学习必备欢迎下载二次函数与一元二次方程根的分布一、内容1能应用不等式的有关知识，对一元二次方程的实根分布进行讨论2借助二次函数的图象进行实根分布的讨论，培养学生数形结合的思想3能将实根分布等价转化为不等式（组）的求解问题，体现等价转化的数学思想二、要点大揭秘1二次函数及图象设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a 0) ，判别式 =b2-4ac ，当 0 时 y=f(x)与 x 轴有二交点；当 =0 时， y=f(x)与 x 轴仅有一交点；当0 时， y=f(x)与 x 轴无交点当0 时，设 y=f(x)图象与 x 轴两交点为x1x2一元二次函数y=f(x)与 x 轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根观察图象不难知道图像为观察图象不难知道=0， a0 , =0， a0 当 0 时， y=f(x)图象与 x 轴无公共点，其图象为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页学习必备欢迎下载观察图象不难知道a0 时, 绝对不等式f(x)0 解为 xRa0 时,绝对不等式f(x)0 解为 xR2讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3 种：（1）应用求根公式；（2）应用根与系数关系；（3）应用二次函数图象在进行转化时，应保证这种转化的等价性就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法设 f （x）=ax2bxc（a0），方程ax2bxx=0 的个根为 ， （）， m ，n为常数，且nm ，方程根的分布无外乎两种情况：， 同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑三、好题解给你(1) (1)预习题1. 设有一元二次函数y2x2-8x+1 试问，当 x3 ，4 时，随 x 变大， y 的值变大还是变小？由此 yf(x)在3 ，4 上的最大值与最小值分别是什么？解：经配方有y2(x-2)2-7 对称轴x 2，区间 3 ，4 在对称轴右边，yf(x) 在3 ， 4 上随 x 变大， y 的值也变大，因此ymax=f(4) 1ymin f(3) -5 2. 设有一元二次函数y2x2-4ax+2a2+3试问，此函数对称轴是什么？当 x3 ，4 时，随 x 变大， y 的值是变大还是变小？与a 取值有何关系？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页学习必备欢迎下载由此，求y f(x)在3 ，4 上的最大值与最小值解：经配方有y2(x-a)2+3对称轴为x=a当 a 3 时，因为区间 3 ，4 在对称轴的右边，因此，当x 3 ，4 时，随 x 变大， y的值也变大当 3 a4 时，对称轴x=a 在区间 3 ，4 内，此时，若3xa，随 x 变大， y 的值变小，但若ax4，随 x 变大， y 的值变大当 4 a 时，因为区间 3 ，4 在对称轴的左边，因此，当x 3 ，4 时，随 x 变大， y的值反而变小根据上述分析，可知当 a3 时， ymax=f(4)=2a2-16a+35 ymin=f(3) 2a2-12a+21 当 3a4 时， ymin f(a) 3其中， a3.5 时， ymaxf(4) 2a2-16a+35 a3.5 时， ymaxf(3) 2a2-12a+21 当 a4 时， ymaxf(3) 2a2-12a+21 yminf(4)2a2-16a+35 (2) (2)基础题例 1设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2) 0试问：(1)m 为何值时，有一正根、一负根(2)m 为何值时，有一根大于1、另一根小于1(3)m 为何值时，有两正根(4)m 为何值时，有两负根(5)m 为何值时，仅有一根在1 ，4 内？解： (1) 设方程一正根x2，一负根x1，显然 x1、x2 0，依违达定理有m+2 0 m -2反思回顾： x1、x20 条件下， ac0，因此能保证0(2) 设 x11，x21，则 x1-1 0，x2-10 只要求 (x1-1)(x2-1) 0，即 x1x2-(x1+x2)+10依韦达定理有(m+2)+2(m-1)+1 0(3) 若 x10，x20，则 x1+x20 且 x1，x20, 故应满足条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页学习必备欢迎下载依韦达定理有(5) 由图象不难知道，方程f(x) 0 在3 ， 4 内仅有一实根条件为f(3) f(4) 0，即9+6(m-1)+(m+2)16+8(m-1)+(m+2)0(7m+1)(9m+10) 0例 2. 当m为何值时，方程有两个负数根？解：负数根首先是实数根，由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正由以上分析，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页学习必备欢迎下载即当时，原方程有两个负数根(3) (3)应用题例 1. m 取何实数值时，关于x 的方程 x2+（m-2） x5-m=0 的两个实根都大于2？解：设 f （x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2 所以当 -5 m -4 时，方程的两个实根大于2例 2已知关于x 方程： x2-2ax a0 有两个实根 ，且满足01，2，求实根 a 的取值范围解：设 f （x）=x2-2ax a，则方程 f （x）=0 的两个根 ，就是抛物线y=f （x）与 x轴的两个交点的横坐标，如图0 1， 2 的条件是：1，2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页学习必备欢迎下载例 3m为何实数时，关于x 的方程 x2+（m-2）x 5-m=0 的一个实根大于2，另一个实根小于 2. 解：设 f （x）=x2（ m-2）x5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f （2） 0，即 42（m-2） 5-m 0解得 m -5 所以当m -5 时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2(4) (4)提高题例 1已知函数的图象都在x轴上方， 求实数k的取值范围解： （1）当，则所给函数为二次函数，图象满足：，即解得：（2）当时，若，则的图象不可能都在x轴上方，若，则y=3 的图象都在x轴上方由（ 1） （2）得：反思回顾： 此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论例 2已知关于x 的方程（ m-1）x2-2mx m2+m-6=0 有两个实根 ，且满足 01 ，求实数 m的取值范围解：设 f(x)=x2-2mx+m2m-6，则方程f（x）=0 的两个根 ， ，就是抛物线y=f （ x）与 x 轴的两个交点的横坐标如图， 01的条件是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页学习必备欢迎下载解得例 3已知关于x 的方程 3x2-5x a=0 的有两个实根，满足条件 （ -2 ，0），（ 1，3），求实数a 的取值范围解：设 f（x）=3x2-5x a，由图象特征可知方程f（x） =0 的两根 ， ， 并且 （-2 ，0）， （ 1，3）的解得 -12 a0四、课后演武场1. 已知方程 (m-1)x2+3x-1=0 的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ）ABCD2. 方程x2+(m2-1)x+(m-2)=0 的一个根比1 大，另一个根比 -1 小，则m的取值范围是 （ C ）A0m 2 B -3 m 1 C-2 m 0 D-1 m 1 3. 已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ C ）AB CD4已知关于x 的方程 3x2+（m-5）x7=0 的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数 m的取值范围可知方程f（ x）=0 的一根大于4，另一根小于4 的充要条件是：f （4） 0）5已知关于x 的方程 x22mx2m3=0 的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页学习必备欢迎下载征可知方程f （x）=0 的两根都在（0，2）内的充要条件是学科：数学教学内容：二次函数与一元二次方程背景材料坐标系的由来传说中有这么一个故事：有一天，笛卡尔（15981650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩他就拼命琢磨通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗他想，可以把蜘蛛看作一个点， 他在屋子里可以上、 下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置， 不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数， 例如 3、2、1， 也可以用空间中的一个点P来表示它们（如图 2-8-1 ）同样，用一组数（ a、b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示（如图 2-8-1 ）于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系无论这个传说的可靠性如何，有一点是可以肯定的，就是笛卡尔是个勤于思考的人这个有趣的传说，就像瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖发明了蒸汽机一样，说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中，很可能是受到周围一些事物的启发，触发了灵感直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将先进的代数方法应用于几何学的研究笛卡尔在创建直角坐标系的基础上，创造了用代数方法来研究几何图形的数学分支解析几何他的设想是：只要把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某处共同特性的点组成的比如，我们把圆看成是一个动点对定点O作等距离运动的轨迹，也就可以把圆看作是由无数到定点O的距离相等的点组成的我们把点看作是组成图形的基本元素，把数看成是组成方程的基本元素，只要把点和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页学习必备欢迎下载数挂上钩，也就可以把几何和代数挂上钩把图形看成点的运动轨迹，这个想法很重要！它从指导思想上，改变了传统的几何方法笛卡尔根据自己的这个想法，在几何学中，最早为运动着的点建立坐标，开创了几何和代数挂钩的解析几何在解析几何中，运点的坐标就成了变数，这是数学第一次引进变数恩格期高度评价笛卡尔的工作，他说： “数学中的转折点是笛卡尔的变数有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学”坐标方法在日常生活中用得很多例如象棋、国际象棋中棋子的定位，电影院、剧院、体育馆的看台，火车车厢的座位及高层建筑的房间编号等都用到坐标的概念随着同学们知识的不断增加，坐标方程的应用会更加广泛悟与问： 勤于思考，才会有所发现，灵感肯定不会自己从天上落下来，那么我们在学习中，怎样才会有许多灵感呢？课前准备一、课标要求体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h 是实数）图象交点的横坐标二、预习提示1关键概念和原理提示（1）抛物线 y=ax2bxc（a0）与 x 轴的交点的横坐标即方程ax2bxc=0 的根（2）抛物线与 x 轴交点与方程 ax2bxc=0 根的情况相同，有三种（3）判别抛物线与x 轴交点的情况可用方程判别式=b24ac2预习方法提示：由实际问题引出，抛物线y= ax2bxc 与 x 轴交点即 y=0，即为 ax2bxc=0，转化为方程；回忆一元二次方程相关内容，从而得出其关系三、预习效果反馈1抛物线 y=x26x5，与 x 轴有个交点，分别是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页学习必备欢迎下载2抛物线 y= x2x5，与 x 轴交点，且图象都位于x 轴的3利用图象求抛物线y=（x1）29 与 x 轴的交点的坐标为课堂跟讲一、背记知识随堂笔记1二次函数 y=ax2bxc（a0）中，决定其图象与 x 轴交点的个数，当b24ac0 时，抛物线与 x 轴有个交点；当 b24ac 0 时，抛物线与 x 轴有一个交点，当b24ac 0时，抛物线与 x 轴交点2若 x1，x2是方程 ax2bxc=0的根，那么二次函数 y=ax2bxc，也可以记为 y=a （xx1） （xx2），称为式其中也就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标3抛物线 y=ax2bxc（a0）若与 x 轴有交点，则其交点由含a、b、c 的代数式表示为4抛物线 y=ax2bxc 与 x 轴两交点的距离为5我们可以利用来求一元二次方程的近似根6若二次函数 y=ax2bxc 的函数值恒为正，则需满足，若二次函数 y=ax2bxc 的函数值恒为负，则需满足二、教材中“？”解答1问题（ P65）解答：（ 1）h=5t240t （2）8s可以利用图象，也可以解方程5t240t=02议一议（ P66）解答：（ 1）2 个，1 个，0 个（ 2）2 个根， 1 个根（或 2 个相等的根），无实数根（ 3）二次函数 y=ax2bxc 的图象和 x 轴交点的横坐标即一元二次方程ax2bxc=0 的根3想一想（ P67）解答： 2s 和 6s可以利用图象，也可以解方程5t240t=604问题（ P68）解答：可以，但我们估计的根往往是近似值5做一做（ P70）解答： x127，x247三、重点难点易错点讲解重点：本节重点把握二次函数图象与x 轴（或 y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2bxc 图象与 x 轴交点，即 y=0，即 ax2bxc=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x 轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位难点：应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解此点一定要结合二次函数的图象加以记忆易错点：应用求根公式讨论二次函数及其图象时，易发生符号混淆与用错公式【例 1】已知二次函数 y=kx27x7 的图象与 x 轴有两个交点，则k 的取值范围为错解：由 =（7）24k（ 7）=4928k0，得 k49正确解法：此函数为二次函数，k0，又与 x 轴有交点， =（7）24k（ 7）=4928k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页学习必备欢迎下载0，得 k49，即 k49且 k0错解分析：因为是二次函数，因而k0；有两个交点，但未点明为两个不同点，所以考虑应为0这也是同学们易错的地方【例 2】抛物线 y=ax2bxc 与 x 轴交于点 A（3，0），对称轴为 x=1，顶点 C到 x 轴的距离为2，求此抛物线表达式错解：点 A（3，0）在抛物线上， 9a3bc=0抛物线的对称轴为x=1，ab=1又顶点 C到 x 轴距离为 2，abac442=2解方程组（ 1），得 a=21，b=1，c=23y=21x2x23解方程组（ 2），得 a=21，b=1，c=23y=21x2x23抛物线表达式为y=21x2x23或 y=21x2x23错解分析：其解题过程有两处错误， 一是顶点横坐标误认为ab， 二是认为顶点的纵坐标abac442=2 实际上顶点 C到 x 轴的距离为 2，表明它的纵坐标的绝对值等于2，即abac442=2四、经典例题精讲（一）一题多解【例 1】抛物线 y=ax2bxc 经过点（ 0，0）与（ 12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式思维入门指导：此二次函数题中所给3 点较特殊，有两点在x 轴上，另一点在对称轴上，用待定系数法求表达式的 3 种形式皆适宜精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页学习必备欢迎下载所求抛物线为 y=121x2x解法二：点（ 0，0），（12，0）在 x 轴上，关于对称轴对称，对称轴为 x=6，顶点是（ 6，3）设所求表达式为 y=a（x6）23将点（0，0）代入表达式，得 0=a（06）23a=121所求表达式为y=121（x6）23，y=121x2x解法三：抛物线与x 轴交于两点（ 0，0），（12，0），设所求表达式为y=a（x6）（x12），顶点坐标为（ 6，3），代入表达式，得a=121y=121x（x12）故所求表达式为y=121x2x点拨：根据所给的点恰当选择二次函数表达式的形式（二）教材变型题【例 2】一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m ）可以用公式 h=49t2196t 来表示其中 t （s）表示足球被踢出后经过的时间（1）t 为何值时， h 最大？（ 2）经过多长时间球落地？思维入门指导：（ 2）中多长时间球落地，即其纵坐标为0解：（ 1）h=49t2196t 当 t=2 时，h 最大（2）h=49t2196t 球落地即 49t2196t=0，解得 t1=0（舍去）， t2=4即足球被踢出后经过 4s 球落地（三）中考题【例 3】（2003，贵阳， 12分）已知二次函数的图象过A（3，0），B（1，0）两点（1）当这个二次函数图象又过点C（0，3）时，求其表达式；（2）设（ 1）中所求二次函数图象的顶点为P，求 SAPC：SABC的值；（3） 如果二次函数图象的顶点M在对称轴上移动， 并与 y 轴交于点 D ， SAMD： SABD的值确定吗？为什么？思维入门指导： A、B 两点为 x 轴上的点，由两根式确定表达式解：（ 1）设二次函数的表达式为y=a（xx1）（xx2）二次函数的图象过A（3，0），B（1，0）两点， y=a（x3）（x1）二次函数图象过点C （0，3）， 3=a（03）（01） a=1所求函数的表达式为y=x22x3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页学习必备欢迎下载（2）y=x22x3，P的坐标为（ 1，4），过点 P作二次函数的对称轴交x 轴于 N，如图 2-8-2 SAPC=S梯形 PNOCSAPNSAOC =21（OC PN ）ON 21AN PN 21OA OC =21（34）121242133=3，SABC=21AB OC=2143=6，SAPC：SABC=3：6=1：2（3）设此二次函数的表达式为y=a（x3）（x1），即 y=ax22ax3aD（0，3a）点 M在对称轴 x=1 上，且在函数图象上， M （1，4a）当 a=0时，即顶点在对称轴与x 轴交点处，函数图象不存在，SAMD：SABD的值不存在当 a0 时，SAMD=S梯形 ODMNSAMNSAOD =21（OD MN ）ON 21AN MN 21OA OD =21（aa43）1212a4213a3 =23a4a3，SABD=21AB OD=214a3=2a3，ABDAMDSS=aaa323423；当 a0 时，如图 2-8-3 ，ABDAMDSS=aaa323423=aa63=21；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页学习必备欢迎下载当 a0 时，如图 2-8-4 ，ABDAMDSS=aaa323423=aa63=21当 a0 时 SAMD：SABD的值是确定的点拨：第三问题中，考虑两种情况（四）学科内综合题【例 4】已知 ABC中 AC=BC=32，C=90 ，AB上有一动点 P，过 P作 PE AC于 E，PF BC于 F（1）设 CF=x ，用含 x 的代数式把 RtAEP 、RtPFB及矩形 ECFP 的面积表示出来；（2）是否存在这样的P点，使 RtAEP 、RtPFB及矩形 ECFP 的面积都小于 4？思维入门指导：（ 2）题中因为 RtACB 的面积为 9，若所分三小块面积不能趋近相等的话，那么是否存在 P使三小块面积都小于4，是一时不易判断的， 也不易说清的， 我们把 0x32范围分成三小段分别讨论，问题就能清楚了解：（1）如图 2-8-5 ，AEP的面积 S1=21x2，PFB的面积 S2=21（32x）2，矩形 ECFO 的面积 S3=x（32x）（2）当 002时，PFB 的面积较大S2=21（32x）221（322）2=4，即 x 在 0x2范围时，PFB的面积不可能小于 4当2x22，矩形 EOFD 的面积S3=x（32x）=（x223）229（22223）229=2129=4，即 x 在这个范围变化时，矩形面积不可能小于4当 22x32范围中，AEP面积较大， S1=21x221（22）2=4综合上所述，在 0x32范围中，S1、S2、S3至少有一个值不小于 4，所以这样的 P点在 AB上不存在点拨：分段讨论的方法，实质上就是分析的方法，即通过分析解决具体问题的方法，通过分类讨论解决代数综合题，分几类，从何处分，则需视具体问题而定（五）开放题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页学习必备欢迎下载【例 5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式思维入门指导：此题为半开放题型，可应用顶点式，进行试解，与判断解：y=51x258x3 或 y=51x258x3 或 y=71x278x1 或 y=71x278x1点拨：此题的解答需要应用方程有关知识（六）应用题【例 6】改革开放后，不少农村用上了自动喷泉设备，如图2-8-6 所示，设水管 AB高出地面 15m ，在 B处有一个自动旋转的喷水头， 一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷头 B与水流最高点 C的连线与水平地面成 45角，水流的最高点C比喷头 B高出 2m ，在所建立的直角坐标系中，求水流的落地点D到 A点的距离思维入门指导：将实际条件转化为二次函数的相关条件解：由 C点作 CF AD于点 F，由 B点作 BE CF于点 E，连接 BC AB=1 5m ，B（0，23）又EC=2m ，CF=3 5m C（2，27）设此函数表达式为y=a（x2）227把 B（0，23）代入，得 a=21y=21（x2）227，即 y=21x22x23当 y=21x22x23=0，x1=27，x2=27（舍去）AD之间的距离为（ 27）m 点拨：应用二次函数的顶点式，要根据给的条件确定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页学习必备欢迎下载当堂练习 （5 分钟）1求下列二次函数的图象与x 轴交点坐标，并作草图验证（1）y=x22x；（2）y=x22x32你能利用 a、b、c 之间的某种关系判断二次函数y=ax2bxc 的图象与 x 轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？【同步达纲练习】课后巩固练习（120 分 120 分钟）一、基础题（ 14、15题每题 6 分，其余每题 2 分，共 38 分）1抛物线 y=a（x2）（x5）与 x 轴的交点坐标为2已知抛物线的对称轴是x=1，它与 x 轴交点的距离等于 4，它在 y 轴上的截距是 6，则它的表达式为3若 a0，b0，c0， 0，那么抛物线 y=ax2bxc 经过象限4抛物线 y=x22x3 的顶点坐标是5若抛物线 y=2x2（m 3）xm 7 的对称轴是 x=1，则 m= 6已知二次函数 y=x2（ab）xb 的图象如图 2-8-7 所示，那么化简abbaba222的结果是7抛物线 y=2x28xm与 x 轴只有一个交点，则m= 8已知抛物线 y=ax2bxc 的系数有 abc=0，则这条抛物线经过点9二次函数 y=kx23x4 的图象与 x 轴有两个交点，则k 的取值范围10抛物线 y=x22axa2的顶点在直线 y=2上，则 a 的值是11抛物线 y=3x25x 与两坐标轴交点的个数为（）A3 个B2 个C1 个D无精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页学习必备欢迎下载12如图 2-8-8 所示，函数 y=ax2bxc 的图象过（ 1，0），则bacacbcba的值是（）A3 B3 C21D 2113已知二次函数y=ax2bxc 的图象如图 2-8-9 所示，则下列关系正确的是（）A0ab21 B 0ab22 C 1ab22 D ab2=1 14已知二次函数 y=x2mx m 2求证：无论 m取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点15已知二次函数y=x22kxk2k2（1）当实数 k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数 k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？二、学科内综合题（每题8分，共 16 分）16已知抛物线 y=mx2（32m ）xm 2（m 0）与 x 轴有两个不同的交点（1）求 m的取值范围；（2）判断点 P（1，1）是否在抛物线上；（3）当 m=1时，求抛物线的顶点Q及 P点关于抛物线的对称轴对称的点P的坐标，并过P、Q 、P三点，画出抛物线草图17已知二次函数 y=x2（m 3）xm的图象是抛物线，如图2-8-10 （1）试求 m为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？（2）当 m为何值时，方程 x2（m 3）xm=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M ，与 x 轴的交点 P、Q ，求当 PQ最短时 MPQ 的面积三、应用题（ 6 分）18在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m ）与飞行时间 x（s）的关系满足 y=51x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页学习必备欢迎下载10x（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？四、创新题（ 35分）（一）一题多解（ 9 分）19已知二次函数图象经过（1，0）、（ 2，0）和（ 0，2）三点，求该函数的表达式（二）开放题（每题3 分，共 6 分）20对于反比例函数y=x2与二次函数 y=x23，请说出它们的两个相同点：；再说出它们的两个不同点：；21已知二次函数 y=ax2bxc 的图象如图 2-8-11 所示，则由抛物线的特征可以得到含有a、b、c 三个字母的等式或不等式为（只需写出一个你认为正确的即可）（三）探究题（ 10 分）22已知抛物线 y=x2（k1）xk（1）试求 k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个公共点；（ 2）如图 2-8-12 ，若抛物线与 x 轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左边），与 y 轴的负半轴交于点C ，试问：是否存在实数 k，使 AOC 与COB 相似？若存在，求出相应的k 值；若不存在，请说明理由（四）阅读理解题（ 10 分）23已知抛物线 y=x2（2m 4）xm210 与 x 轴交于 A、B两点，C是抛物线的顶点（1）用配方法求顶点C的坐标（用含 m的代数式表示）；（2）若 AB的长为 22，求抛物线的表达式解法的部分步骤如下，补全解题过程，并简述步骤的解题依据，步骤的解题方法解：由（ 1）知，对称轴与 x 轴交于点 D（，0）抛物线的对称性及AB=22，AD=DB=DAxx=2点 A（xA，0）在抛物线 y=（xh）2k 上， 0=（xAh）2kh=xC=xD，将DAxx=2代入上式得到关于m的方程 0=（2）2（）（3）将（ 2）中的条件“ AB的长为 22”改“ ABC 为等边三角形”用类似的方法求出此抛物线的表达式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页学习必备欢迎下载五、中考题（ 25分）24（2003，杭州，3 分）设 x1，x2是关于 x 的方程 x2pxq=0的两根， x11，x21 是关于 x 的方程x2qxp=0的两根，则 p、q 的值分别等于（）A1，3 B1，3 C1，3 D1，3 25（2003，海南，12 分）已知抛物线 y=ax2bxc 开口向下，并且经过A（0，1）和 M （2，3）两点（1）若抛物线的对称轴为直线x=1，求此抛物线的表达式；（2）如果抛物线的对称轴在y 轴的左侧，试求 a 的取值范围；（3）如果抛物线与 x 轴交于 B、C两点，且 BAC=90 ，求此时 a 的值26（2003，青海， 10 分）如图 2-8-13 ，已知抛物线 y=x2bxc 与 x 轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0），且 x1x2=4，21xx=31（1）求此抛物线的表达式；（2）设此抛物线与 y 轴的交点为 C，过点 B、C作直线，求此直线的表达式；（3）求 ABC的面积加试题：竞赛趣味题（每题10 分，共 20分）1德国数学家高斯在写日记时有一个习惯，即把生活中发生的重大事件的日子写成密码，就是写由自己生日到这个日子间的相应天数，例如1799 年 7 月 16 日，高斯通过了博士学位论文的答辩，于是他把这一天记作 8113在高斯的日记中第一次被这样记下的日子是他15岁时解决了质数分布问题的那一天，他把这一天记作 5343，那么聪明的读者，你知道这一天是哪年哪月哪日吗？2（2003，河北）已知实数 a、b、c 满足 abc=2，abc=4（1）求 a、b、c 中的最大者的最小值；（2）求cba的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页学习必备欢迎下载参考答案三、 1两；（ 5，0）、（ 1，0） 2 没有；上方3图象略，其交点坐标为（2，0），（ 4，0），数据大体接近即可一、 1b24ac；两个； =；没有 2 两根；（ x1，0）、（ x2，0）3（aacbb242，0）（aacbb242， 0 ）4aacb42 5 二次函数图象 6 a0、 0；a0、 0 （ 1）图象如答图 2-8-1 所示 x22x=0，x（x2）=0，x1=0，x2=2（2）图象如答图 2-8-2 所示 x22x3=0，x22x1=4，（x1）2=4，x1=3，x2=12解：当 b24ac0 时，有两个交点；当b24ac=0时，有一个交点；当b24ac0 时，与 x 轴没有交点一、 1（2，0）、（ 5，0）2y=2x24x6 点拨：对称轴 x=1，与 x 轴交点间距离等于4，由对称性知，与x 轴交点坐标是（ 3，0）（1，1）设函数表达式为y=a（x3）（x1）把 x=0，y=6 代入得 a=2y=2（x3）（x1）=2x24x63一、二、三点拨： a0，开口向上 b0，对称轴 x=ab20对称轴在 y 轴左侧c0，截距为正 0，抛物线与 x 轴有两个交点图象经过一、二、三象限4（1，2）51 点拨：对称轴是 x=1，ab2=1m 3=4m=1 61 点拨：对称轴在y 轴右侧，2ba0，即 ab0，抛物线在 y 轴上的交点在 y 轴的负精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页学习必备欢迎下载半轴上， b0，则abbaba222=abba=178 点拨：此函数图象与x 轴只有一个交点， =0b24ac=0，则 m=8 8（ 1，0）点拨： abc=0，即 x=1时，y=0，过（ 1，0）这个点9k169且 k0 点拨： b24ac0，94k（4）0k169且 k0102 点拨：顶点在y=2上，abac442=2，即 a2a2=0a1=2，a2=1（舍去）11B 点拨： b24ac=25430=25 0，有与 x 轴有两个交点，其中（ 0，0）也是与 y 轴的唯一交点故实际只有两个12A 13 C 14证明： =m24（m 2）=m24m 8=（m 2）240，抛物线总与 x 轴有两个交点15解：（ 1）k2k2=0k=1或 k=2（2）要顶点在第四象限，必须有，020kk0k2二、16解：（ 1） 0，即 b24ac=（32m ）24m （m 2）0，得 m 49且 m 0（2）P（1，1）代入（ 1），得 m （32m ）m 2=1，符合函数， P在抛物线上（3）m=1 ，y=x2x1=（x21）245Q （21，45）根据对称性 x2x1=1，x1=2，x2=2，P（ 2，1），如答图 2-8-3 17解：（ 1）抛物线与 x 轴两交点的横坐标的差的绝对值是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页学习必备欢迎下载当 m=1时，PQ最小=8=22，此时二次函数为y=x22x1= （x1）22，顶点坐标为 M （1，2），故 SMPQ=21PQMN=21222=22三、18解：（ 1）y=51x210x，ab2=25，abac442=125当 25s 后，炮弹达到最高点125m （2）51x210x=0，x1=50，x2=0（舍去） 50s 后，炮弹在地上爆炸四、（ 1）19解法一：设 y=ax2bxc，则解法二：设 y=a（x1）（x2），则当 x=0 时，y=22=a（01）（02）， a=1y=（x1）（x2）=x23x2解法三：设 y=a（xh）2k，则点拨：由点的特殊性可以适用于三种形式的表达式（二）20相同点：图象都是曲线；都经过（1，2）；在第二象限，函数值都随着自变量的增大而增大等 不同点：图象的形状不同； 自变量的取值范围不同； 一个有最大值， 一个没有最大值等点拨：二次函数图象性质的考查精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页学习必备欢迎下载21abc0 或 abc0或 abc0 （三）22解：（1）由已知得 =（k1）24k=（k1）2当抛物线与 x 轴只有一个公共点时， =0，即（k1）2=0，k=1即当 k=1 时，抛物线与 x 轴只有一个公共点（2）由抛物线与 y 轴负半轴交于点 C，令 x=0，得 y=k，即 C点坐标（ 0，k）（k0）又令 y=0，得一元二次方程 x2（k1）xk=0解得 x1=k，x2=1k0，A点坐标（ k，0），B点坐标（ 1，0）AOC 和BOC 都是直角，欲使 AOC BOC 或AOC COB ，只要OCAO=OCBO或COAO=BOCO由OCAO=OCBO得 AO=BO，即 k=1由OCAO=BOOC得 OC2=AO BO ，即 k2=（k）1，k=1使 AOC BOC 的 k 值存在，且 k=1点拨：在探讨使 AOC BOC 的条件时，我们分两种情况进行了讨论，虽然最终结果相同，但为保持逻辑表达的严密、完整，分类讨论是必要的（四） 23解：（ 1）y=x2（2m 4）xm210=14422mmx，顶点 C的坐标为（ m 2，4m 14）（2） D （m 2， 0） ， 4m 14， 解得 m= 3 当 m= 3 时，抛物线 y=x22x1 与 x 轴有交点，且 AB=22，符合题意，所求抛物线的表达式为y=x22x1步骤的解题依据：抛物线上一点的坐标满足此函数表达式，步骤的解题方法：代入法（3） ABC是等边三角形，由（ 1）知 CD=144m=4m 14（4m 140），AD=DB=31CD=31（4m 14）=DAxx点 A（xA，0）在抛物线上， 0=（xAh）2kh=xC=xD，将DAxx=31（4m 14）代入上式，得 0=31（4m 14）24m 144m 140，31（4m 14）1=0解得 m= 411当 m= 411时，抛物线 y=x223x1639与 x 轴有交点且符合题意，抛物线表达式 y= x223x1639五、24C 25解：（ 1）因为抛物线 y=ax2bxc 经过 A（0，1）和 M （2，3）两点，且对称轴为直线x=1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页学习必备欢迎下载b=2a20a1 1a0（3）由抛物线开口向下，且经过点A（0，1）知，它与 x 轴的两个交点 B、C分别在原点两旁，此时B、C两点的横坐标异号， OA=c=1 又 BAC=90 ，点 A必须在以 BC为直径的圆上又OA BC于 O ，OA2=OB OC 又b=2a2，c=1，抛物线方程变为y=ax22（a1）x1设此抛物线与 x 轴的两个交点分别为B（x1，0），C（x2，0），则 x1，x2是方程 ax22（a1）x1=0的两个根， x1x2=a1OB OC=1x2x=21xx=x1x2（x1x20）OB OC= a1又 OA2=OB OC ，OA=1 ，1=a1a=1当 a=1 时，所确定的抛物线符合题意，故a=1y=x24x3直线 BC的表达式为 y=x3（3）点 A坐标为（ 1，0），点 B的坐标为（ 3，0），点 C的坐标为（ 0，3），如答图 2-8-4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页学习必备欢迎下载AB=2，OC=3SABC=21ABOC=2123=3加试题：1解：81135343=2770，所以 1799 年 7 月 16 日到所求的天数共2770 天，其中 1799 年内还占 197 天（注：1、3、5 各 31 天，4、6月各 30 天，2 月 28 天，7 月只占有 16 天），由 1792年元旦到 1798年底占 2557 天（5 个平年各 365 天，2 个闰年各 366 天），再由 27701972557=16可知所求日为 1791 年12月 15 日2解：（ 1）设 a 是 a、b、c 中最大者，即 ab，ac，由题设知 a0，且 bc=2a，bc=a4，于是b，c 是一元二次方程 x2（2a）xa4=0的两实根， =（2a）24a40，即 a34a24a160，（a24）（a4）0，a4又当 a=4，b=c=1 时，取等号，故 a、b、c 中最大者的最小值为4（2）因为 abc=40，所以 a、b、c 为全大于 0 或一正二负若 a、b、c 均大于 0，则由（ 1）知 a、b、c 中的最大者不少于4，这与 abc=2 矛盾；若 a、b、c 一正二负，设 a0，b0，c0，则abc=abc=a（2a）=2a2由（1）知 a4，故 2a26当 a=4，b=c=1 时，满足题设条件且使不等式等号成立故abc的最小值为 6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页