读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思xy0ABCMD5FAPHBQFFPHy0xA解圆锥曲线问题常用方法例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P 的坐标为 _ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为。分析：（1） A 在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当A、P、F 三点共线时，距离和最小。（ 2）B 在抛物线内，如图，作QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解： （1） （2，2）连PF，当A、P、 F 三点共线时，PFAPPHAP最小，此时AF 的方程为) 1(13024xy即 y=22(x-1), 代入 y2=4x 得 P(2,22)， （注：另一交点为(2,21)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去）（ 2） （1 ,41）过 Q 作 QR l 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时，QRBQQFBQ最小，此时Q 点的纵坐标为 1，代入 y2=4x 得 x=41， Q(1 ,41) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例 2、F 是椭圆13422yx的右焦点， A(1,1) 为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。（ 1）PFPA的最小值为（ 2）PFPA2的最小值为分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。解： （1）4-5设另一焦点为F，则F(-1,0)连 AF,PF542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当 P是FA 的延长线与椭圆的交点时, PFPA取得最小值为4-5。（ 2）作出右准线l，作 PHl 交于 H，因 a2=4，b2=3，c2=1， a=2， c=1， e=21，PHPFPHPF2,21即PHPAPFPA2当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca例 3、 动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切 ,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方程。分析： 作图时， 要注意相切时的 “图形特征” ：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M 、C 共线， B、 D、 M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思MDMC） 。解：如图，MDMC，26MBMADBMBMAAC即8MBMA（* ）点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15 轨迹方程为1151622yx点 评 ： 得 到 方 程 （ * ） 后 ， 应 直 接 利 用 椭 圆 的 定 义 写 出 方 程 ， 而 无 需 再 用 距 离 公 式 列 式 求 解 ， 即 列 出4) 1() 1(2222yxyx，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例 4、 ABC 中， B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB=53sinA,求点 A 的轨迹方程。分析：由于sinA、sinB、 sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系。解： sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=532RsinA BCACAB53即6ACAB（* ）点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） 2a=6， 2c=10 a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为116922yx（x3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例 5、定长为3 的线段 AB 的两个端点在y=x2上移动， AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2， X22)，又设AB 中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0关于 x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（ 2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M 到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB 中点 M(x0，y0) 则0222102122221221229)()(yxxxxxxxxx由得 (x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即(x1+x2)2-4x1x2 1+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得(2x0)2-(8x02-4y0) 1+(2x0)2=92020041944xxy，1149)14(4944202020200xxxxy, 5192450y当 4x02+1=3 即220x时，45)(min0y此时)45,22(M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思xy0MABA1A2M1M2B1B2xyF1F20ABCD法二：如图，32222ABBFAFBBAAMM232MM， 即23411MM，451MM， 当 AB 经过焦点F 时取得最小值。M 到 x 轴的最短距离为45例 6、已知椭圆)52(1122mmymx过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、 D、设 f(m)=CDAB,（ 1）求 f(m),（2）求 f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B 来源于“不同系统” ，A 在准线上， B 在椭圆上，同样 C 在椭圆上， D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x 轴上，立即可得防)()(22)(2)()(CDABCDABXxxxxxxxmf)()(2DACBxxxx)(2CBXx解 ： （ 1 ） 椭 圆1122mymx中 ， a2=m， b2=m-1 ， c2=1， 左 焦 点F1(-1,0) 则BC:y=x+1, 代 入 椭 圆 方 程 即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-)52(122mmm12222)()(2)()(2)(2121mmxxxxxxxxxxCDABmfCACDAB（ 2）)1211(2121122)(mmmmf当 m=5 时，9210)(minmf当 m=2 时，324)(maxmf点评：此题因最终需求CBxx，而 BC 斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、 C坐 标 代 入 作 差 ， 得0100kmymx， 将y0=x0+1 ， k=1代 入 得01100mxmx， 120mmx， 可 见122mmxxCB当然，解本题的关键在于对CDABmf)(的认识，通过线段在x 轴的“投影”发现CBxxmf)(是解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思此题的要点。【典型例题】例 1：已知 P(a,b) 是直线 x+2y-1=0 上任一点，求S=136422baba的最小值。分析：由此根式结构联想到距离公式，解： S=22)3()2(ba设 Q(-2,3),则 S=|PQ|, 它的最小值即Q到此直线的距离Smin5535|1322|点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t 消元后，它是一个一元二次函数）例 2：已知点P(x,y) 是圆 x2+y2-6x-4y+12=0上一动点，求xy的最值。解：设 O （0，0） ，则xy表示直线OP的斜率，由图可知，当直线OP与圆相切时，xy取得最值，设最值为k，则切线： y=kx, 即 kx-y=0 圆(x-3)2+(y-2)2=1, 由圆心（ 3，2）到直线kx-y=0 的距离为1 得11|23|2kk, 433k433,433maxminxyxy例 3：直线 l ：ax+y+2=0 平分双曲线191622yx的斜率为1 的弦，求a 的取值范围 . 分析： 由题意，直线l 恒过定点P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点M与点 P的连线的斜率即-a 的范围。解：设 A(x1,y1),B(x2,y2) 是双曲线上的点，且AB的斜率为1，AB的中点为M(x0,y0) 则：1916191622222121yxyx- 得01916, 09160022122212yxyyxx即即 M(X0,y0) 在直线 9x-16y=0 上。由 9x-16y=0 得 C79,716,D79,716191622yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思点 M的轨迹方程为9x-16y=0(x7716) kPD=167297160792,167297160792PDk由图知，当动直线l 的斜率 k16729,169169,16729时， l 过斜率为1 的弦 AB的中点 M ，而 k=-a a 的取值范围为：16972,169169,16729点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知， 弦 AB中点轨迹并不是一条直线 （9x-16y=0） ，而是这条直线上的两条射线（无端点） 。再利用图形中的特殊点（射线的端点C、D ）的属性（斜率）说明所求变量a 的取值范围。例 4：过 y2=x 上一点 A（4， 2）作倾斜角互补的两条直线AB 、AC交抛物线于B、C两点。求证：直线BC的斜率是定值。分析： （1）点 A为定点，点B、C为动点，因直线AB、AC的倾斜角互补，所以kAB与 kAC相反，故可用“ k 参数”法，设 AB的斜率为k，写出直线AB的方程，将AB的方程与抛物线方程联立，因A为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B坐标，同理可得点C坐标，再求BC斜率。（2） 因点 B、 C在抛物线上移动， 也可用“点参数” 法， 设 B （x1,y1） ,C(x2,y2), 因 x1=y12,x2=y22, 即可设 B （y12,y1） ,C(y22,y2) 。再考虑 kAB=-kAC得参数 y1,y2的关系。解法 1：设 AB的斜率为k，则 AC的斜率为 -k AB：y-2=k(x-4),与 y2=x 联立得： y-2=k(y2-4), 即 ky2-y-4k+2=0 y=2 是此方程的一解，2yB=kkykkB21,24xB=yB2=,44122kkk Bkkkkk21,44122kAC=-k, 以-k 代替 k 代入 B点坐标得Ckkkkk21,44122kBC=414414412121222kkkkkkkkkk为定值解法 2：设 B（y12,y1）,C(y22,y2) ，则 kBC=122122121yyyyyykAB=2142,214222221121yyykyyyAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思由题意， kAB=-kAC, 4,21212121yyyy则则： kBC=41为定值。点评：解法1 运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k 的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC的斜率为定值；解法2 利用点 B，C在抛物线上设点，形成含两个参数y1,y2的问题，用整体思想解题，运算量较小。例 5：在圆 x2+y2=4 上，有一定点A （2，0）和两动点B，C（A，B，C按逆时针排列） ，当 B，C两点保持 BAC=3时，求 ABC的重心的轨迹。分析：圆周角BAC=3可转化为圆心角BOC=32，选用“角参数” ，令 B（2cos，2sin ）则 C(2cos( +32),2sin(+32) 则重心可用 表示出来。解：连 OB ， OC ， BAC=3， BOC=32设 B （2cos ,2sin ）(0 34), 则 C(2cos( +32),2sin(+32) 设重心 G（x， y） ，则： x=)32cos(2cos2231 y=)32sin(2sin2031即： x=)3cos(132)3cos(123x y=)3sin(32)3sin(23y +)35,3(31)23()123(22yx。 （x0) 有公共点时a的取值范围分析 : 将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解, 用判别式0 可求得a 的取值范围。也可考虑另一代入顺序，从椭圆方程出发设公共点P（用参数形式） ，代入直线方程，转化为三角问题：asinx+bcosx=c何时有解。解法 一 ：由 直线 方程3x-4y+10=0得2543xy代入 椭 圆 方 程 得1)2543(1222xxa0421415)1691(22xxa0，得0)1691(4214)415(22a解得3282a，又 a0, 372a解法二：设有公共点为P，因公共点P 在椭圆上，利用椭圆方程设P（ acos， sin）再代入直线方程得3acos-4sin+10=0 yxBAC0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思4sin-3acos=10。16910cos1693sin1694222aaaa令 sin =16932aa，cos=16942a，则 sin(- )= 169102a，由1)sin(即 sin2(- ) 1 得11691002a9a284，a2328(a0) a3212点评：解法1，2 给出了两种不同的条件代入顺序，其解法1 的思路清晰，是常用方法，但运算量较大，对运算能力提出较高的要求，解法2 先考虑椭圆，设公共点再代入直线，技巧性强，但运算较易，考虑一般关系：“设直线l ：Ax+By+C=0与椭圆12222byax有公共点 , 求应满足的条件”此时，若用解法一则难于运算，而用解法二，设有公共点P，利用椭圆，设P（ acos，bsin）代入直线方程得Aacos+Bbsin=-C。12222bBaAC时上式有解。C2A2a2+B2b2因此，从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。高中数学高考总复习圆锥曲线的综合问题习题及详解一、选择题1(2010 聊城模考 )已知双曲线x2a2y2b2 1的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为() A5x245y21 B.x25y241 C.y25x241 D5x254y21 答案 D解析 抛物线 y2 4x 焦点为 (1,0)，双曲线中c 1，又 eca5，a55，b2 c2a211545，双曲线方程为x215y2451. 2 (2010 山东郓城 )已知对 kR，直线 ykx10 与椭圆x25y2m1 恒有公共点，则实数m 的取值范围是() A(0,1) B(0,5) C1,5)(5， ) D 1,5) 答案 C解析 直线 ykx1 过定点 (0,1)，只要 (0,1)在椭圆x25y2m1 上或共内部即可，从而m1. 又因为椭圆x25y2m1 中 m5， m1,5)(5， )点评 含参数的直线与曲线位置关系的命题方式常常是直线过定点，考虑定点与曲线位置，以确定直线与曲线的位3图中的椭圆C1、C2与双曲线C3、C4的离心率分别为e1、e2、e3、e4，则它们的大小关系是() Ae1e2e3e4B e2e1e3e4Ce1e2e4e3D e2e1e4e2同理 C4的虚轴长 C3的虚轴长，而实轴长相同C4的焦距 C3的焦距e4e3综上可得： e2e1e30)，则将 x3y4 代入椭圆方程得，4(b21)y28 3b2y b4 12b20，椭圆与直线x3y 40 有且仅有一个公共点， (83b2)244(b21)(b4 12b2)0，即 (b2 4)(b23)0， b23，长轴长为2b2 42 7，故选 C. 5已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A、B 两点，若 OA OB0，则椭圆的离心率 e 等于 () A.152B.132C.12D.32答案 A解析 如图， F2(c,0)把 xc 代入椭圆x2a2y2a2 1 得 A(c，b2a)由OA OB0 结合图形分析得|OF2|AF2|，即 cb2a? b2ac? a2 c2 ac? (ca)2ca 10? e2e1 0? e512. 6 (2010 重庆南开中学)双曲线x2ny21(n1)的两焦点为F1， F2， 点 P 在双曲线上， 且满足：|PF1|PF2|2n2，则 PF1F2的面积是 () A1 B.12C2 D4 答案 A解析 由条件知|PF1|PF2|2n|PF1|PF2|2n 2，|PF1|n2n，|PF2|n2n又 |F1F2|2n 1， |PF1|2|PF2|2|F1F2|2，SPF1F212|PF1| |PF2|12(n2n)(n2n)1. 7在同一坐标系中方程a2x2b2y21 与 axby2 0(ab0)的曲线大致是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思答案 D解析 方程 a2x2b2y21，即x21a2y21b21，因为1a20，n0)与直线 y1x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中点的连线的斜率为12，则椭圆的离心率为() A.12B.22C.32D.62答案 B解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB 中点为x1x22，y1y22，mx12ny121，mx22ny221，两式相减得y1y2x1x2mnx1 x2y1 y2，12mn(1)，即mn12，离心率e1m1n1m1mn22，故选 B. 9 (2010 福建福州市质检)已知 P 为抛物线y24x 上一个动点，Q 为圆 x2(y4)2 1 上一个动点，那么点P 到点 Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是() A5 B8 C.17 1 D.52 答案 C解析 抛物线 y24x 的焦点为F(1,0)，圆 x2(y4)2 1 的圆心为C(0,4)，设点 P 到抛物线的准线距离为 d，根据抛物线的定义有d|PF|， |PQ|d |PQ|PF|，由圆的几何性质及三角形两边之和大于第三边可知，当 P、Q、F、C 四点共线时取最小值，故最小值为|FC |1171. 10(2010 北方四校联考)已知抛物线C：y22px(p0)，过点 Ap2，0 的直线与抛物线C 交于 M、N 两点， 且MA2AN，过点 M、N 向直线 xp2作垂线，垂足分别为P、Q， MAP 、 NAQ 的面积分别为记为S1与 S2，那么 () AS1S221 BS1S2 52CS1S241 D S1S271 答案 C解析 依题意，点A 为抛物线的焦点，直线xp2为抛物线的准线，则|MP |MA|， |NA|NQ|，PMA QNA，故 S1|MP|MA|sinPMA 4|AN|2sin QNA4S2，故选 C. 二、填空题11(2010 吉林省调研 )已知过双曲线x2a2y2b21 右焦点且倾斜角为45 的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率 e的取值范围是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思答案 (1，2)解析 由条件知，渐近线的倾斜角小于45 ，即ba1，c2a2a21，c2a22，即 e21， 1e1)解析 设另两个切点为E、F，如图所示，则|PE|PF|，|ME |MB|，|NF |NB|. 从而 |PM| |PN|ME |NF |MB|NB|42 21)13(2010 平顶山市调研)在下列命题中：方程 |x| |y|1 表示的曲线所围成区域面积为2；与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y x；与两定点 (1,0)、(1,0)距离之和等于1的点的轨迹为椭圆；与两定点 (1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于1 的点的轨迹为双曲线正确的命题的序号是_(注：把你认为正确的命题序号都填上) 答案 解析 方程 |x|y|1 与两轴交点A(1,0)，B(0， 1)，C(1,0)，D(0,1)组成正方形的面积S12|AC| |BD|122 22，故真；设与两坐标轴距离相等的点为P(x，y)，则 |x|y|， y x，故真；两点E(1,0)， F(1,0)的距离 |EF |21，到两点E、F 距离之和等于1 的点不存在，错误；与两点E、F 距离之差的绝对值等于1 的点的轨迹为双曲线正确精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页