第十三章 轴对称13.4 课题学习 最短路径问题人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册） 前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所两点的所有连线中，线段最短有连线中，线段最短”、“连接直线外连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短段最短”等的问题，我们称它们为最短等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，最短路径的问题，本节将利用数学知识本节将利用数学知识继续继续探究数学中探究数学中的最短路径问题的最短路径问题 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路地有三条路可供选择，选走哪条路最近？你可供选择，选走哪条路最近？你的理由是什么？的理由是什么？两点之间两点之间,线段最短线段最短()两点在一条直线异侧已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的两侧，在的两侧，在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。 P连接连接AB,线段线段AB与直线与直线L的交点的交点P，就是所求。，就是所求。思考？思考？为什么这样做就能得到最短距为什么这样做就能得到最短距离呢？离呢？根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短.P如图，要在燃气管道如图，要在燃气管道L L上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向A A、B B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？用的输气管线最短？P所以泵站建在点所以泵站建在点P P可使输气管线最短可使输气管线最短应用ABl B/P 点点P P的位置即为所求的位置即为所求. .M 作法：作法： 作点作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B B/ /. . 连接连接ABAB/ /, ,交直线交直线l l于点于点P.P.() () 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧已知：如图已知：如图,A,A、B B在直线在直线L L的同一侧，在的同一侧，在L L上求一点，使得上求一点，使得PA+PBPA+PB最小最小. . 为什么这样做就能得为什么这样做就能得到最短距离呢？到最短距离呢？MA + MBPA+PB 即即MA + MBPA+PB 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边 问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区向居民区A A、B B提供牛奶，奶站应建在什么地方，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从才能使从A A、B B到它的距离之和最短到它的距离之和最短 练习练习请你自己动手 试一试！只有A 、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小作点A关于直线“街道”的对称点A，然后连接AB，交“街道”于点C，则点C就是所求的点 ()一点在两相交直线内部已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：分析：当当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体现在三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小一条直线上时，三角形的周长最小()一点在两相交直线内部已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点分别作点A关于关于OM，ON的对称的对称点点A，A；连接；连接A，A，分别交，分别交OM，ON于点于点B、点、点C，则点，则点B、点点C即为所求即为所求 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）AB作作法法：1.1.将将点点B B沿沿垂垂直直与与河河岸岸的的方方向向平平移移一一个个河宽到河宽到E E， 2.2.连接连接AEAE交河对岸与点交河对岸与点M,M, 则点则点M M为建桥的位置，为建桥的位置，MNMN为所建的桥为所建的桥。证证明明：由由平平移移的的性性质质，得得 BNEM BNEM 且且BN=EM, BN=EM, MN=CD, BDMN=CD, BDCE, BD=CE,CE, BD=CE,所以所以A.BA.B两地的距两地的距: :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在若桥的位置建在CDCD处，连接处，连接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,则则ABAB两地的距离为：两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE, AC+CE+MNAC+CE+MNAE+MN,AE+MN,即即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以桥的位置建在所以桥的位置建在CDCD处，处，ABAB两地的路程最短。两地的路程最短。ABMNECD 2. 如图，如图，A A、B B是两个蓄水池，都在河流是两个蓄水池，都在河流a a的同侧，为了方便灌溉作物，的同侧，为了方便灌溉作物， 要在河边建要在河边建一个抽水站，将河水送到一个抽水站，将河水送到A A、B B两地，问该站两地，问该站建在河边什么地方，建在河边什么地方， 可使所修的渠道最短，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。试在图中确定该点。作法：作法：作点作点B B关于直线关于直线 a 的对称点点的对称点点C,C,连接连接ACAC交直线交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。抽水站的位置。 ABa3.3.某班举行晚会，桌子摆成两直条某班举行晚会，桌子摆成两直条( (如图中的如图中的AOAO，BO)BO)，AOAO桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了桔子，OBOB桌面上摆满了糖桌面上摆满了糖果，坐在果，坐在C C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？使其所走的总路程最短？作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点D, 2. 作点作点C关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E, 3.连接连接DE分别交直线分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOBC 证明：证明：在直线在直线OA 上另外任取一点上另外任取一点G，连接，连接 点点D,点点C关于直线关于直线OA对称，对称， 点点G.H在在OA上，上，DG=CG, DM=CM, 同理同理NC=NE，HC=HE, CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE, DG+GH+HEDE（两点之间，线段最短），（两点之间，线段最短），即即CG+GH+HCCM+CN+MN即即CM+CN+MN最短最短AOB. .EDMNGH4. 如图：如图：C为马厩，为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。天的最短路线。作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点F, 2. 作点作点D关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E, 3.连接连接EF分别交直线分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD CEGH证明：在直线证明：在直线OA 上另外任取一点上另外任取一点G，连接，连接 点点F,点点C关于直线关于直线OA对称，点对称，点G.M在在OA上，上，GF=GC,FM=CM, 同理同理HD=HE，ND=NE, CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形在四边形EFGH中，中，FG+GH+HEFE（两点之间，线段最短），（两点之间，线段最短），即即CG+GH+HDCM+MN+ND即即CM+MN+ND最短最短FAOBD CEMNGHABA/B/PQ最短路线：最短路线：A P Q BA P Q BlMN巩固反馈：巩固反馈：1、如图，张庄、如图，张庄A、李庄、李庄B位于河沿的同侧，现要在位于河沿的同侧，现要在河沿河沿g上修一提灌站上修一提灌站C向张庄向张庄A、李庄、李庄B提水。当提提水。当提灌站修在河沿灌站修在河沿g的的C处时，所用水管最短，为处时，所用水管最短，为3千米。千米。已知已知BC的长为的长为2千米，你能在图中找出张庄千米，你能在图中找出张庄A的位的位置吗？置吗？g.提灌站提灌站C李庄李庄B2、如图，小河边有两个村庄、如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自要在河边建一自来水厂向村庄来水厂向村庄A与村庄与村庄B供水。供水。(1)若要使厂部到若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择在村庄的距离相等，则应选择在哪建厂？哪建厂？（2）若要使厂部到）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在什村的水管最省料，应建在什么地方？么地方？A村村B村村3、如图，两条公路、如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点中间有一个油库，设为点P。如在两条公路上各设。如在两条公路上各设置一个加油站，请设计一个方案，把两个加油站设置一个加油站，请设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。OP