1 / 18 工程数学作业（一）答案（满分 100 分）第 2 章矩阵（一）单项选择题（每小题2 分，共 20 分）设aaabbbccc1231231232，则aaaabababccc123112233123232323（D） A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 若000100002001001aa，则a（A） A. 12 B. 1 C. 12 D. 1 乘积矩阵1124103521中元素c23（C） A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 设A B,均为n阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B） A. ABAB111 B. ()ABBA11 C. ()ABAB111 D. ()ABAB111设A B,均为n阶方阵，k0且k1，则下列等式正确的是（D） A. ABAB B. ABn A B C. kAk A D. kAkAn()下列结论正确的是（A） A. 若A是正交矩阵，则A1也是正交矩阵 B. 若A B,均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵 C. 若A B,均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵 D. 若A B,均为n阶非零矩阵，则AB0矩阵1325的伴随矩阵为（C） A. 1325 B. 1325精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页2 / 18 C. 5321 D. 5321方阵A可逆的充分必要条件是（B） A.A0 B.A0 C. A*0 D. A*0设A B C,均为n阶可逆矩阵，则()ACB1（D） A. ()BAC111 B. B CA11 C. ACB111() D. ()BCA111设A B C,均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A） A. ()ABAABB2222 B. ()AB BBAB2 C. ()221111ABCCBA D. ()22ABCC B A（二）填空题（每小题2 分，共 20 分）210140001711111111x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是2若A为34矩阵，B为25矩阵，切乘积AC B有意义，则C为 54 矩阵二阶矩阵A110151051设AB124034120314,，则()AB815360设A B,均为 3 阶矩阵，且AB3，则2AB72设A B,均为 3 阶矩阵，且AB13,，则312()A B 3若Aa101为正交矩阵，则a0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页3 / 18 矩阵212402033的秩为 2设AA12,是两个可逆矩阵，则AOOA1211211AOOA（三）解答题（每小题8 分，共 48 分）设ABC123511435431,，求AB；AC；23AC；AB5；AB；()ABC答案：8130BA4066CA73161732CA01222265BA122377AB801512156)(CAB设ABC121012103211114321002,，求ACBC解：10221046200123411102420)(CBABCAC已知AB310121342102111211,，求满足方程32AXB中的X解：32AXB252112712511234511725223821)3(21BAX写出 4 阶行列式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页4 / 18 1020143602533110中元素aa4142,的代数余子式，并求其值答案 ：0352634020) 1(1441a45350631021)1(2442a用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：122212221；1234231211111026；1000110011101111解：（1）919292929192929291100010001919292031320323110021020112201203231900630201102012001360630221100010001122212221|2313323212312122913123222rrrrrrrrrrrrrrIA9192929291929292911A（2）35141201132051717266221A(过程略 ) (3)11000110001100011A求矩阵1011011110110010121012113201的秩解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页5 / 18 000000001110001110110110110101110000111000111011011011011221110011100011101101101101102311210121010011011110110143424131212rrrrrrrrrr3)(AR（四）证明题（每小题4 分，共 12 分）对任意方阵A，试证AA是对称矩阵证明：)()(AAAAAAAAAA是对称矩阵若A是n阶方阵，且AAI，试证A1或1证明 ：A是n阶方阵，且AAI12IAAAAAA1或1A若A是正交矩阵，试证A也是正交矩阵证明：A是正交矩阵AA1)()()(111AAAA即A是正交矩阵工程数学作业（第二次）(满分 100 分) 第 3 章线性方程组（一）单项选择题(每小题 2 分，共 16 分) 用消元法得xxxxxx12323324102的解xxx123为（ C） A. ,1 02 B. ,7 22 C. ,11 22 D. ,1122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页6 / 18 线性方程组xxxxxxx12313232326334（B） A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解向量组100010001121304,的秩为（A） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 设向量组为12341100001110101111,，则（ B）是极大无关组 A. 12, B. 123, C. 124, D. 1A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D） A. 秩()A秩()A B. 秩( )A秩()A C. 秩()A秩()A D. 秩()A秩()A1若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A） A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解以下结论正确的是（D） A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解若向量组12,s线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出 A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量9设A，为n阶矩阵，既是又是的特征值，x既是又是的属于的特征向量，则结论（）成立是 AB的特征值是 A+B的特征值是 AB 的特征值x是 A+B的属于的特征向量10设，为n阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似BAABABAB)(BPAP1BPPA（二）填空题 (每小题 2 分，共 16 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页7 / 18 当时，齐次线性方程组xxxx121200有非零解向量组120 0 01 1 1, ,线性相关向量组1 2 31 2 01 0 00 0 0,的秩是设齐次线性方程组1122330xxx的系数行列式1230，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量123,是线性相关的向量组1231 00 10 0,的极大线性无关组是21,向量组12,s的秩与矩阵12,s的秩相同设线性方程组AX0中有 5 个未知量，且秩()A3，则其基础解系中线性无关的解向量有个设线性方程组AXb有解，X0是它的一个特解，且AX0的基础解系为XX12,，则AXb的通解为22110XkXkX 9若是的特征值，则是方程0AI的根10若矩阵满足AA1，则称为正交矩阵（三）解答题 (第 1 小题 9 分，其余每小题11 分) 1用消元法解线性方程组xxxxxxxxxxxxxxxx123412341234123432638502412432解：2612100090392700188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323rrrrrrrrrrrrA3311000411004615010124420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213rrrrrrrrrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页8 / 18 31000101001001020001310004110046150101244200134241441542111rrrrrrr方程组解为31124321xxxx设有线性方程组11111112xyz为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解 ? 解：22322222)1)(1()1)(2(00)1(110111110110111111111111111132312131rrrrrrrrA当1且2时，3)()(ARAR，方程组有唯一解当1时，1)()(ARAR，方程组有无穷多解判断向量能否由向量组123,线性表出，若能，写出一种表出方式其中83710271335025631123,解：向量能否由向量组321,线性表出，当且仅当方程组332211xxx有解这里571000117100041310730110123730136578532,321A)()(ARAR方程组无解不能由向量321,线性表出计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页9 / 18 1234112343789131303319636,解：000000001800021101131631343393608293711131,4321该向量组线性相关求齐次线性方程组xxxxxxxxxxxxxxx1234123412341243205230112503540的一个基础解系解：30000000731402114501103140731407314021314053521113215213142321241312114335rrrrrrrrrrrrA000010000143100145010000100021143102114501000030002114310211450123133432212131141rrrrrrrr方程组的一般解为014314543231xxxxx令13x，得基础解系10143145求下列线性方程组的全部解xxxxxxxxxxxxxxx12341234124123452311342594175361解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页10 / 18 00000000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553rrrrrrrrrrrrA0000000000221711012179012141r方程组一般解为2217112197432431xxxxxx令13kx，24kx，这里1k，2k为任意常数，得方程组通解00211021210171972217112197212121214321kkkkkkkkxxxx试证：任一维向量4321,aaaa都可由向量组00011，00112，01113，11114线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式证明：00011001012010023100034任一维向量可唯一表示为)()()(10000100001000013442331221143214321aaaaaaaaaaaa44343232121)()()(aaaaaaa试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明： 设BAX为含n个未知量的线性方程组该方程组有解，即nARAR)()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页11 / 18 从而BAX有唯一解当且仅当nAR)(而相应齐次线性方程组0AX只有零解的充分必要条件是nAR)(BAX有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组0AX只有零解9设是可逆矩阵的特征值，且0，试证：1是矩阵1A的特征值证明：是可逆矩阵的特征值存在向量，使A1111)()()(AAAAAAI11A即1是矩阵1A的特征值10用配方法将二次型43324221242322212222xxxxxxxxxxxxf化为标准型解：42244232322143324224232212)(2)(222)(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxf222423221)()(xxxxxx令211xxy，4232xxxy，23xy，44yx即44432332311yxyyyxyxyyx则将二次型化为标准型232221yyyf工程数学作业（第三次）(满分 100 分) 第 4 章随机事件与概率（一）单项选择题A B,为两个事件，则（B）成立 A. ()ABBA B. ()ABBA C. ()ABBA D. ()ABBA如果（C）成立，则事件A与B互为对立事件 A. AB B. ABU C. AB且ABU D. A与B互为对立事件10 张奖券中含有3 张中奖的奖券，每人购买1 张，则前3 个购买者中恰有1 人中奖的概率为（ D） A. C10320 70 3. B. 03 . C. 07032. D. 307032.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页12 / 18 4. 对于事件A B,，命题（ C）是正确的 A. 如果A B,互不相容，则AB,互不相容 B. 如果AB，则AB C. 如果A B,对立，则AB,对立 D. 如果A B,相容，则AB,相容某随机实验的成功率为)10(pp,则在3 次重复实验中至少失败1 次的概率为（D） A.3)1(p B. 31p C. )1(3p D. )1()1()1(223ppppp6.设 随 机 变 量XB n p( ,)， 且E XD X(). ,().48096， 则 参 数n与p分 别 是（A） A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2 7.设fx( )为 连 续 型 随 机 变 量X的 密 度 函 数 ， 则 对 任 意 的a b ab,()，E X()（A） A. xf xx( )d B. xf xxab( )d C. f xxab( )d D. f xx( )d8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B） A. fxxx( )sin,2320其它 B. f xxx( )sin,020其它 C. fxxx( )sin,0320其它 D. f xxx( )sin,00其它9.设连续型随机变量X的密度函数为fx( )，分布函数为F x( )，则对任意的区间(, )a b，则)(bXaP（D） A. F aF b( )( ) B. F xxab( )d C. faf b( )( ) D. f xxab( )d10.设X为随机变量，E XD X(),()2，当（ C）时，有E YD Y( ),( )01 A. YX B. YX C. YX D. YX2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页13 / 18 （二）填空题从数字1,2,3,4,5 中任取3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为522. 已 知P AP B(). ,( ).0305， 则 当 事 件A B,互 不 相 容 时 ，P AB()0.8 ，P AB()0.33.A B,为两个事件，且BA，则P AB()AP4. 已知P ABP ABP Ap()() ,()，则P B()P15. 若事件A B,相互独立，且P Ap P Bq( ),( )，则P AB()pqqp6. 已 知P AP B(). ,().0305， 则 当 事 件A B,相 互 独 立 时 ，P AB()0.65 ，P A B()0.37.设随机变量XU( , )0 1，则X的分布函数F x( )111000xxxx8.若XB(, . )20 03，则E X()69.若XN(,)2，则P X()3)3(210.EXE XYE Y()( )称为二维随机变量(,)X Y的协方差（三）解答题1.设A B C,为三个事件，试用A B C,的运算分别表示下列事件：A B C,中至少有一个发生；A B C,中只有一个发生；A B C,中至多有一个发生；A B C,中至少有两个发生；A B C,中不多于两个发生；A B C,中只有C发生解:(1)CBA (2)CBACBACBA (3)CBACBACBACBA (4)BCACAB (5)CBA (6)CBA2. 袋中有 3 个红球， 2 个白球，现从中随机抽取2 个球，求下列事件的概率： 2 球恰好同色； 2 球中至少有1 红球解:设A=“2 球恰好同色”，B=“ 2 球中至少有1 红球”521013)(252223CCCAP1091036)(25231213CCCCBP3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页14 / 18 加工出来的零件是正品的概率解： 设iA“第 i 道工序出正品”（i=1,2）9506. 0)03.01)(02.01()|()()(12121AAPAPAAP4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率解： 设1产品由甲厂生产A2产品由乙厂生产A3产品由丙厂生产A产品合格B)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP865.080. 02.085.03. 09. 05.05. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止已知他每发命中的概率是p，求所需设计次数X的概率分布解：PXP)1(PPXP)1()2(PPXP2)1()3(PPkXPk1)1()(故 X的概率分布是pppppppkk 12)1()1()1(3216.设随机变量X的概率分布为012345601015020301201003.试求P XPXP X(),(),()4253解：87. 012. 03. 02 . 015. 01. 0) 4() 3() 2() 1()0()4(XPXPXPXPXPXP72.01.012.03.02.0)5()4()3()2()52(XPXPXPXPXP7.03. 01)3(1)3(XPXP7.设随机变量X具有概率密度f xxx( ),2010其它试求P XPX(),()12142精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页15 / 18 解：412)()21(210221021xxdxdxxfXP16152)()241(1412141241xxdxdxxfXP8. 设Xf xxx( ),2010其它，求E XD X(),()解：32322)()(10310xxdxxdxxxfXE21422)()(10410222xxdxxdxxfxXE181)32(21)()()(222xEXEXD9. 设)6.0, 1(2NX，计算PX( . )0218；P X()0解：8164. 019082. 021)33. 1 (2)33. 1()33. 1()33. 12. 0133. 1()8. 12. 0(XPXP0475.09525.01)67. 1(1)67.16.01()0(XPXP10.设XXXn12,是独立同分布的随机变量，已知E XD X(),()112，设XnXiin11，求E XD X() ,()解：)()()(1)(1)1()(21211nnniiXEXEXEnXXXEnXnEXEnn1)()()(1)(1)1()(2122121nnniiXDXDXDnXXXDnXnDXD22211nnn工程数学作业（第四次）第 6 章统计推断（一）单项选择题设xxxn12,是来自正态总体N(,)2（,2均未知）的样本，则（A）是统计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页16 / 18 量 A. x1 B. x1 C. x122 D. x1设xxx123,是来自正态总体N (,)2（,2均未知）的样本，则统计量（D）不是的无偏估计 A. max,xxx123 B. 1212()xx C. 212xx D. xxx123（二）填空题1统计量就是不含未知参数的样本函数2参数估计的两种方法是点估计和区间估计常用的参数点估计有矩估计法和最大似然估计两种方法3比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性4设xxxn12,是来自正态总体N(,)2（2已知）的样本值，按给定的显著性水平检验HH0010:;:，需选取统计量nxU/05假设检验中的显著性水平为事件ux|0（u 为临界值）发生的概率（三）解答题1设对总体X得到一个容量为10 的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0 试分别计算样本均值x和样本方差s2解：6.336101101101iixx878.29 .2591)(110121012iixxs2设总体X的概率密度函数为fxxx( ;)(),1010其它试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数解：提示教材第214 页例 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页17 / 18 矩估计：,121) 1()(110niixnxdxxxXExx112?最大似然估计：)()1() 1();,(21121nnininxxxxxxxL0ln1ln,ln)1ln(ln11niiniixndLdxnL，1ln?1niixn 3测两点之间的直线距离5 次，测得距离的值为（单位：m）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0 测量值可以认为是服从正态分布N(,)2的，求与2的估计值并在22 5 .；2未知的情况下，分别求的置信度为0.95 的置信区间解：11051?51iixx875.1)(151?5122iixxs（1）当225 .时，由 10.95，975.021)(查表得：96.1故所求置信区间为：4 .111,6.108,nxnx（2）当2未知时，用2s替代2，查 t (4, 0.05 ) ，得776.2故所求置信区间为：7.111, 3.108,nsxnsx4设某产品的性能指标服从正态分布N(,)2，从历史资料已知4，抽查10 个样品，求得均值为17，取显著性水平005.，问原假设H020:是否成立解：237.0162.343|10/42017|/|0nxU，由975.021)(，查表得：96. 1因为237.0|U 1.96 ，所以拒绝0H5某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8 个样品，测得的长度为（单位：cm）：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页18 / 18 20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5 问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（005.）解：由已知条件可求得：0125.20x0671.02s1365.0259.0035.0|8/259.0200125.20|/|0nsxT62.2)05.0, 9()05.0, 1(tnt| T | 2.62 接受 H0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页