8-1 直线的方程与两条直线的位置关系基础巩固强化1.(文)(2012 乌鲁木齐地区质检 )在圆 x2y22x4y0 内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是() A.6B.4C.3D.34答案B 解析圆心为 (1,2)， 过点(0,1)的最长弦 (直径)所在直线斜率为1，且最长弦与最短弦垂直， 过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是4. (理)(2012 内蒙包头模拟 )曲线 yx2bxc 在点 P(x0，f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为0，4，则点 P 到该曲线对称轴距离的取值范围为 () A0,1B0，12 C0，|b|2 D0，|b1|2 答案B 解析y|xx02x0b， 设切线的倾斜角为 ， 则 0tan 1，即 02x0b1，点 P(x0，f(x0)到对称轴 xb2的距离 d|x0b2|12|2x0b|0，12，故选 B. 2(文)(2011 辽宁沈阳二中检测 )“a2”是“直线 2xay1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页0 与直线 ax2y20 平行”的 () A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案B 解析两直线平行的充要条件是2aa212，即两直线平行的充要条件是 a 2.故 a2 是直线 2xay10与直线 ax2y20平行的充分不必要条件点评如果适合 p 的集合是 A，适合 q 的集合是 B，若 A 是 B的真子集，则 p 是 q 的充分不必要条件，若AB，则 p，q 互为充要条件，若 B 是 A 的真子集，则 p 是 q 的必要不充分条件(理)(2011 东营模拟 )已知两条直线l1：axbyc0，直线 l2：mxnyp0，则 anbm是直线 l1l2的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B 解析l1l2时，anbm0；anbm0 时? /l1l2. 故 anbm 是直线 l1l2的必要不充分条件3(2011 烟台模拟 )点 P(3,4)关于直线 xy20 的对称点 Q的坐标是 () A(2,1) B(2,5) C(2，5) D(4，3) 答案B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页解析x242，y2(3)5，故选 B. 4(文)(2011 梅州模拟 )已知直线 a2xy20 与直线 bx(a21)y10 互相垂直，则 |ab|的最小值为 () A5B4C2D1 答案C 解析由题意知， a2b(a21)0 且 a0， a2ba21，aba21aa1a， |ab|a1a|a|1|a|2.(当且仅当 a 1 时取“”)(理)已知 a、b 为正数，且直线 (a1)x2y10 与直线 3x(b2)y20 互相垂直，则3a2b的最小值为 () A12 B.136C1 D25 答案D 解析两直线互相垂直，3(a1)2(b2)0， 3a2b1， a、b0，3a2b(3a2b)(3a2b) 136ba6ab1326ba6ab25. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页等号成立时，6ba6ab3a2b1，ab15，故3a2b的最小值为 25. 5两条直线 l1：xayb1 和 l2：xbya1 在同一直角坐标系中的图象可以是 () 答案A 解析直线 l1在 x 轴上的截距与直线l2在 y 轴上的截距互为相反数，直线 l1在 y 轴上的截距与 l2在 x 轴上的截距互为相反数，故选A. 点评可用斜率关系判断，也可取特值检验6(文)(2011 安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点 P(2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页A1 条B2 条C3 条D4 条答案C 解析设过点 P(2,1)的直线方程为xayb1，则2a1b1，即 2baab，又 S12|a|b|4，即|ab|8，由2baab，|ab|8，解得 a、b 有三组解a4，b2，a44 2，b22 2，或a4 24，b22 2.所以所求直线共有3 条，故选 C. (理)(2012 山东模拟 )若直线(m21)xy2m10 不经过第一象限，则实数 m的取值范围是 () A.12m1 B1m12C12m1 D.12m1 答案D 解析若直线 (m21)xy2m10 不经过第一象限，则直线过二、三、四象限，则斜率和截距均小于等于0.直线变形为 y(m21)x2m1，则m210，2m10，?12m1，故选 D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页点评(1)令 x0 得 y2m1，令 y0 得，x2m1m21，则2m10，2m1m210，或2m10，m210，也可获解(2)取特值 m0,1，检验亦可获解7(2011 宁夏银川一中月考 )直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y轴上的截距相等，则a 的值是_答案2 或 1 解析令 x0 得 y2a，令 y0 得 xa2a，由条件知 2aa2a，a2 或 1. 8(文)若直线 m 被两平行线 l1：xy10 与 l2：xy30所截得的线段的长为2 2，则 m 的倾斜角可以是15 30 45 60 75其中正确答案的序号为_(写出所有正确答案的序号) 答案解析求得两平行线间的距离为2， 则 m 与两平行线的夹角都是 30 ，而两平行线的倾斜角为45 ，则 m的倾斜角为 75 或 15 ，故填 . (理)(2012 佛山市高三检测 )已知直线 x2y2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A，B 两点，若动点 P(a，b)在线段 AB 上，则 ab 的最大值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页_答案12解析直线方程可化为x2y1， 故直线与 x 轴的交点为 A(2,0)，与 y 轴的交点为 B(0,1)，由动点 P(a，b)在线段 AB 上，可知 0b1，且 a2b2，从而 a22b，由 ab(22b)b2b22b2(b12)212，由于 0b1，故当 b12时，ab 取得最大值12. 9(2011 大连模拟 )已知点 A(1，2)，B(m,2)，且线段 AB 的垂直平分线的方程是x2y20，则实数 m 的值是 _答案3 解析由已知条件可知线段AB 的中点1m2，0在直线 x2y20 上，代入直线方程解得m3. 点评还可利用 ABl 求解，或 AB为 l 的法向量，则 ABa，a(1,2)，或先求 AB 中点纵坐标 y0，利用 AB 的中点在直线上求出其横坐标 x0再求 m. 10已知两直线l1：mx8yn0 和 l2：2xmy10.试确定m、n 的值，使(1)l1与 l2相交于点 P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且 l1在 y 轴上的截距为 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页解析(1)由题意得m28n0，2mm10，解得n7，m1，当m1，n7 时，l1与 l2相交于点 P(1，1)(2)l1l2?m28mn1，得：m4，n2，或 m4，n2. (3)l1l2? m28m0， m0，则 l1：8yn0. 又 l1在 y 轴上的截距为 1，则 n8. 综上知 m0，n8. 点评讨论 l1l2时要排除两直线重合的情况处理l1l2时，利用 l1l2? A1A2B1B20 可避免对斜率存在是否的讨论. 能力拓展提升11.(文)(2012 辽宁文 )将圆 x2y22x4y10 平分的直线是() Axy10 Bxy30 Cxy10 Dxy30 答案C 解析本题考查了直线与圆的位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页将圆 x2y22x4y10 化为标准方程 (x1)2(y2)24，直线平分圆，直线过圆心因此，可代入验证经验证得 C 正确点评关键是明确圆是轴对称图形，对称轴过圆心(理)(2011 西安八校联考 )已知直线 l 的倾斜角为34，直线 l1经过点 A(3,2)，B(a，1)，且直线 l1与 l 垂直，直线 l2：2xby10 与直线 l1平行，则 ab 等于() A4 B2 C0 D2 答案B 解析依题意知，直线 l 的斜率为 ktan341，则直线 l1的斜率为 1，于是有213a1，a0，又直线 l2与 l1平行，12b， b2， ab2，选 B. 12(文)若三直线 l：2x3y80，l2：xy10，l3：xkyk120 能围成三角形，则k 不等于 () A.32B2 C.32和1 D.32、1 和12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页答案D 解析由xy10，2x3y80，得交点 P(1，2)，若 P 在直线 xkyk120 上，则 k12. 此时三条直线交于一点；k32时，直线 l1与 l3平行k1 时，直线 l2与 l3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k12，32和1. (理)(2011 北京文， 8)已知点 A(0,2)，B(2,0)若点 C 在函数 yx2的图象上，则使得 ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 () A4B3C2D1 答案A 解析因为|AB|2 2，要使三角形面积是2，则 C 点到直线AB 的距离为2.直线 AB 的方程为 xy20， 设 C 点所在的直线方程为 xym0，所以 d|m2|2 2，解得 m0 或 m4，所以C 点的轨迹为 xy0，或 xy40.又因为点 C 在函数 yx2的图象上， xy0，和 xy40 与 yx2分别有两个交点故这样的点共有 4 个点评 可利用点到直线距离公式，转化为方程解的个数的判精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页定13 已知指数函数 y2x的图象与 y 轴交于点 A， 对数函数 ylgx的图象与 x 轴交于点 B， 点 P 在直线 AB 上移动，点 M(0， 2)， 则|MP|的最小值为 _答案3 22解析A(0,1)，B(1,0)，直线AB：xy10，又 M(0，2)，当|MP|取最小值时， MPAB， |MP|的最小值为 M 到直线 AB 的距离 d|021|23 22. 14已知直线 l1：(k3)x(4k)y10 与直线 l2：2(k3)x2y30 平行，则 l1与 l2的距离为 _答案3 或 5 解析由(k3)(2)2(k3)(4k)0，且 21(4k)30，k3 或 5. 当 k3 时，l1：y10，l2：2y30，此时 l1与 l2距离为：52；当 k5 时，l1：2xy10，l2：4x2y30，此时 l1与 l2的距离为|32|42 22510. 15(文)已知两条直线 l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8.当 m分别为何值时， l1与 l2：(1)相交？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页(2)平行？(3)垂直？解析(1)当 m5 时，显然 l1与 l2相交；当 m5 时，两直线 l1和 l2的斜率分别为 k13m4，k225m，它们在 y 轴上的截距分别为b153m4，b285m. 由 k1k2，得3m425m，即 m7，且 m1. 当m7，且 m1 时，l1与 l2相交(2)由k1k2，b1b2，得3m425m，53m485m，得 m7. 当m7 时，l1与 l2平行(3)由 k1k21，得3m4 (25m)1，m133. 当m133时，l1与 l2垂直(理)(2011 青岛模拟 )已知三点A(5，1)、B(1,1)、C(2，m)，分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页别求满足下列条件的m 值(1)三点构成直角三角形ABC；(2)A、B、C 三点共线解析(1)若角 A 为直角，则 ACAB， kAC kAB1，即m12511151，得 m7；若角 B 为直角，则 ABBC， kAB kBC1，即12m1211，得 m3；若角 C 为直角，则 ACBC， kAC kBC1，即m13m1211，得 m 2，综上可知， m7，或 m3，或 m 2. (2)方法一：A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)， kAB115112，kAC1m521m3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页由 kABkAC，得121m3，即 m12. 当m12时，三点 A、B、C 共线方法二：A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)， AB(4,2)，AC(3，m1)，由AB AC，得432m1，得 43，m12，当m12时，三点 A、B、C 共线方法三：A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)， |AB|2 5，|BC|m22m2，|AC|m22m10. 由三点横坐标可知， |BC|AC|AB|，即m22m2m22m102 5，m22m10 m22m2 25 ， 两 边 平 方 ， 得5 m22m23m，两边平方，得 4m24m10， m12，经验证 m12符合题意，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页故 m12时，三点 A、B、C 共线方法四：点 A(5，1)与 B(1,1)确定的直线方程为x2y30，将 C(2，m)的坐标代入得 m12，故 m12时，三点 A、B、C 共线16 (文)(2011 西安模拟 )设直线 l 的方程为 (a1)xy2a0(aR)(1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程(2)若 l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围解析(1)令 x0，得 ya2. 令 y0，得 xa2a1(a1)由 a2a2a1，解得 a2，或 a0. 所求直线 l 的方程为 3xy0，或 xy20. (2)直线 l 的方程可化为 y(a1)xa2. l 不过第二象限， a1 0，a20. a1. a 的取值范围为 (，1(理)过点 A(3，1)作直线 l 交 x 轴于点 B，交直线 l1：y2x 于点 C，若|BC|2|AB|，求直线 l 的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页解析当 k 不存在时 B(3,0)，C(3,6)此时|BC|6，|AB|1，|BC|2|AB|，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为： y1k(x3)，令 y0 得 B(31k，0)，由y2xy1k x3得 C 点横坐标 xc13kk2. 若|BC|2|AB|则|xBxC|2|xAxB|， |13kk21k3|2|1k|，13kk21k32k或13kk21k32k，解得 k32或 k14. 所求直线 l 的方程为： 3x2y70 或 x4y70. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页1函数 yasinxbcosx 的图象的一条对称轴方程为x4，则直线 axbyc0 的倾斜角为 () A45B60C120D135答案D 分析由函数的对称轴方程可以得到a、b 的关系式，进而可求得直线 axbyc0 的斜率 k，再由 ktan可求倾斜角 . 解析令 f(x)asinxbcosx， f(x)的一条对称轴为 x4， f(0)f2，即 ba，ab1. 直线 axbyc0 的斜率为 1，倾斜角为 135 . 2若三直线 2x3y80，xy10，xkyk120 相交于一点，则 k 的值为 () A2 B12C2 D.12答案B 解析由xy102x3y80得交点 P(1，2)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页P 在直线 xkyk120 上， k12. 3(2011 江西)若曲线 C1：x2y22x0 与曲线 C2：y(ymxm)0 有 4 个不同的交点，则实数m 的取值范围是 () A(33，33) B(33，0)(0，33) C33，33 D(，33)(33，) 答案B 解析曲线 C1：(x1)2y21，图形为圆心为 (1,0)，半径为 1 的圆；曲线 C2：y0 或者 ymxm0，直线 ymxm0 恒过定点 (1,0)，即曲线 C2图象为 x 轴与恒过定点 (1,0)的两条直线作图分析： k1tan3033，k2tan3033，又直线 l1(或直线 l2)、x 轴与圆共有四个不同的交点， 结合图形可知 mk(33，0)(0，33)4设 a、b、c 分别是 ABC 中角 A、B、C 所对边的边长，则直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页线 xsinAayc0 与 bxysinBsinC0 的位置关系是 () A平行B重合C垂直D相交但不垂直答案C 解析由已知得a0，sinB0，所以两直线的斜率分别为k1sinAa，k2bsinB，由正弦定理得： k1 k2sinAabsinB1，所以两条直线垂直，故选C. 5(2011 安徽省高三联考 )点 P 到点 A(1,0)和直线 x1 的距离相等，且点 P 到直线 yx 的距离为22，这样的点 P 的个数是 () A1B2C3D4 答案C 解析点P 到点 A 和定直线 x1 距离相等，易知 P 点轨迹为抛物线，方程为y24x. 设 P(t2,2t)，则22|2tt2|2，解之得 t11，t212，t31 2，P 点有三个，故选 C. 6(2011 深圳二月模拟 )设 l1的倾斜角为 ， (0，2)，l1绕其上一点 P 沿逆时针方向旋转角得直线 l2，l2的纵截距为 2，l2绕 P沿逆时针方向旋转2角得直线l3：x2y10，则 l1的方程为_答案2xy80 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页解析由条件知 l1l3，kl12，tan 2，又 l2的倾斜角为 2 ，tan2 43， l2：y43x2，由y43x2，x2y10，得 P(3,2)，又 P 在 l1上，l1：2xy80. 7曲线 yxx2在(1，1)处的切线为 l，直线 kx2y100与 2x3y50 与 x 轴、y 轴围成的四边形有外接圆， 则外接圆的圆心到 l 的距离为 _答案19 530解析由 yxx2得，y|x 12x22|x 12，切线 l：y12(x1)，即 2xy10，又由条件知，直线kx2y100 与 2x3y50 垂直，2k60，k3. 在 3x2y100 中含 y0 得 x103，A(103，0)，在 2x3y50 中令 x0 得 y53，B(0，53)，AB 的中点 C(53，56)为圆心，故所求距离为19 530. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页8(2011 苏北四市二调 )已知直线 l1：axy2a10 和 l2：2x(a1)y20(aR)，则 l1l2的充要条件是 a_. 答案13解析两条直线垂直的充要条件是A1A2B1B20， 对于本题而言就是 2a(a1)0，解得 a13. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页