学习好资料欢迎下载第一单元数与式第 1 讲实数知识梳理一、实数的分类实数有理数整数零负整数分数正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数负无理数无限不循环小数二、实数的有关概念及性质1数轴(1)规定了 _、_、_的直线叫做数轴；(2)实数与数轴上的点是一一对应的2相反数(1)实数 a 的相反数是 _，零的相反数是零；(2)a 与 b 互为相反数 ? ab _. 3倒数(1)实数 a(a0)的倒数是 _；(2)a 与 b 互为倒数 ? _. 4绝对值(1)数轴上表示数a 的点与原点的_，叫做数a 的绝对值，记作|a|. (2)|a|a0 ，a0 ，a0 .5平方根、算术平方根、立方根(1)平方根定义：如果一个数x 的平方等于a，即 x2a，那么这个数x 叫做 a 的平方根 (也叫二次方根)，数 a 的平方根记作_一个正数有两个平方根，它们互为_；0 的平方根是0；负数没有平方根(2)算术平方根如果一个正数x 的平方等于a，即 x2a，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根，a 的算术平方根记作 _零的算术平方根是零，即00. 算术平方根都是非负数，即a0(a0)(a)2a(a0)，a2|a|a a 0 ，a a0,b0），可得ab所以由 ab0，可得ab，所以我们可以把a与b的大小问题转化成比较a 和 b 的大小问题第 2 讲整式及因式分解考点一整式的有关概念1整式整式是单项式与多项式的统称2单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的叫做单项式的次数3多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中项的次数就是这个多项式的次数考点二整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：am anamn， (am)namn， (ab)nanbn，amanamn(m， n 是正整数)考点三同类项与合并同类项1所含字母相同，并且相同字母的也分别相同的单项式叫做同类项精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页学习好资料欢迎下载2把多项式中的同类项合并成一项叫做，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变考点四求代数式的值1一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值2求代数式的值的基本步骤：(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入； (2) 计算：按代数式指明的运算关系计算出结果考点五整式的运算1整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要2整式的乘除(1)整式的乘法单项式与单项式相乘：把分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘：m(abc)mambmC多项式与多项式相乘：(mn)(ab)mamb nanB(2)整式的除法单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的作为商的一个因式多项式除以单项式：(ab) ma mb m. 3乘法公式(1)平方差公式：(ab)(ab)a2b2；(2)完全平方公式：(a b)2a2 2abb2. 考点六因式分解1因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做多项式的因式分解2因式分解的方法(1)提公因式法公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数 (取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)(2)运用公式法运用平方差公式：a2b2(ab)(ab)运用完全平方公式：a2 2abb2 (a b)2.第 3 讲分式知识梳理一、分式1分式的概念形如AB(A，B 是整式，且B 中含有字母，B0)的式子叫做分式2与分式有关的“三个条件 ”(1)分式AB无意义的条件是B0；(2)分式AB有意义的条件是B0；(3)分式AB值为零的条件是A0 且 B0. 二、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以 )一个 _ 的整式，分式的值不变用式子表示是：ABAMBM，ABA MB M(其中 M 是不等于0 的整式 )三、分式的约分与通分1约分根据分式的基本性质将分子、分母中的_约去，叫做分式的约分2通分根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为_的分式，这种变形叫分式的通分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页学习好资料欢迎下载四、分式的运算在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的运算结果必须是_分式或整式第 4 讲二次根式知识梳理一、二次根式1概念形如 _的式子叫做二次根式2二次根式有意义的条件要使二次根式a有意义，则a0. 二、二次根式的性质1(a)2a(_) 2a2|a|a0 ，aa，xb的解集是 _ ，即“同大取大”(2)xa，xa，xb的解集是 _ ，即“大小小大中间夹”(4)xb的解集是 _ ，即“大大小小无解答”三、不等式 (组)的应用1列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际2列不等式(组)解应用题的一般步骤：(1)审题； (2) 设未知数； (3) 找出能够包含未知数的不等量关系；(4)列出不等式(组 )；(5)求出不等式(组)的解； (6)检验解是否符合实际情况；(7) 写出答案 (包括单位名称)第 8 讲一元二次方程知识梳理一、一元二次方程的概念1只含有 _ 个未知数，并且未知数的最高次数是_ ，这样的整式方程叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式是_ 二、一元二次方程的解法1解一元二次方程的基本思想是_ ，主要方法有：直接开平方法、_ 、公式法、 _. 2配方法：通过配方把一元二次方程ax2bxc0(a0，b24ac0)变形为xb2a2_ 的形式，再利用直接开平方法求解3公式法：一元二次方程ax2bxc 0(a0)当 b24ac0 时， x _. 4用因式分解法解方程的原理是：若a b0，则 a0 或_三、一元二次方程根的判别式1一元二次方程根的判别式是_ 2(1 )b24ac0? 一元二次方程ax2bxc0(a 0)有两个 _ 实数根；(2)b24ac0? 一元二次方程ax2bx c0(a 0)有两个 _实数根；(3)b24ac0? 一元二次方程ax2bx c0(a 0)_ 实数根四、一元二次方程根与系数的关系1在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式2若一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1，x2，则 x1x2_ ，x1x2_. 五、实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题； (2)设未知数； (3)根据相等关系列方程；(4)_ ；(5)检验； (6)写出答案第三单元函数及其图象第 9 讲函数概念与平面直角坐标系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页学习好资料欢迎下载知识梳理一、平面直角坐标系与点的坐标特征1平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点O 称为原点，水平的数轴叫_ ，竖直的数轴叫 _ ，整个坐标平面被x 轴、 y 轴分割成四个象限2各象限内点的坐标特征点 P(x，y)在第一象限 ? x0，y0；点 P(x，y)在第二象限 ? x0，y0；点 P(x，y)在第三象限 ? x0，y0；点 P(x，y)在第四象限 ? x0，y0. 3坐标轴上的点的坐标特征点 P(x，y)在 x 轴上 ? y0，x 为任意实数；点 P(x，y)在 y 轴上 ? x0，y 为任意实数；点 P(x，y)在坐标原点 ? x0，y0. 二、特殊点的坐标特征1对称点的坐标特征点 P(x，y)关于x 轴的对称点P1的坐标为 _ ；关于y 轴的对称点P2的坐标为_ ；关于原点的对称点P3的坐标为 _ 2与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于 x 轴：横坐标 _ ，纵坐标 _ ；平行于 y 轴：横坐标 _ ，纵坐标 _ 3各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标_，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标_4点的平移将点P(x，y)向右 (或向左 )平移a 个单位，可以得到对应点(x a， y) 或(x a，y)；将点P(x，y)向上 (或向下 )平移 b 个单位，可以得到对应点(x，yb)或(x，yb)三、距离与点的坐标的关系1点与原点、点与坐标轴的距离点 P(x，y)到 x 轴和 y 轴的距离分别是|y|和|x|，点 P(x，y)到坐标原点的距离为x2y2. 2坐标轴上两点间的距离(1)在 x 轴上两点P1(x1,0)，P2(x2,0)间的距离 |P1P2|_. (2)在 y 轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)间的距离 |Q1Q2| _. (3)在 x 轴上的点P1(x1,0)与 y 轴上的点Q1(0，y1)之间的距离 |P1Q1|x21y21. 四、函数有关的概念及图象1函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x 和 y，如果对于x 的每一个值，y 都有 _ _确定的值与它对应，那么就说y 是 x 的函数， x 是自变量2常量和变量在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量3函数的表示方法函数主要的表示方法有三种：(1)解析法； (2)_ ；(3)图象法4函数图象的画法(1)_ ：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)_ ：以 x 的值为横坐标，对应y 的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)_ ：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点五、函数自变量取值范围的确定确定自变量取值范围的方法：1自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母_ 的实数2当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为_3当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数4在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页学习好资料欢迎下载变量取值范围的公共部分第 10 讲一次函数知识梳理一、一次函数和正比例函数的定义一般地，如果ykxb(k，b 是常数， k0)，那么 y 叫做 x 的一次函数特别地，当b_时，一次函数ykxb 就成为ykx(k 是常数， k 0)，这时y叫做 x 的正比例函数二、一次函数的图象与性质1一次函数的图象(1)一次函数ykxb(k 0)的图象是经过点(0，b)和bk，0 的一条直线(2)正比例函数ykx(k0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可2一次函数图象的性质函数系数取值大致图象经过的象限函数性质ykx(k 0) k 0 _ y 随 x 增大而增大k 0_y 随 x 增大而减小ykx b (k 0) k0， b0_ y 随 x 增大而增大k0， b0_k0， b0_ y 随 x 增大而减小k0， b0_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页学习好资料欢迎下载一次函数 ykxb 的图象可由正比例函数ykx 的图象平移得到，b0，上移 b 个单位； b 0，下移 |b|个单位三、利用待定系数法求一次函数的解析式因为在一次函数ykxb(k 0)中有两个未知数k 和 b，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P1(a1，b1)，P2(a2，b2)代入得b1a1kb，b2a2kb，求出 k，b 的值即可，这种方法叫做_ 四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系1ykxb 与 kxb0 直线 y kx b 与 x 轴交点的横坐标是方程kxb0 的解，方程kxb 0 的解是直线ykxb 与 x 轴交点的横坐标2ykxb 与不等式kxb0 从函数值的角度看，不等式kxb0 的解集为使函数值大于零(即 kxb0)的 x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y0，因此 kx b0 的解集为一次函数在 x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围3一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点第 11 讲反比例函数一、反比例函数的概念一般地，形如 _( k 是常数， k0)的函数叫做反比例函数1反比例函数ykx中的kx是一个分式，所以自变量_，函数与x 轴、 y 轴无交点2反比例函数解析式可以写成xyk(k0)，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应函数值 y 之积，总等于已知常数k. 二、反比例函数的图象与性质1图象反比例函数的图象是双曲线2性质(1)当 k0 时，双曲线的两支分别在_象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而_；当 k0 时，双曲线的两支分别在_象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而_注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交(2) 双曲线是轴对称图形，直线 yx 或 y x 是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点三、反比例函数的应用1利用待定系数法确定反比例函数解析式由于反比例函数ykx中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x，y 值，或已知其图象上一个 _ 的坐标即可求出k，进而确定反比例函数的解析式2反比例函数的实际应用解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决第 12 讲二次函数知识梳理一、二次函数的概念一般地，形如y_( a， b，c 是常数， a0)的函数，叫做二次函数二次函数的两种形式：(1)一般形式： _ ；(2)顶点式： ya(xh)2 k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页学习好资料欢迎下载二、二次函数的图象及性质二次函数y ax2bxc(a，b，c 为常数， a0) 图象(a0)(a0) 开口方向开口向上开口向下对称轴直线 xb2a直线 xb2a顶点坐标b2a，4acb24ab2a，4acb24a增减性当 xb2a时， y 随 x的增大而减小；当xb2a时，y 随 x 的增大而增大当 xb2a时， y 随 x的增大而增大；当xb2a时， y 随 x 的增大而减小最值当 xb2a时， y 有最_值4ac b24a当 xb2a时， y 有最_值4acb24a三、二次函数图象的特征与a， b， c 及 b24ac 的符号之间的关系四、二次函数图象的平移抛物线 yax2与 ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中|a|相同，则图象的_和大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页学习好资料欢迎下载小都相同，只是位置不同它们之间的平移关系如下：五、二次函数关系式的确定1设一般式：yax2bxc(a0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2 bxc(a0)，将已知条件代入，求出 a，b，c 的值2设顶点式：ya(xh)2k(a0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：ya(xh)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式六、二次函数与一元二次方程的关系1二次函数yax2bxc(a0)，当 y0 时，就变成了ax2 bxc0(a0)2ax2 bxc0(a0)的解是抛物线与x 轴交点的 _3当 b24ac0 时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b24ac0 时，抛物线与x 轴没有交点第四单元图形初步与三角形第 13 讲图形的初步认识知识梳理一、直线、射线、线段1直线的基本性质(1)两条直线相交，只有_交点(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条_ 2线段的性质所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间_ 最短3线段的中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页学习好资料欢迎下载把一条线段分成两条_线段的点，叫做这条线段的中点4直线、射线、线段的区别与联系有几个端点向几个方向延伸表示图形直线02两个大写字母或一个小写字母射线11两个大写字母线段20两个大写字母或一个小写字母二、角的有关概念及性质1角的有关概念角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的_ 2角的单位与换算1 60，1 60 ，1 周角 2 平角 4 直角3余角与补角如果两个角的和等于_，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于_，就说这两个角互为补角同角(或等角 )的余角 _；同角 (或等角 )的补角 _4对顶角与邻补角在两条相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角如果两个角有公共顶点，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这样的两个角为邻补角对顶角_，邻补角 _三、垂线的性质与判定1垂线及其性质垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是_，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线性质： (1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短(简说成：垂线段最短) 2点到直线的距离直线外一点到这条直线的_的长度，叫做点到直线的距离3判定若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直四、平行线的性质与判定1概念在同一平面内，不相交的两条直线，叫做平行线2平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行3性质如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补4判定同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线_第 14 讲三角形与全等三角形知识梳理一、三角形的概念及性质1概念(1)由三条线段 _ 顺次相接组成的图形，叫做三角形(2) 三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页学习好资料欢迎下载2性质(1)三角形的内角和是_；三角形的一个外角等于与它不相邻的_；三角形的一个外角大于与它_的任何一个内角(2) 三角形的任意两边之和_第三边；三角形任意两边之差_第三边二、三角形中的重要线段1三角形的角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线特性：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的_ 2三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作_，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高特性：三角形的三条高线相交于一点，这个点叫做三角形的_ 3三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边_ 的线段叫做三角形的中线特性：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的_4三角形的中位线连接三角形两边_ 的线段叫做三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的_三、全等三角形的性质与判定1概念能够 _的两个三角形叫做全等三角形2性质全等三角形的 _ 、_分别相等3判定(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)； (3) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA) ；(4) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS) ； (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL) 四、定义、命题、定理、公理1定义对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义2命题判断一件事情的语句(1)命题由 _ 和 _两部分组成命题通常写成“如果，那么”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论(2)命题的真假：正确的命题称为_；错误的命题称为_(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的_，而第一个命题的结论是第二个命题的_ ，那么这两个命题称为互逆命题每一个命题都有逆命题3定理经过证明的真命题叫做定理因为定理的逆命题不一定都是真命题所以不是所有的定理都有逆定理4公理有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫做公理五、证明1证明从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过 _ ，得出它的结论成立，从而判断该 命题为真，这个过程叫做证明2证明的一般步骤(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证； (4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密3反证法先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页学习好资料欢迎下载面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的这种证明的方法叫做反证法第 15 讲等腰三角形知识梳理一、等腰三角形1等腰三角形的有关概念及分类有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底_的等腰三角形和_ 三角形2等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3) 等腰三角形是轴对称图形3等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)二、等边三角形的性质与判定1等边三角形的性质(1)等边三角形的内角相等，且都等于_ ；(2)等边三角形的三条边都_2等边三角形的判定(1)_相等的三角形是等边三角形；(2)_ 相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为 _的等腰三角形是等边三角形三、线段的垂直平分线1概念： 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫_2性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_3判定： 到一条线段的两个端点_ 的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合四、角的平分线1性质： 角平分线上的点到角的两边的距离_2判定： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的_上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合第 16 讲直角三角形知识梳理一、直角三角形的性质1直角三角形的两锐角_2直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的_3直角三角形斜边上的中线等于斜边的_4勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、直角三角形的判定1有一个角等于_的三角形是直角三角形2有两角 _的三角形是直角三角形3如果三角形一边上的中线等于这边的_，则该三角形是直角三角形4勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的_，那么这个三角形是直角三角形第 17 讲锐角三角函数与解直角三角形知识梳理一、锐角三角函数定义在 RtABC 中， C90 ， A， B， C 的对边分别为a，b，c. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页学习好资料欢迎下载A的正弦： sin AA的对边斜边_；A的余弦： cos AA的邻边斜边 _；A的正切： tan AA的对边A的邻边_. 它们统称为 A 的锐角三角函数锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形1定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5 个元素，即3 条边和 2 个锐角 ) 2直角三角形的边角关系：在 RtABC 中， C90 ， A， B， C 的对边分别为a，b，c. (1)三边之间的关系：_ ；(2)锐角之间的关系：_ ；(3)边角之间的关系：sin Aac，cos Abc，tan Aab， sin Bbc， cos Bac，tan Bba. 3解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如 a， A)，其解法为：B 90 A，casin A， batan A(或 bc2a2)；(2)已知斜边和一个锐角(如 c， A)，其解法为：B90 A，a c sin A，b c cos A(或 bc2a2)；(3)已知两直角边a，b，其解法为：ca2b2，由 tan Aab，得 A， B90 A；(4)已知斜边和一直角边(如 c，a)，其解法为： bc2a2，由 sin A ac，求出 A， B90 A. 四、解直角三角形的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页学习好资料欢迎下载1仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角2坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点_与水平距离之比，常用i 表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面_第五单元四边形第 18 讲多边形与平行四边形知识梳理一、多边形的有关概念及性质1多边形的概念定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形对角线：连接多边形_ 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线正多边形：各个角都_ ，各条边都 _ 的多边形叫做正多边形2性质n 边形过一个顶点的对角线有_ 条，共有 _ 条对角线；n 边形的内角和为_，外角和为360 . 二、平行四边形的定义和性质1定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2性质(1)平行四边形的对边_(2)平行四边形的对角_(3)平行四边形的对角线_ _(4)平行四边形是中心对称图形四、平行四边形的判定1两组对边分别_的四边形是平行四边形2两组对边分别_的四边形是平行四边形3一组对边 _的四边形是平行四边形4对角线相互_的四边形是平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页学习好资料欢迎下载第 19 讲矩形、菱形和正方形知识梳理一、矩形的性质与判定1定义有一个角是直角的_ 是矩形2性质(1)矩形的四个角都是_(2)矩形的对角线_(3) 矩 形 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 ， 它 有 两 条 对 称 轴 ； 它 的 对 称 中 心 是_ 3判定(1)有三个角是 _的四边形是矩形(2)对角线 _的平行四边形是矩形二、菱形的性质与判定1定义一组邻边相等的_ 叫做菱形2性质(1)菱形的四条边都_(2)菱形的对角线_ ，并且每一条对角线平分一组对角3判定(1)对角线互相垂直的_是菱形(2)四条边都相等的_是菱形三、正方形的性质与判定1定义一组邻边相等的_ 叫做正方形2性质(1)正方形的四条边都_，四个角都是_(2)正方形的对角线_，且互相 _；每条对角线平分一组对角(3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心3判定(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的_ 是正方形(2)一组邻边相等的_是正方形(3)对角线互相垂直的_是正方形(4)有一个角是直角的_是正方形(5)对角线相等的_是正方形第 20 讲梯形知识梳理一、梯形的有关概念及分类1一组对边平行，另一组对边不平行的_叫做梯形平行的两边叫做_，两底间的 _ 叫做梯形的高2_相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形3梯形的分类：梯形一般梯形特殊梯形直角梯形等腰梯形4梯形的面积12(上底下底 )高二、等腰梯形的性质与判定1性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页学习好资料欢迎下载(2)等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴2判定：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形三、梯形问题的解决方法梯形问题常通过转化辅助线三角形问题或平行四边形问题来解答，转化时常用的辅助线有：1平移一腰，即从梯形的一个顶点作另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形2过顶点作高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形3平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形4延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形5过一腰中点作辅助线(1)过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形；(2)连接一底的端点与一腰中点，并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形第六单元图形变换第 21 讲图形的平移、旋转与对称知识梳理一、图形的轴对称1定义(1)轴对称：把 _图形沿着某一条直线对折后，如果能与另一个图形_，那 么就 说 这 _ 图 形 成 轴 对 称 ， 这 条 直 线 就 是 _ ， 两 个 图 形 中 的 对 应 点 叫 做_ (2) 轴 对 称 图 形 ： 把 _ 图 形 沿 某 条 直 线 对 折 ， 如 果 直 线 两 旁 的 部 分 能 够 互 相_，那么 _叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴2性质(1)对称点的连线被_垂直平分；(2)对应线段相等，对应角相等；(3)成轴对称的两个图形是全等图形二、图形的中心对称1定义(1)中心对称：把一个图形绕着一点旋转_后，如果与另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这一点成中心对称，这个点叫做_ ，旋转前后的点叫做_ (2)中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180 后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心2性质(1)关于某点成中心对称的两个图形是_ ；(2)关于某 点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心_三、图形折叠问题折叠问题是轴对称变换，折痕所在直线就是轴对称问题中的对称轴；应用时注意折叠所对应的图形，抓住它们之间的不变关系及其性质，寻找相等的量四、图形的平移1定义在平面内，将一个图形沿_ 移动一定的距离，图形的这种变换，叫做平移变换，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页学习好资料欢迎下载简称 _ 确定一个平移变换的条件是_和_2性质(1)平移不改变图形的_与_，即平移前后的两个图形是_ ；(2)连接各组对应点的线段平行(或共线 )且相等；(3)对应线段平行(或共线 )且相等；(4)对应角相等五、图形的旋转1定义在平面内，把一个平面图形绕着一个定点沿着_旋转一定的_，图形的这种变换，叫做旋转变换这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做_图形的旋转由_和_ 所决定2性质(1)图形上的每一点都绕着_沿着相同的方向旋转了_大小的角度；(2)旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化，即它们是_的；(3)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的_相等；(4)对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且等于旋转角六、简单的平移作图与旋转作图1平移作图的步骤(1)首先找出原图形中的关键点，如多边形的顶点，圆的圆心；(2)根据平移的距离与方向，画出特殊点的对应点；(3)顺次连接各对应点，就得到原图形平移后的图形2旋转作图的步骤(1)找出旋转中心与旋转角；(2)找出构成图形的关键点；(3)作出这些关键点旋转后的对应点；（4）顺次连接各对应点第 22 讲图形的相似知识梳理一、比例线段1比例线段的定义在 四 条 线 段a， b ， c， d中 ， 如 果 其 中 两 条 线 段 的 比 等 于 另 外 两 条 线 段 的 比 ， 即_ ，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称_ 2比例线段的基本性质abcd? adbc. 3黄金分割把线段 AB 分成两条线段AC 和 BC(ACBC)，且使 AC 是 AB 和 BC 的_ ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段AB 的黄金分割点.AC512AB0.618AB二、相似多边形1定义对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边的比叫做_，相似比为1 的两个多边形全等2性质(1)相似多边形的对应角_，对应边成 _；(2)相似多边形周长的比等于_；(3)相似多边形面积的比等于_三、相似三角形1定义各角对应 _，各边对应成_的两个三角形叫做相似三角形2判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与_相似；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26 页学习好资料欢迎下载(2)两角对应 _，两三角形相似；(3)两边对应成 _且夹角 _，两三角形相似；(4)三边对应成 _，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似3性质(1)相似三角形的对应角_，对应边成 _；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_；(3)相似三角形周长的比等于_；(4)相似三角形面积的比等于_四位似图形1定义每对对应点的连线相交于一点O，且每对对应点到该交点的距离比是一定值k(k0)，点 O叫做 _ 2性质(1)位似图形的每对对应点的连线交于位似中心；(2)位似图形一定相似；(3)位似图形的每对对应点到位似中心的距离比等于；(4)位似图形的对应线段平行或在同一直线上；3画位似图形的步骤(1)确定位似 _；(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线 )；(3)按位似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形第 23 讲视图与投影知识梳理一、投影1平行投影：太阳光线可以看成_光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影2中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从_发出的光线，像这样的光线所形成的投影称为_二、视图1视图：从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做_；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做_ ；在侧 面内得到由左向右观察物体的视图，叫做_2常见几何体的三种视图：几何体主视图左视图俯视图圆柱长方形长方形圆圆锥三角形三角形圆和圆心球圆圆圆3三视图的画法：(1)长对正； (2)高平齐； (3)宽相等4由视图到立体图形：由视图想象实物图形时不像由实物到视图那样唯一确定，由一个视图往往可以想象出多种物体由视图描述实物时，需了解简单的、常见的、规则物体的视图，能区分类似的物体视图的联系与区别如主视图是长方形，可想象出是四棱柱、三棱柱、圆柱等俯视图是圆的可以是球、圆柱等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页学习好资料欢迎下载第七单元圆第 24 讲圆的有关性质知识梳理一、圆的有关概念及其对称性1圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形这个定点叫做_，定长叫做 _；(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径2圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的_叫做弦；(2)圆上任意两点间的_叫做圆弧，简称弧(3)_相等的两个圆是等圆(4)在同圆或等圆中，能够互相_的弧叫做等弧3圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合这就是圆的旋转不变性二、垂径定理及推论1垂径定理垂直于弦的直径 _这条弦，并且_弦所对的两条弧2(1)过圆心； (2)平分弦 (不是直径 )； (3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项三、圆心角、弧、弦之间的关系1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_ ，所对的弦 _2推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立四、圆心角与圆周角1定义顶点在 _上的角叫做圆心角；顶点在_上，角的两边和圆都_的角叫做圆周角2性质(1)圆心角的度数等于它所对的_的度数(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对_的度数的一半(3)同弧或等弧所对的圆周角_，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧_(4)半圆 (或直径 )所对的圆周角是_，90 的圆周角所对的弦是_五、圆内接四边形的性质1圆内接四边形的对角互补2圆内接四边形的一个外角等于与其相邻内角的对角（基础性数学结论）第 25 讲与圆有关的位置关系知识梳理一、点与圆的位置关系1点和圆的位置关系点在圆 _，点在圆 _，点在圆 _2点和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r ，点到圆心的距离为d，那么点在圆外? _ ；点在圆上?_；点在圆内 ? _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页学习好资料欢迎下载3过三点的圆(1)经过三点的圆：经过在同一直线上的三点不能作圆；经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的_ ；这个三角形叫做这个圆的内接三角形二、直线与圆的位置关系1直线和圆的位置关系_、_、_. 2概念(1) 直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆_ ，这条直线叫做圆的_；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆_ ，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3) 直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆_3直线和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，直线 l 到圆心的距离为d，那么直线l 和 O 相交 ? _ ；直线 l 和O 相切 ? _；直线 l 和 O 相离 ? _. 三、切线的判定和性质1切线的判定方法(1)经过半径的 _并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离_半径的直线是圆的切线2切线的性质圆的切线垂直于经过_ 的半径3切线长定理过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角四、三角形的内切圆1与三角形内切圆有关的一些概念(1)和三角形各边都_ 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的_，这个三角形叫做圆的_三角形；2三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条_的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部第 26 讲圆的有关计算知识梳理一、弧长、扇形面积的计算1如果弧长为l，圆心角的度数为n ，圆的半径为r ，那么弧长的计算公式为l _. 2由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形若扇形的圆心角为n ，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则 S_ 或 S12lr；扇形的周长2rl. 二、圆柱和圆锥1圆柱的侧面展开图是_ ，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的_ ，宽等于圆柱的 _ 如果圆柱的底面半径是r，则 S侧2 rh，S全2 r22 rh. 2圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形圆锥的侧面展开图是一个_ ， 扇 形 的 弧 长 等 于 圆 锥 的 底 面 圆 的 _ ， 扇 形 的 半 径 等 于 圆 锥 的_ 因此圆锥的侧面积：S侧12l 2r rl(l 为母线长， r 为底面圆半径)；圆锥的全面积： S全S侧S底 rl r2. 三、正多边形和圆1正多边形：各边_、各角 _ 的多边形叫做正多边形2多边形的外接圆：经过多边形_ 的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形3正多边形的_的圆心叫做正多边形的中心，_ 的半径叫做正多边形的半径 4中心到正多边形的一边的_ 叫做正多边形的边心距精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页学习好资料欢迎下载5正多边形每一边所对的_的圆心角叫做正多边形的中心角，正n 边形的每个中心角都等于 _ 温馨提示(1)正多边形的各边、各角都相等(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心(4)边数相同的正多边形相似它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方四、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积常用的方法有：第 27 讲尺规作图知识梳理一、尺规作图1定义只用没有刻度的_ 和_作图叫做尺规作图2步骤根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；分析作图的方法和过程；用直尺和圆规进行作图；写出作法步骤，即作法二、五种基本作图1作一条线段等于已知线段；2作一个角等于已知角；3作已知角的平分线；4过一点作已知直线的垂线；5作已知线段的垂直平分线第八单元统计与概率第 28 讲数据的收集、整理与描述知识梳理一、普查与抽样调查1有关概念(1)普查：为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查(2)抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查2调查的选取当受客观条件限制，无法对所有个体进行普查时，往往采用抽样调查3抽样调查样本的选取(1)抽样调查的样本要有_；二、总体、个体、样本及样本容量1总体所要考察对象的_ 叫做总体2个体总体中的 _ 考察对象叫做个体3样本从总体 中抽取的部分_ 叫做样本4样本容量样本中个体的 _ 叫做样本容量三、几种常见的统计图表1条形统计图条形统计图就是用_ 的高来表示数据的图形它的特点是： (1)能够显示每组中的具体_ ；(2)易于比较数据之间的_2折线统计图用几条线段连成的_ 来表示数据的图形它的特点是：易于显示数据的_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 26 页学习好资料欢迎下载3扇形统计图(1)用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占_ 的大小，这样的统计图叫做扇形统计图(2) 百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的_ 的度数与 360 的比(3)扇形的圆心角360 百分比(4)扇形统计图的制作步骤数据的采集，即各部分数据的收集；数据的整理，即计算出各部分的总和，再计算各部分所占的百分比；作图，即根据百分比计算出各部分对应圆心角的大小( 将百分比乘360 )，再用量角器画出各个扇形；标上各部分的名称和它所占的百分比四、频数分布直方图1每个对象出现的_叫做频数2每个对象出现的_ 与 _的比 (或者百分比)叫做频率，_ 和_ 都能够反映每个对象出现的频繁程度3频数分布直方图的绘制步骤：(1)计算最大值与最小值的差；(2)决定组距与组数；(3) 确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；(4)列频数分布表；(5)用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图第 29 讲数据的分析知识梳理一、平均数、众数与中位数1平均数(1)平均数：对于n 个数 x1，x2， xn，我们把1n(x1x2 xn)叫做这组数据的算术平均数，简称 _ ，记为x . (2)加权平均数：如果有n个数 x1，x2， xn，x1出现 f1次， x2出现 f2次， x3出现 f3次，xk出现 fk次(其中 f1f2 fkn)，那么x 1n(x1f1x2f2 xkfk)叫做 x1，x2， xk这 k 个数的加权平均数，其中f1，f2， fk分别叫做x1，x2， xk的权， f1f2f3 fkn. 2众数在一组数据中，出现次数_ 的数叫做这组数据的众数(一组数据的众数有时有几个)3中位数将一组数据按_ 依次排列，把处在_ 的一个数据 (或最中间两个数据的平均数 )叫做这组数据的中位数二、数据的波动1极差一组数据中 _ 与 _的差，叫做这组数据的极差2方差在一组数据 x1，x2，x3， xn中，各数据与它们的平均数x 的差的 _的平均数叫做这组数据的方差，即s21n(x1 x )2(x2 x )2 (xn x )23极差、方差和标准差都可以衡量一组数据的波动大小；方差(或标准差 )越大，说明这组数据波动越大第 30 讲概率初步知识梳理一、事件的有关概念1必然事件在现实生活中 _ 发生的事件称为必然事件2不可能事件在现实生活中 _ 发生的事件称为不可能事件3随机事件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 26 页学习好资料欢迎下载在现实生活中，有可能_ ，也有可能 _ 的事件称为随机事件4分类事件确定事件必然事件不可能事件随机事件二、用列举法求概率1定义在 随机事件中，一件事发生的可能性_ 叫做这个事件的概率2适用条件(1)可能出现的结果为 _ 多个；(2)各种结果发生的可能性_3求法(1)利用 _或_ 的方法列举出所有机会均等的结果；(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率列表法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目，当事件涉及三个或三个以上元素时，用树形图列举三、利用频率估计概率1方法进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个_ 时，该 _ 就可认为是这个事件发生的概率四、概率的应用概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 26 页