学习必备欢迎下载二次函数的三种表达形式：一般式：y=ax2+bx+c(a0,a、b、c 为常数 )，顶点坐标为, 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c 的值。顶点式：y=a(x-h)2+k(a 0,a、h、k 为常数 ),顶点坐标为对称轴为直线x=h ，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h 时，y 最值=k 。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y 的顶点 (1,2) 和另一任意点 (3,10) ，求 y 的解析式。解：设 y=a(x-1)2+2，把(3,10) 代入上式，解得 y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h0时，h 越大，图像的对称轴离y 轴越远，且在 x 轴正方向上，不能因h 前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当 h0 时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2 向右平行移动 h 个单位得到；当 h0,k0时，将抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到 y=a(x-h)2+k的图象；当 h0,k0时，将抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位，再向下移动 |k|个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象；当 h0时，将抛物线 y=ax2 向左平行移动 |h|个单位，再向上移动k 个单精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载位可得到 y=a(x-h)2+k的图象；当 h0,k0 时，开口方向向上；a0 ，那么当时，y 有最小值且 y最小=；如果 a0 ，那么，当时，y 有最大值，且 y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x4 时有最小值 3，且它的图象与 x 轴两交点间的距离为 6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解二次函数当 x4 时有最小值 3，顶点坐标为（ 4，-3），对称轴为直线 x4，抛物线开口向上。由于图象与 x 轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x 轴两交点的坐标是（ 1，0）和（ 7，0）。抛物线的顶点为（ 4，-3）且过点（ 1，0）。故可设函数解析式为ya(x4)23。将（1，0）代入得 0a(14)23, 解得 a13 y13(x 4)2-3，即 y13x283x 73。典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和 B（1，0），且对称轴是直线 x3求这个二次函数的解析式. （2） 已知关于 x 的二次函数图象的对称轴是直线x=1 ， 图象交 y 轴于点 （0， 2） ，且过点（ -1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2 ，且通过点（ 1，4）和点（ 5，0），求此抛物线的解析式 . （4）二次函数的图象的对称轴x=-4 ，且过原点，它的顶点到x 轴的距离为 4，求此函数的解析式典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线 y=ax2+bx+c的图像向右平移 3 个单位 , 再向下平移 2 个单位 , 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为 _ 。点拨：解先将 y=x2-3x+5化为 y=(x-32)2+5-94, 即 y=(x-32)2+114。它是由抛物线的图像向右平移3 个单位 , 再向下平移 2 个单位得到的，原抛物线的解析式是 y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页