学习必备欢迎下载初中数学竞赛辅导资料(18) 正整数简单性质的复习甲. 连续正整数一 . n 位数的个数：一位正整数从1 到 9，共 9 个，两位数从10 到 99，共 90 个，三位数从 100 到 999 共 9 102个，那么n 位数的个数共_.(n 是正整数 ) 练习： 1. 一本书共1989 页，用 0 到 9的数码，给每一页编号，总共要用数码个. 2.由连续正整数写成的数1234 9991000 是一个 _位数；100110021003 19881989 是_位数 . 3. 除以 3 余 1 的两位数有 _个，三位数有_个， n 位数有 _个. 4. 从 1 到 100的正整数中，共有偶数_个，含3 的倍数 _个；从 50 到 1000 的正整数中，共有偶数_个，含 3 的倍数 _个 . 二 . 连续正整数的和：1+2+3+ +n=(1+n) 2n. 把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和. 练习： 5.计算 2+4+6+ +100=_. 6.1+3+5+ +99=_. 7.5+10+15+ +100=_. 8.1+4+7+ +100=_. 9.1+2+3+ +1989 其和是偶数或奇数？答_ 10.和等于 100 的连续正整数共有_组，它们是 _. 11.和等于 100 的连续整数共有_组，它们是 _. 三 . 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数123456789 各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+ +(4+5)=9 5=45；123499100 各位数字和是 (0+99)+(1+98)+ +(49+50)+1=18 50+1=901. 练习： 12. 整数1234 9991000 各位上的数字和是_. 13.把由 1 开始的正整数依次写下去，直到第198 位为止：位198011121234567891这个数用9除的余数是 _. (1987 年全国初中数学联赛题) 14.由 1 到 100 这 100 个正整数顺次写成的数1234 99100 中：它是一个 _位数；它的各位上的数字和等于_；从这一数中划去100 个数字，使剩下的数尽可能大，那么剩下的数的前十位是 _. 四.连续正整数的积： 123 n 记作 n !读作 n 的阶乘 . n 个连续正整数的积能被n!整除 . 如： 2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2) (a+n1). a 为整数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载 n!中含有质因数m 的个数是mn+2mn+imn. x 表示不大于x 的最大正整数，i=1,2,3mi n 如： 123 10 的积中，含质因数3 的个数是：2310310=3+1=4 练习： 15. 在 100!的积中，含质因数5 的个数是： _ 16.一串数1，4， 7， 10，697， 700 相乘的积中，末尾共有零_个(1988 年全国初中数学联赛题) 17. 求证： 10494 | 1989!18. 求证： 4! | a(a21)(a+2) a为整数五 . 两个连续正整数必互质练习： 19. 如果 n+1 个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之. 乙. 正整数十进制的表示法一 . n+1 位的正整数记作：an10n+an1 10n1+ +a110+a0其中 n 是正整数，且0ai9 (i=1,2,3,n)的整数 , 最高位 an 0. 例如： 54321=5104+4103+3102+210+1. 例题：从12 到 33 共 22 个正整数连写成A=121314 3233. 试证： A 能被 99 整除 . 证明： A=12 1042+13 1040+141038+ +31104+32 102+33 =1210021+1310020+141019+ +311002+32100+33. 100 的任何次幂除以9 的余数都是1，即 100 n=(99+1) n 1 (mod 9) A=99k+12+13+14+ +31+32+33 (k 为正整数) =99 k+(12+33)+(13+32)+ +(22+23) =99k+45 11 =99k+995. A 能被 99 整除 . 练习： 20. 把从 19 到 80 的连结两位数连写成192021227980.试证明这个数能被1980 整除二 . 常见的一些特例99999个n=10 n 1, 33333个n=31(10 n 1), 9111111个n(10 n1). 例题：试证明12，1122，111222，11112222，这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积 . 证明：第n 个数是2122221111个个nn=)110(91n10 n+) 110(92n=) 110(91n(10 n+2) =331103110nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载=)13110(3110nn=33333个n433333)1(个n. 证毕 . 练习： 21. 化简99999个n99999个n+199999个n=_. 22. 化简2122222-1111个个nn=_. 23. 求证11 9 9 011 1 1个是合数 . 24. 已知：存在正整数n,能使数11111个n被 1987 整除 . 求证：数p=11111个n99999个n88888个n77777个n和数 q=111111个n919999个n818888个n717777个n都能被 1987 整除 . (1987 年全国初中数学联赛题) 25. 证明：把一个大于1000 的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7(或 13)整除，则这个正整数就能被7(或 13)整除 . 26.求证：11111个n1010000个n5+1 是完全平方数.丙. 末位数的性质.一.用 N (a)表示自然数的个位数. 例如 a=124 时， N (a)=4；a=3 时， N (a)=3. 1. N (a4k+r)=N (ar) a 和 k 都是整数， r=1,2,3,4. 特别的：个位数为0，1，5，6 的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4， 9 的正偶数次幂的个位数也是它本身. 2.N (a)=N (b)N (ab)=010 |(ab). 3.若 N (a)=a0, N (b)=b0.则 N (an)=N (a0n)；N (ab)=N (a0b0). 例题 1：求 53100 ；和 777的个位数 . 解： N (53100)=N (3424+4)=N (34)=1 先把幂的指数77化为 4k+r 形式，设法出现4 的因数 . 77=777+7=7(761)+4+3 =7(721)(74+72+1)+4+3 =7412 (74+72+1)+4+3 =4k+3 N(777)=N(74k+3)=N(73)=3. 练习： 27. 19891989的个位数是 _，999的个位数是 _. 28.求证： 10 | (19871989 19931991). 29.2210331577205525的个位数是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载二. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5， 6，9；连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12，22，32， 102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45. 1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和例题 1. 填空： 12，22， 32， 1234567892的和的个位数的数字是_. (1991 年全国初中数学联赛题) 解： 12，22，32， 102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45. 11 到 20；21 到 30；31 到 40； 123456781 到 123456789，的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0) (12345678+1) 的个位数 5.2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法例题 2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数. 证明： (用反证法 )设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：(n2)2+(n1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2(n, k 都是整数 )5(n2+2)=k2 . k2是 5 的倍数， k 也是 5 的倍数 . 设 k=5m, 则 5(n2+2)=25m2. n2+2=5m2. n2+2 是 5 的倍数，其个位数只能是0 或 5，那么n2的倍数是8 或 3. 但任何自然数平方的末位数，都不可能是8 或 3. 假设不能成立任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数. 3.判断不是完全平方数的其他方法例题 3. 已知： a 是正整数 . 求证：a(a+1)+1 不是完全平方数证明： a(a+1)+1=a2+a+1，且 a 是正整数 a2 a(a+1)+1=a2+a+11 的正整数 ) 不是完全平方数证明：根据奇数的平方数除以4 必余 1，即 (2k+1)2=4(k+1)+1. 但1111 1个n=1100111112-个n=4k+11=4k+4 2+3=4(k+2)+3 即11111个n除以 4 余数为 3，而不是1，它不是完全平方数. 例题 5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数. 证明：设2a+1,2b+1(a,b 是整数 )是任意的两个奇数. (2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1 =4(a2+b2+a+b)+2. 这表明其和是偶数，但不是4 的倍数，故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载三. 魔术数：将自然数N 接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N 称为魔术数 .常见的魔术数有：a)能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5(即 10 的一位正约数是魔术数) b)能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20， 25，50(即 100 的两位正约数也是魔术数 )c)能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200， 250，500(即 1000 的三位正约数也是魔术数)练习： 30. 在小于 130 的自然数中魔术数的个数为_. (1986 年全国初中数学联赛题) 四. 两个连续自然数，积的个位数只有0，2， 6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 练习： 31. 已知： n 是自然数，且9n2+5n+26 的值是两个相邻自然数的积，那么n 的值是：_.(1985 年上海初中数学竞赛题) 丁. 质数、合数1.正整数的一种分类：).1(.)1(1然数整除和本身外还能被其他自除合数；然数整除和本身外不能被其他自除质数；2.质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数. 3.互质数：是指公约数只有1 的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数. 例题：试写出10 个连续自然数，个个都是合数. 解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：令 A=1234567891011 那么 A+2，A+3， A+4，A+5，A+6，A+7 ，A+8，A+9 ，A+10，A+11 就是 10 个连续数，且个个都是合数. 一般地，要写出n 个连续自然数，个个是合数，可用令 m=n+1, 那么 m!+2, m!+3, m!+4, + + m!+n+1 就是所求的合数. m!+i (2in+1) 有公约数i. 练习： 32. 已知质数 a， 与奇数 b 的和等于11，那么 a=_,b=_. 33.两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于_，_. 34.写出 10 个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1) 2， m!=22! 那么所求的合数是22!+3，_,_,_,35.写出 10 个连续自然数，个个都是合数，还可令N=23 5711. (这里 11=10+1，即 N 是不大于11 的质数的积 ).那么N+2 ，N+3 ，N+4，N+11 就是所求的合数.这是为什么？如果要写 15 个呢？36.已知： x,m,n 都是正整数. 求证： 24m+2+x4n是合数 . 戊. 奇数和偶数1.整数的一种分类：) 12( .2)02(2，余数为即除以整除的整数奇数：不能被，余数为即除以整除的整数；偶数：能被精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载2. 运算性质：奇数+奇数 =偶数，偶数 +偶数 =偶数，奇数 +偶数 =奇数 . 奇数奇数 =奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数 . (奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数. 4. 其他性质： 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数. 奇数的平方被4 除余 1；偶数的平方能被4 整除；除以4 余 2 或 3 的整数不是平方数 . a)2n (n 为正整数 )不含大于 1 的奇因数 . b)若两个整数的和(差 )是奇数，则它们必一奇一偶. c)若 n 个整数的积是奇数，则它们都是奇数. 例 1. 设 m 与 n 都是正整数，试证明m3n3为偶数的充分必要条件是mn 为偶数 . 证明： m3 n3（ mn）(m2+mn+n2). 当 m n 为偶数时，不论m2+mn+n2是奇数或偶数，m3n3都是偶数；mn 为偶数是m3n3为偶数的充分条件. 当 m n 为奇数时， m, n 必一奇一偶， m2，mn，n2三个数中只有一个奇数，m2+mn+n2是奇数，从而m3n3也是奇数 . mn 为偶数，是m3n3为偶数的必要条件. 综上所述m3n3为偶数的充分必要条件是mn 为偶数 . 例 2. 求方程 x2 y2=1990 的整数解 . 解： (x+y)(x y)=25 199. 若 x, y 同是奇数或同是偶数，则 x+y，x y 都是偶数， 其积是 4 的倍数， 但 1990不含 4 的因数，方程左、右两边不能相等. 若 x, y 为一奇一偶，则xy，x+y 都是奇数，其积是奇数，但1990 不是奇数，方程两边也不能相等. 综上所述，不论x, y 取什么整数值，方程两边都不能相等. 所以原方程没有整数解本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性. 练习： 37. 设 n 为整数，试判定n2n+1 是奇数或偶数. 38. 1001+1002+1003+ +1989 其和是偶数或奇数，为什么？39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由. 40. 求证：方程x2+1989x+9891=0 没有整数根 . 41. 已知：.0321321nxxxxxxxxnn；求证： n 是 4 的倍数 . 42. 若 n 是大于 1 的整数， p=n+(n21)2)1(1n试判定 p 是奇数或偶数，或奇偶数都有可能 . (1985 年全国初中数学联赛题) 已. 按余数分类1.整数被正整数m 除，按它的余数可分为m 类，称按模m 分类 . 如：模 m=2，可把整数分为2 类:2k, 2k+1 k 为整数，下同模 m=3，可把整数分为3 类:3k, 3k+1，3k+2. 模 m=9，可把整数分为9 类:9k,9k+1,9k+2.9k+8. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载2.整数除以9 的余数，与这个整数各位上的数字和除以9 的余数相同 . 如： 6372，5273， 4785 各位数字和除以9 的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9 的余数也分别是0，8，6. 3.按模 m 分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质. 如：若 a=5k1+1,b=5k2+2. 则 a+b 除以 5 余数是 3 (1+2)；ab除以 5 余 2 (12)；b2除以 5 余 4 (22). 例 1. 求 19891989除以 7 的余数 . 解： 19891989=(7284+1)1989， 19891989 119891 (mod 7). 即 19891989除以 7 的余数是1. 练习： 43. 今天是星期一，99天之后是星期_. 44. n 个整数都除以n1, 至少有两个是同余数，这是为什么？45. a 是整数，最简分数7a化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几位？4.运用余数性质和整数除以9 的余数特征，可对四则运算进行检验例 2. 下列演算是否正确？ 12625+9568=21193 ； 2473429=1060927. 解：用各位数字和除以9，得到余数：12625，9568，21193 除以 9 的余数分别是7，1，7. 7+17， 演算必有错 . 2473，429，1060927 除以 9的余数分别是7，6，7. 而 76=42，它除以9 余数为 6，不是 7，故演算也有错. 注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确. 练习： 46. 检验下列计算有无差错：37285483275=289679 ；233662926236=3748. 5.整数按模分类，在证明题中的应用例 3. 求证：任意两个整数a和 b，它们的和、差、积中，至少有一个是3 的倍数 . 证明：把整数a 和 b 按模 3 分类，再详尽地讨论. 如果 a, b 除以 3，有同余数(包括同余 0、1、2)，那么 a, b的差是 3 的倍数；如果 a, b 除以 3，余数不同，但有一个余数是0，那么 a, b 的积是 3 的倍数；如果 a, b 除以 3，余数分别是1 和 2，那么 a, b 的和是 3 的倍数 . 综上所述任意两个整数a，b，它们的和、差、积中，至少有一个是3 的倍数 . (分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏) 例 4. 已知：p5，且 p 和 2p+1 都是质数 . 求证： 4p+1 是合数 . 证明：把整数按模3 分类 . 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k 为整数 )三类讨论p 是质数，不能是3的倍数，即p3k；当 p=3k+1 时 , 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). 2p+1 不是质数，即p 3k+1；只有当质数p=3k+2 时，2p+1=2(3k+2)+1=6k+5. 2 p+1 也是质数，符合题设 . 这时， 4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3) 是合数 . 证毕精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载练习： 47. 已知：整数a 不能被 2 和 3整除. 求证： a2+23 能被 24 整除 . 48. 求证：任何两个整数的平方和除以8，余数不可能为6. 49. 若正整数a不是 5 的倍数 . 则 a8+3a44 能被 100 整除 . 50. 已知：自然数n2 求证： 2n 1 和 2n+1 中，如果有一个是质数，则另一个必是合数 . 51.设 a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证a3bab3,b3cbc3,c3aca3三个数中，至少有一个能被10 整除 . (1986 年全国初中数学联赛题) 庚. 整数解1.二元一次方程ax+by=c 的整数解：当a,b互质时，若有一个整数的特解00yyxx那么可写出它的通解)(00为整数kakyybkxx2.运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数整数 =整数，整数整数 =整数，整数 (这整数的约数)=整数，(整数 )自然数=整数3.一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解. 4.根据已知条件讨论整数解. 例 1. 小军和小红的生日.都在 10 月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于34，小军比小红早出生，求小军的生日. 解：设小军和小红的生日分别为x, y，根据题意，得347xykxy(k=1,2,3,4) 2x=347k x=17k27k=1, 3 时，x 没有整数解；当 k=2 时，.2410yx，当 k=4 时，.313yyx，(10 月份没有31 日，舍去 ) 小军的生日在10 月 10 日例 2. 如果一个三位数除以11 所得的商， 是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数. (1988 年泉州市初二数学双基赛题)解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c 都是整数， 0a9，0b, c9. 那么1191110100cbabacba，且8ab+c0, 以 c=0, 1, 2, 3, 4逐一讨论a的解 . 当c=2,4 时，无实数根；当 c=1,3 时，无整数解；只有当 c=0 时， a=5；或a=0. (a=0 不合题意，舍去) 只有 c=0,a=5,b=5 适合所求的三位数是550；(2)当 ab+c=11 时，得 9a+b+1=a2+b2+c2. 以 b=a+c 代入，并整理为关于a 的二次方程，得2a2+2(c16)a+2c223c+131=0. 仿(1)通过韦达定理，由c 的值逐一以讨论a 的解 . 只有当 c=3 时, a=8, b=0 适合所有条件 .即所求三位数为803. 综上所述，符合条件的三位数有550 和 803. 练习： 52. 正整数 x1, x2, x3, xn满足等式x1x2x3x4+x5=x1x2x3x4x4x5 那么x5的最大值是 _.（1988 年全国初中数学联赛题）53.如果 p, q, pqqp12,12都是整数， .且 p1, q1, 试求 p+q 的值 . （1988年全国初中数学联赛题）54.能否找到这样的两个正整数m 和 n，使得等式m2+1986=n2成立 . 试说出你的猜想，并加以证明. （ 1986 年泉州市初二数学双基赛题）55.当 m 取何整数时，关于x 的二次方程m2x218mx+72=x26x 的根是正整数，并求出它的根 . （1988 年泉州市初二数学双基赛题）56.若关于 x 的二次方程 （1+a）x2+2x+1 a=0 的两个实数根都是整数，那么 a的取值是 _. （1989 年泉州市初二数学双基赛题）57.不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，适合条件的三角形共有_个，它们的边长分别是：_. 58.直角三角形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于面积的数值，求各边长. 59.鸡翁一，值钱； ，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？60.甲买铅笔4 支，笔记本10 本，文具盒1 个共付 1.69 元，乙买铅笔3 支，笔记本 7 本，文具盒 1个共付 1.26 元，丙买铅笔、 笔记本、 文具盒各 1，应付几元？若 1234 99100=12 nM，其中 M 为自然数， n 为使得等式成立的最大自然数，则M 是( )(A). 能被 2整除，不能被3 整除. (B).能被 3 整除，但不能被2 整除 . (C).被 4 整除，不能被3 整除 . (D). 不能被 3 整除，也不能被2 整除 . (1991 年全国初中数学联赛题) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载参考答案1.9+902+9003+9904=6849 2.2893 7956 3.30， 300，310n14. 50,33,476,317 . 5.2550 6.2500.7. 1050 1.1717.9.奇数(1+1989)21989. 10 有两组： 18， 19，20，21，22；9，10，11，12，13，14，15， 16. 11.有四组：除上题中的两组外，尚有8 到 16； 17 到 22 12.13501. 13. 余数是 6(由 1 到 102 刚好是 198 位). 14. (1)192 (2)901 (3)9999978596 15.5100+25100=24 16.60 个 .计算积中含质因数5 的个数是：从 10，25，40，55， 700 这组数中含质因数5 的共有 (70010)15+1=47；而 25，100，175， 700 含有 52因数，应各加1 个 5，共有 (10025)75+1=10；且 250，625，含有 53因数，应再各加1 个 5，共有2 个；625 含有 54因数，再加1 个 5. 总共是47+10+2+1=60. 17. 6251989125198925198951989=379+79+15+3=494 18.把 a(a21)(3a+2) 化为 a(a+1)(a1)(2a+4)+(a 2)=2(a 1)a(a+1)(a+2)+(a2)(a1)a(a+1). 19.根据两个连续整数必互质，把 n+1 个正整数按非连续数单独分组，因为它们都小于2n,所以最多分为n 组，那么n+1 个正整数至少有一个不能单独分组，即与n 组中的一个互质 . 20. 易证能被20 整除，再证能被99 整除21. 原数 =(10n1)2+110n+(10n1)=102n22. 原数 =91 (102n1)291(10n1)= =(3110n)2=(个n2)3333(23. 原数 =91 (1019901)= 91(10995+1) (109951) =91(10995+1) (101)N (N 为整数 ) 24. p=n1111(103n+9102n+810n+7) q=11111n(103n+3+9102n+2+810n+1+7) 10n=9个n1111+1，103n+3，102n+2，10n+1除以个n1111的余数分别为103，102， 10. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载q 的第二因式除以个n1111的余数分别为1103+9 102+810+725.设 A=103 M+N ，7|(M N). A=103 M+N=103 M+M M+N=1001M (MN). 26. 原数 =1)510(9110nn=27. 1. 28. 71与 33的个位数相同 . 29 . 0. 30.9 个(1，25，10， 20，25，50， 100，125). 31.2， 6.可设 9n2+5n+26=m(m+1),配方，分解因式32.2， 9. 33. 8，9. 34. 22!+3 ，22!+5 ，22!+7 ， 22!+19 ，22!+21 35. 可设 2 357111317，那么 N+2 ，N+3， N+16 即所求 . 36. (22n+1)2+(x2n)2+222n+1x2n4 22nx2n=(22n+1+x2n)2(2 2mxn)237.奇数 .38 奇数. 39. 4 个正整数的和为奇数，则这4 个数中有1 个或 3 个是奇数 . 40. 若有奇数根，则奇+奇+奇 0；若有偶数根，则偶+偶+奇 0. 41. 若 n 为奇数，则与 (1)矛盾；若n 为偶数，由 (1)可知，偶数必成双，再由(2)知 n 是 4 的倍数 . 42. 奇数43. 星期二，9 9除以 7 余数是 1. 44. 除以整数n1 的余数，最多只有n1 种45. 六位 .除以 7，余数除0 以外，只有6 种. 46. 不对，用9 除的余数1175，错 .8 2=32，除以 9 余数不是 6. 47. a=6k1，a2+23=12k(3k 1)+24 48. 把整数按模4 分类为 4n,4n+1,4n+2,4n+3.其平方后除以8 余数分别为0，1，4，1任何两个余数的和都不等于6. 49. a8+3a44=(a4+4)(a2+1)(a21), a5k,则 a=5k1,5k 2,a2除以 5 的余数分别为1 和 4， a4除以 5 余数均为 1. 50. 2 n 不是 3 的倍数，可分别设为3k+1，3k 1. 51. (同练习 69 第 10 题).52. 5 53. 8 54. 不可能 .(n+m)(n m)=1986 按 n+m, nm 同奇，同偶讨论. 55. 原方程化为（ m2-1）x2-6(3m-1)x+72=0, (m+1)x-12(m-1)x-6=0. x1=112m；x2=16m.方程的根是自然数，11 , 2 , 3 , 4 ,11 , 2 , 3 , 6 .mm0,1,2,3,5,11;2,3,4,7.mmm=2,；或 m=3. 当 m=2 时， x1=4； 或 x2=6.当m=3 时, x1=x2=3. 56. a=3,2, 0, 1 (x1+x2=a12, x1x2=1+a12) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载57. 有三个，其边长分别是：11，9，8；12，9，7；13，9，6. 58.6，8，10 或 5，12，13. 59.设鸡翁，鸡母，鸡雏一只分别值x,y,z 钱，则1001531003xyzxyz消去一元，得二元一次方程：7x+4y=200. 求自然数解，得有四组答案：12,8,4,0,4,11,18,25,84;81;78;75.xxxxyyyyzzzz60.12673169104zyxzyxx+y+z=40 .61. 选(A).根据连续整数的积的性质，100!含因数 2 共 97 个，含因数3 有 48 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页