发， 沿着 BC-CE-EF的方向运动， 如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达F 点？3、等腰 Rt ABC 与等腰 Rt CDE 中， ACB= EDC=90 ，连 AE、BE，点 M 为 BE 的中点，连DM 。（1）当 D 点在 BC 上时，求DMAE的值（2）当 CDE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角时，上结论是否任然成立，试证明AFBEDCMACBEDMACBDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 9 页 共 20 页4、ABC 、CEF 都为等腰直角三角形，当E、F 在 AC、BC 上， ACB=90 ，连 BE、AF，点 M、N 分别为 AF、 BE 的中点（1）MN 与 AE 的数量关系（2）将 CEF 绕 C 点顺时针旋转一个锐角，MN 与 AE 的数量关系4 、与等面积相关的图形转换在涉及三角形的面积问题时，中点提供了底边相等的条件，这里有个基本几何图形如图， ABC 中， E 为 BC 边的中点，那么显然ABE 和AEC 有相同的高AD ，底边也相等，故面积相等。例E、F 是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连AF、CE 交于点 G，则AGCDABCDSS四边形矩形= DEABCGFEABCDMNEACBFNMEACBF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 10 页 共 20 页扩展如图，等腰Rt ACD 与 Rt ABC 组成一个四边形ABCD ，AC=4 ，对角线BD 把四边形 ABCD 分成了二部分，求ABDBCDSSVV的值。【5 、等腰三角形中的“ 三线合一 ” 】“ 三线合一 ” 是相当重要的结论和解题工具，它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着极为亲密的关系。例ABC 中， AB=AC ，BD AC 于 D，问 CBD 和BAC 的关系？分析： CBD 和BAC 分别位于不同类型的三角形中，可以考虑转为同类三角形。例在ABC 中， AB=AC=5，BC=6 ，点 M 为 BC 中点，MN AC 于点 N，则 MN=_ 【6 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】这可以作为一个定理直接运用，关于这个定理的证明有多种方法，包括利用前面所讲中点的一些知识。例 如图 Rt ABC 中， ACD=90 ，CD 为斜边 AB 上的中线求证： CD= 12AB （1）利用垂直平分线的性质：垂直平分线上任一点到线段的二个端点的距离相等。NBMACDBACDBACDBACEFDCABADCB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 11 页 共 20 页取 AC 的中点 E，连接 DE。则 DE BC（中位线性质）QACB=90 BCAC ，DE AC 则 DE 是线段 AC 的垂直平分线AD=CD （2）全等法，证法略。例在三角形ABC 中， AD 是三角形的高，点D 是垂足，点E、F、G 分别是 BC 、AB、AC 的中点，求证：四边形EFGD 是等腰梯形。练习1、在 Rt ABC 中， A=90 ，AC=AB ，M、N 分别在 AC 、AB 上，且 AN=BM 。O 为斜边 BC 的中点。试判断OMN 的形状，并说明理由。2、 ABC中， A=90 ，D 是 BC 的中点， DE DF 。求证 : 222BECFEF（集散思想）3、 ABC中， AB=AC ，点 D 在 BC 上， E 在 AB 上，且BD=DE ，点 P、M、N 分别为AD 、BE、 BC 的中点（1）若 BAC=90 ，则 PMN=_，并证明（2）若 BAC=60 ，则 PMN=_ （3）若 BAC= ，则 PMN=_ FDCABGFEDABCOCABNMFDACBENPMECABDNMPECABDMPENBCAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 12 页 共 20 页【中点问题练习题】1、假设给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形请解答下列问题：（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图 1，在 ABC 中， AB=AC ，点 D 在 BC 上，且 CD=CA ，点 E、F 分别为 BC、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点 G求证：四边形AGEC 是等邻角四边形；（3）如图 2，若点 D 在 ABC 的内部，（ 2）中的其他条件不变，EF 与 CD 交于点 H，是否存在等邻角四边形，若存在，是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由2、已知： ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，ABC= ADE=90 ，点 M 是 CE 的中点，连接BM （1）如图 ，点 D 在 AB 上，连接DM ，并延长DM 交 BC 于点 N，可探究得出BD与 BM 的数量关系为_，写出证明过程。（2）如图 ，点 D 不在 AB 上， （1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由。GFDCAEBHGFCAEBDNMCBAEDMCBADE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 13 页 共 20 页3、在AOB 中，AB=OB=2，COD 中，CD=OC=3，ABO= DCO 连接 AD 、BC ，点 M、N、P 分别为 OA、OD 、 BC 的中点若 A、O、C 三点在同一直线上，ABO=60 ，则 PMN 的形状是 _，此时ADBC=_ 4、已知：如图 ，正方形 ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作 EFBD 交 BC 于F，连接 DF ，G 为 DF 中点，连接EG，CG（1）求证： EG=CG ；（2） 将图 中BEF 绕 B 点逆时针旋转45o ， 如图 所示，取 DF 中点 G， 连接 EG， CG 问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图 中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均要求证明）全等三角形综合二知识点：PNMDBACOGFBCADEGFBCADEGFBCADE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 14 页 共 20 页1、全等三角形的判定及性质：2、角平分线的性质与判定：3、常用辅助线：例题讲解例 1、如图，在RtABC中， ACB=90 ， CD AB于 D，AE平分 BAC ，交 CD于 K，交 BC于 E，F 是 BE上一点，且BF=CE ，求证： FKAB 例 2、如图 1， ABC中， BAC=90 ， BA=AC ，（1）D为 AC的中点，连BD ，过 A点作 AE BD于 E点，交 BC于 F 点，连 DF，求证： ADB=CDF （2）若 D，M为 AC上的三等分点，如图2，连 BD ，过 A作 AEBD于点 E，交 BC于点 F，连MF ，判断ADB与 CMF的大小关系并证明例 3、如图，在ABC 中， C=90， M 为 AB 的中点， DM AB ，CD 平分 ACB ，求证： MD=AM 例 4、在 ABC 中， ACB 为锐角，动点D（异于点 B）在射线BC 上，连接AD ，以 AD为边在 AD 的右侧作正方形ADEF ，连接 CF（1）若 AB=AC ， BAC=90 那么如图一， 当点 D 在线段 BC 上时，线段 CF 与 BD 之间的位置、 大小关系是 _ （直接写出结论）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 15 页 共 20 页如图二，当点D 在线段 BC 的延长上时，中的结论是否仍然成立？请说明理由（2）若 AB AC ，BAC 90点 D 在线段 BC 上，那么当 ACB 等于多少度时？线段CF 与 BD 之间的位置关系仍然成立请画出相应图形，并说明理由例 5、如图所示，已知A ，B为直线 l 上两点，点C为直线 l 上方一动点，连接AC 、BC ，分别以 AC 、BC为直角边向 ABC外作等腰直角CAD和等腰直角 CBE ，满足 CAD= CBE=90 ，过点D作 DD1 l 于点 D1，过点 E作 EE1l 于点 E1（ 1）如图，当点E恰好在直线l 上时，试说明DD1=AB；（ 2）在图中，当D，E两点都在直线l 的上方时，试探求三条线段DD1，EE1，AB之间的数量关系，并说明理由例 6、如图 1，已知点A（a，0） ，点 B（0，b） ，且 a、b 满足044ba（ 1）求 A、B 两点的坐标；（ 2） 若点 C 是第一象限内一点， 且 OCB=45 ， 过点 A 作 AD OC 于点 F， 求证：FA=FC；（ 3）如图 2，若点 D 的坐标为（ 0，1） ，过点 A 作 AEAD ，且 AE=AD ，连接 BE 交 x轴于点 G，求 G 点的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 16 页 共 20 页巩固：1、如图，已知BAC=90 ， AD BC 于点 D， 1=2，EFBC 交 AC 于点 F试说明AE=CF 2、如图， ABC 中，AD 平分 BAC ，DGBC 且平分 BC，DE AB 于 E，DF AC 于 F（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=5 ，AC=3 ，求 AE、BE 的长3、如图， ABC 中，AC=2AB ，AD 平分 BAC 交 BC 于 D，E 是 AD 上一点，且 EA=EC 。求证： EBAB 4、如图，在ABC 中， ACB=90 ， P 为 AC 上一点， PQAB 于 Q，AM AB 交 BP的延长线于M，MN AC 于 N，AQ=MN （1）求证： AP=AM ；（2）求证： PC=AN 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 17 页 共 20 页5、如图， ABC内， BAC=60 ， ACB=40 ， P，Q分别在 BC ，CA上，并且AP ，BQ分别是 BAC ，ABC的平分线，求证： BQ+AQ=AB+BP6、将两个全等的直角三角形ABC 和 DBE 按图（ 1）方式摆放，其中ACB= DEB=90 ，A= D=30，点 E 落在 AB 上， DE 所在直线交AC 所在直线于点F（1）求证： CF=EF；（2）若将图（ 1）中的 DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角a，且 0 a60，其他条件不变，如图（ 2） 请你直接写出AF+EF 与 DE 的大小关系：AF+EF_ DE （填“”或“ =”或“”）（3）若将图（ 1）中 DBE 的绕点B 按顺时针方向旋转角，且60 180，其他条件不变，如图（3） 请你写出此时AF、 EF 与 DE 之间的关系，并加以证明7、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，ABC 的三点坐标分别为A（0，5） ，B（-5，0） ，C（2，0） ，BD AC 于 D 且交 y 轴于 E，连接 CE（1）求 ABC 的面积；（2）求AEOE的值及 ACE 的面积8、如图 1，在平面直角坐标系中，点A（4，4） ，点 B、C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，S精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 18 页 共 20 页四边形 OBAC=16 （1） COA 的值为 _ ；（2）求 CAB 的度数；（3）如图 2，点 M、N 分别是 x 轴正半轴及射线OA 上一点，且OHMN 的延长线于H，满足 HON= NMO ，请探究两条线段MN 、OH 之间的数量关系，并给出证明9、在平面直角坐标系中，点A（2， 0） ，点 B（0，3）和点 C（0.2） ；（1）请写出OB 的长度： OB=_ ；（2）如图：若点D 在 x 轴上，且点D 的坐标为（ -3， 0） ，求证： AOB COD ；（3）若点 D 在第二象限，且AOB COD，则这时点D 的坐标是 _ （直接写答案） 10、已知，在ABC 中， CA=CB ，CA 、CB 的垂直平分线的交点O 在 AB 上， M、N 分别在直线 AC 、BC 上， MON= A=45 （1）如图 1，若点 M、N 分别在边AC 、BC 上，求证： CN+MN=AM ；（2）如图 2，若点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 边的延长线上，试猜想CN、MN 、AM 之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 19 页 共 20 页11、 （1）如图 1，以 ABC 的边 AB、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接 EG，试判断 ABC 与 AEG 面积之间的关系，并说明理由（2）园林小路，曲径通幽，如图2 所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米， 内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米12、如图，将两个全等的直角三角形ABD 、 ACE 拼在一起（图1） ABD 不动，（1）若将 ACE 绕点 A 逆时针旋转，连接DE，M 是 DE 的中点，连接MB 、MC（图 2） ，证明： MB=MC （2）若将图1 中的 CE 向上平移， CAE 不变，连接DE，M 是 DE 的中点，连接MB 、MC（图 3） ，判断并直接写出MB 、MC 的数量关系（3）在（ 2）中，若 CAE 的大小改变（图4） ，其他条件不变，则（2）中的 MB 、MC 的数量关系还成立吗？说明理由13、如图， ABC 中， D 是 BC 的中点，过点D 的直线 MN 交 AC 于 N，交 AC 的平行线BM 于 M，PDMN ，交 AB 于点 P，连接 PM、PN（1）求证： BM=CN ；（2）请你判断BP+CN 与 PN 的在数量上有何关系，并说明你的理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页全等证明解题方法归纳第 20 页 共 20 页14、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点A、B 两点的坐标分别为A（m，0） 、B（0，n） ，且0623nnm，点 P 从 A 出发，以每秒1 个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P运动时间为t 秒（1）求 OA、OB 的长；（2）连接 PB，若 POB 的面积不大于3 且不等于0，求 t 的范围；（3）过 P作直线 AB 的垂线，垂足为D，直线 PD 与 y 轴交于点E，在点 P 运动的过程中，是否存在这样的点P，使 EOP AOB ？若存在， 请求出 t 的值； 若不存在， 请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页