5.4 二元一次不等式（组）与简单的线性规划一、知识回顾1、画二元一次不等式表示的平面区域，常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，当边界不过原点时，常把原点作为特殊点2、线性规划问题的有关概念：（1）线性约束条件（2）目标函数（3）线性规划问题（ 4）解线性规划的基本步骤二、精题演练1、 在平面直角坐标系中，不等式组20200xyxyy表示的平面区域的面积是（）(A)4 2(B)4 (C) 2 2(D)2 解析： 如图， 作出可行域， 易知不等式组20200xyxyy表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为（，），B(2,0),C(-2,0). 于是三角形的面积为：11| |4 24.22SBCAO从而选。2、下面给出的四个点中, 位于表示的平面区域内的点是( ) A.(0,2) B.(-2,0) C.(0,-2) D.(2,0) 解析 : 将四个点的坐标分别代入不等式组满足条件的是 (0,-2),选 C. 3、若实数 x,y 满足则 z3x+2y的最小值是( )A.0 B.1 C. D.9 解析 : 解出可行域的顶点, 代入验证即可. 答案 :B 4、若 A为不等式组表示的平面区域, 则当 a 从-2 连续变化到1 时, 动直线 x+ya 扫过 A中的那部分区域的面积为( ) 01y-x0,1-yx01y-x0,1-yx0,x0,yx0,1y-x32x-y0,y0,x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页A. B.1 C. D.2 解析 : 如右图 , 知区域的面积是OAB去掉一个小直角三角形. ( 阴影部分面积比1 大, 比 SOAB22 2 小, 故选 C,不需要算出来) 答案 : C 5、当点 M(x,y) 在如图所示的三角形ABC内( 含边界 ) 运动时 , 目标函数zkx+y 取得最大值的一个最优解为(1,2),则实数 k 的取值范围是( ) A.(- ,-1 1,+) B.-1,1 C.(-,-1) (1,+ ) D.(-1,1) 解析 : 目标函数所表示的直线的斜率为-k, 当直线所表示的斜率比直线BC的斜率大 , 比直线 AC的斜率小时 , 恰好在点 C(1,2) 处取得最优解. kAC1,kBC-1, -1 -k 1, 解得 -1 k1. 答案 :B 6、 设 O为坐标原点 ,M(2,1),若 N(x,y)满足则取得最大值时， 点 N的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.无数个解析 : 画出可行域如图， 设 z 2x+y, 当 z 2x+y 对应的直线同直线2x+y-12 0 重合时，z 最大，此时有无数个点. 答案 :D 4347211,x0,12-y2x0,34y-xONOMONOM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页7、 若 x 、 y 满 足 约 束 条 件222xyxy， 则 z=x+2y的 取 值 范 围 是（）A、 2,6 B、 2,5 C、 3,6 D、 （ 3,5 解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线l： x+2y 0， 将l向 右 上 方 平 移 ， 过 点 A（ 2,0 ） 时 ， 有 最 小 值2， 过 点 B（ 2,2 ） 时 ， 有 最 大 值6， 故 选 A 8、不 等 式 组260302xyxyy表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为（）A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， ABC 的 面 积 即 为 所 求 ，由 梯 形 OMBC 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC的 面 积 即 可 ， 选 B 9、已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件5503xyxyx，使z=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数个 ， 则a 的 值 为（）A、 3 B、 3 C、 1 D、 1 解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线l： x+ay 0， 要 使 目 标 函 数z=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的最 优 解 有 无 数 个 ， 则 将l向 右 上 方 平 移 后 与 直 线 x+y 5 重 合 ， 故 a=1 ， 选 D 10、已 知 |2x y m| 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 （ 0,0 ） 和 （ 1,1 ） ， 则m的 取 值 范 围是 （）A、 （ -3,6）B、 （ 0,6 ）C、 （ 0,3 ）D、 （ -3,3）解 ： |2x y m| 3 等 价 于230230xymxym由 右 图 可 知3330mm, 故 0 m 3， 选 C x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y 6= 0 = 5 xy 3 = 0 O y x A B C M y =2 x + y = 5 x y + 5 = 0 O y x x=3 O 2x y = 0 y 2x y + 3 = 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页11、已知变量x，y满足约束条件xy20，x1，xy7 0，则yx的取值范围是（） . （A）95，6 （B） （，95 6 ，）（C） （， 3 6 ，）（D）3 ，6 解析yx是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（52，92）时，yx取得最小值95；当直线OM过点（ 1，6）时，yx取得最大值6. 答案 A 12、已知点 (3，1)和( 4，6)在直线 3x2y+a=0 的两侧，则a 的取值范围是( ) A. a 1 或 a24 B. a=7 或 a=24 C. 7a24 D. 24 a7 13、满足2yx的整点的点（x，y）的个数是（）A5 B 8 C12 D13 14、 .完成一项装修工程, 请木工需付工资每人50 元 , 请瓦工需付工资每人40 元 , 现有工人工资预算2000元 , 设木工 x 人 , 瓦工 y 人 , 请工人的约束条件是( B ) A.20004050yxB. 20004050yxC. 20004050yxD. 20005040yx15、设 x，y 满足约束条件0, 002063yxyxyx， 若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则23ab的最小值为 ( A ). A. 625B. 38C. 311D. 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页【解析】 :不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a0，b0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（ 4,6）时, 目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而23ab=23 23131325()()26666abbaabab,故选 A. 16、设变量 x、y 满足约束条件1122yxyxyx，则yxz32的最大值为。解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4) 处，目标函数z 最大值为18 17、若 x,y 满足约束条件则 z2x-y 的最大值为 _. 解析 : 如图 , 作出可行域 , 3,x00,3y-x0,yxx 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 图 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页作出直线l0:2x-y 0, 将 l0平移至过点A处时 , 函数 z2x-y 有最大值9. 答案 : 9 18、已知则 x2+y2的最小值是 _. 解析 :画出可行域 , 得交点 A(1,2),B(3,4),则 x2+y2的最小值是5. 答案 : 5 19、已知变量x,y 满足约束条件若目标函数zax+y( 其中 a0) 仅在点 (3,0) 处取得最大值 ,则 a 的取值范围为_. 解析 : 画出可行域如图所示，其中B（3，0） ，C （1，1） ，D（0，1） ，若目标函数zax+y 取得最大值，必在B，C，D三点处取得，故有3aa+1 且 3a1，解得 a. 答案 : ( ,+ )20、点 P（x,y) 满足不等式组i为 x 轴正方向上的单位向量，则向量OP在向量i方向上的投影的最大值为_. 解析 : 画出可行域，其可行域为以A(2,3) 、B(-3,-2)、 C(1,-2)为顶点的三角形内部部分（包含边界），过A作 x 轴的垂线，垂足为D，由图形可知向量在向量i方向上的投影的最大值为OD的长度，即为2. 0,2-y-2x0,1y-x1,x0,2-y-2x0,1y-x1,x0,1-y0,3-3yx0,3-2yx2121-2,y0,7-y-5x0,1y-xOP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页答案 : 2 21、下图所示的阴影区域用不等式组表示为22、已知点 P（1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式012byx表示的平面区域内，则b 的取值范围是23、不等式1yx所表示的平面区域的面积是24、若不等式组03434xxyxy所表示的平面区域被直线43ykx分为面积相等的两部分，则k的值是 _解析 ：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC 由3434xyxy得 A（1， 1） ，又 B（0，4） ，C（0，43）SABC=144(4) 1233，设ykx与34xy的交点为 D，则由1223BCDSS ABC知12Dx，52Dy5147,2233kk25、不等式2313xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 _ 因为24314313xxxxaa对对任意 x 恒成立，所以22343041aaaaaa即，解得或x 121 32y O A x D y C O y=kx+43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页26、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料 3 吨， B 原料 2吨；生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润5 万元，每吨乙产品可获得利润3 万元。该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13 吨， B 原料不超过18 吨.那么该企业可获得最大利润是_万【解析】 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：A原料B原料甲产品x吨3x2x乙 产 品y吨y3y则有：183213300yxyxyx目标函数yxz35作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x3，y 5 时可获得最大利润为27 万元，27、若A为不等式组002xyyx表示的平面区域， 则当a从 2 连续变化到1 时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为7428已知实数xy，满足|1|1xyy, 则yx2的最大值为 _;29在坐标平面上, 不等式组11|2xyxy所表示的平面区域的面积为_; （3，4）（0，6）O （313，0）yx9 13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页30若不等式组ayxyyxyx0220, 表示的平面区域是一个三角形, 则a的取值范围是 _; 31.画出不等式组02042xyxyx所表示的平面区域32.求由约束条件0,0625yxyxyx确定的平面区域的面积阴影部分S和周长阴影部分C解析 ：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），其四个顶点为O（0，0） ，B（3，0） ，A（0，5） ，P（1，4） 过P 点作 y 轴的垂线，垂足为C则 AC=|5-4|=1 ，PC=|1-0|=1，OC=4，OB=3，AP=2，PB=52)31()04(22得PCACSACP21=21，8)(21OCOBCPSCOBP梯形所以阴影部分S=ACPS+COBPS梯形=217，阴影部分C=OA+AP+PB+OB=8+2+5233. 求目标函数yxz1510的最大值及对应的最优解，约束条件是01001232122yxyxyx解析 ：作出其可行域如图所示，约束条件所确定的平面区域的五个顶点为（0，4） ， （0，6） ， （6，0） （10，0） ， （10，1） ，作直线 l0：10 x +15 y =0，再作与直线l0平行的直线l：10 x +15 y =z，由图象可知，当l 经过点（ 10，1）时使yxz1510取得最大值，xyO352x+y=6x+y=55PABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页显然1151151010maxz，此时最优解为（ 10，1） 34、预算用2 000 元购买单件为50 元的桌子和20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能得多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？解: 设桌、椅分别买x 张、 y 把，目标函数zx+y, 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为由解得所以 A点的坐标为（,). 由解得所以 B点的坐标为 (25,). 所以满足条件的可行域是以A（，） ，B （25，） ，O （0，0）为顶点的三角形区域（如下图），由图形可知，目标函数zx+y 在可行域内的最优解为(25,), 但注意到xN*,y N* ，故取故买桌子25 张，椅子37 把是最好的选择. 35、某机械厂的车工分、两个等级，各级车工每人每天加工能力，成品合格率及日工资数如下表所示：级别加工能力 (个/人天 ) 成品合格率 (%) 工资 (元/天) 240 97 5.6 160 95.5 3.6 0.y0,x1.5x,yx,y000,220y50xx,y000,220y50x,7200,7200yx720072001.5x,y000,220y50x275,25yx2757200720027527537.y25,x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页工厂要求每天至少加工配件2400 个，车工每出一个废品，工厂要损失2 元，现有级车工8 人，级车工 12 人，且工厂要求至少安排6 名级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少. 36. .实数yx,满足不等式组02200yxyxy, 求11xy的取值范围 ? 37.已知10101yyxyx且84422yxyxu, 求u的最小值; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页