北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 阶段方法技巧训练（一）阶段方法技巧训练（一）专训专训1 1用二次函数解决问用二次函数解决问 题的四种类型题的四种类型习题课习题课 利用二次函数解决利用二次函数解决实际问题时，要注意数形，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数解析式合，巧妙地运用二次函数解析式实行建模，从行建模，从而达到而达到应用二次函数的某些性用二次函数的某些性质来解决来解决问题的目的目的的1类型建立平面直角坐标系解决实际问题建立平面直角坐标系解决实际问题1如如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐 标系中的示意系中的示意图，点，点A和和A1、点、点B和和B1分分别关于关于y 轴对称隧道拱部分称隧道拱部分BCB1 为一段抛物一段抛物线，最高点，最高点C离离 路面路面AA1的距离的距离为8 m，点，点 B离路面离路面AA1的距离的距离为6 m， 隧道隧道宽AA1为16 m.题型型1 拱拱桥(隧道隧道)问题(1)求隧道拱部分求隧道拱部分BCB1对应的函数解析式的函数解析式由已知得由已知得OAOA18 m，OC8 m，AB6 m故故C(0，8)，B(8，6)设抛物抛物线BCB1对应的函数解析式的函数解析式为yax28，将将B点坐点坐标代入，得代入，得a(8)286，解得解得a所以所以y x28(8x8)解解：(2)现有一大型有一大型货车，装，装载某大型某大型设备后，后，宽为4 m， 装装载设备的的顶部离路面均部离路面均为7 m，问：它能否安：它能否安 全通全通过这个隧道？并个隧道？并说明理由明理由能若能若货车从隧道正中行从隧道正中行驶，则其最右其最右边到到y轴的的距离距离为2 m如如图，设抛物抛物线上横坐上横坐标为2的点的点为点点D，过点点D作作DEAA1于点于点E. 当当x2时，y 228即即D 所以所以DE m.因因为 7，所以，所以该货车能安全通能安全通过这个隧道个隧道解解：2某公园草坪的防某公园草坪的防护栏由由100段形状相同的抛物段形状相同的抛物线组成，成， 为了牢固，每段防了牢固，每段防护栏需要需要间距距0.4 m加加设一根不一根不锈 钢的支柱，防的支柱，防护栏的最高点到底部距离的最高点到底部距离为0.5 m(如如图)， 则这条防条防护栏需要不需要不锈钢支柱的支柱的总长度度为() A50 m B100 m C160 m D200 m题型型2 建筑物建筑物问题C3. 如如图，在水平地面点，在水平地面点A处有一网球有一网球发射器向空中射器向空中发 射网球，网球射网球，网球飞行路行路线是一条抛物是一条抛物线，在地面上的，在地面上的 落点落点为B. 有人在直有人在直线AB上点上点C(靠点靠点B一一侧)处竖直向直向 上上摆放无盖的放无盖的圆柱形桶，柱形桶，试图让网网 球落入桶内已知球落入桶内已知AB4米，米，AC 3米，网球米，网球飞行最大高度行最大高度OM5米，米， 圆柱形桶的直径柱形桶的直径为0.5米，高米，高为0.3 米米(网球的体网球的体积和和圆柱形桶的厚度柱形桶的厚度 忽略不忽略不计)题型型3 物体运物体运动类问题(1)如果如果竖直直摆放放5个个圆柱形桶，网球能不能落入桶内柱形桶，网球能不能落入桶内？以点以点O为原点，原点，AB所在直所在直线为x轴，AB的垂直平分的垂直平分线为y轴建立如建立如图的直角坐的直角坐标系，系，则有有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D设抛物抛物线的解析式的解析式为yax2c，由抛物由抛物线过点点M和点和点B，可得可得a c5.故抛物故抛物线的解析式的解析式为y x25.解解：当当x1时，y ；当；当x 时，y .故故 ， 两点在抛物两点在抛物线上上当当竖直直摆放放5个个圆柱形桶柱形桶时，桶高桶高为0.351.5 (米米) 且且 ，网球不能落入桶内网球不能落入桶内(2)当当竖直直摆放多少个放多少个圆柱形桶柱形桶时，网球可以落入，网球可以落入 桶内？桶内？设竖直直摆放放m个个圆柱形桶柱形桶时，网球可以落入桶内，网球可以落入桶内由由题意，得意，得 0.3m ，解得解得 m .m为整数，整数，m的的值为8，9，10，11，12.当当竖直直摆放放8个，个，9个，个，10个，个，11个或个或12个个圆柱柱 形桶形桶时，网球可以落入桶内，网球可以落入桶内解解：2类型建立二次函数模型解决几何最值问题建立二次函数模型解决几何最值问题4.如如图，小明的父，小明的父亲在相距在相距2米的两棵米的两棵树间拴了一根拴了一根 绳子，子，给小明做了一个小明做了一个简易的秋千拴易的秋千拴绳子的地子的地 方距地面高都是方距地面高都是2.5米，米，绳子自然子自然 下垂呈抛物下垂呈抛物线状，身高状，身高1米的小明米的小明 距距较近的那棵近的那棵树0.5米米时，头部部刚 好接触到好接触到绳子，子，则绳子的最低点子的最低点 距地面的高度距地面的高度为_米米题型型1 利用二次函数解决利用二次函数解决图形高度的最形高度的最值问题0.55如如图所示，正方形所示，正方形ABCD的的边长为3a，两，两动点点E， F分分别从从顶点点B，C同同时开始以相同速度沿开始以相同速度沿边BC， CD运运动，与，与BCF相相应的的EGH在运在运动过程中程中 始始终保持保持EGHBCF， B，E，C，G在一条直在一条直线 上上题型型2 利用二次函数解决利用二次函数解决图形面形面积的最的最值问题(1)若若BEa，求，求DH的的长(1)连接接FH，EGHBCF， BCEG，HGFC，GBCF， CGBE，HGFC， 四四边形形FCGH是平行四是平行四边形，形， FH CG， DFHDCG90. 由由题意可知，意可知，CFBEa. 在在RtDFH中，中，DF3aa2a，FHa， DH解解：(2)当当E点在点在BC边上的什么位置上的什么位置时，DHE的面的面积 取得最小取得最小值？并求？并求该三角形面三角形面积的最小的最小值(2)设BEx，DHE的面的面积为y. 依依题意，意， 得得ySCDES梯形梯形CDHGSEGH 3a(3ax) (3ax)x 3ax， y x2 ax a2，即，即y 当当x a，即，即E是是BC的中点的中点时，y取得最小取得最小值， 即即DHE的面的面积取得最小取得最小值，最小，最小值是是 a2.解解：3类型建立二次函数模型解决动点探究问题建立二次函数模型解决动点探究问题6如如图所示，直所示，直线y x2与与x轴、y轴分分别交于点交于点 A，C，抛物，抛物线过点点A，C和点和点B(1，0) (1)求抛物求抛物线的解析式；的解析式； (2)在在x轴上方的抛物上方的抛物线上有一上有一动点点D，当，当D与直与直线 AC的距离的距离DE最大最大时，求出，求出 点点D的坐的坐标，并求出最大距，并求出最大距 离离(1)在在y x2中，中， 令令x0，得，得y2；令；令y0，得，得x4， A(4，0)，C(0，2) 设抛物抛物线的解析式的解析式为yax2bxc(a0) 点点A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)在抛物在抛物线上，上，解解：抛物抛物线的解析式的解析式为y x2 x2.(2)设点点D的坐的坐标为(x，y)， 则y x2 x2(1x4) 在在RtAOC中，中，OA4，OC2， 由勾股定理得由勾股定理得AC2 如如图所示，所示，连接接CD，AD. 过点点D作作DFy轴于点于点F，过点点A作作AGFD交交FD 的延的延长线于点于点G， 则FGAO4，FDx，DG4x， OFAGy，FCy2.SACDS梯形梯形AGFCSCDFSADG (AGFC)FG FCFD DGAG (yy2)4 (y2)x (4x)y 2yx4.将将y x2 x2代入，代入，得得SACD2yx4x24x(x2)24，当当x2时，y1，此，此时SACD最大，且最大最大，且最大值为4.D(2，1)SACD ACDE，AC当当ACD的面的面积最大最大时，高，高DE最大，最大， 则DE的最大的最大值为当当D与直与直线AC的距离的距离DE最大最大时，点，点D的坐的坐标为 (2，1)，最大距离，最大距离为4类型建立二次函数模型作决策问题建立二次函数模型作决策问题7有一例有一例题： 有一个窗有一个窗户形状如形状如图所示，上部所示，上部 是一个半是一个半圆，下部是一个矩形如，下部是一个矩形如 果制作窗框的材料果制作窗框的材料总长为6 m，如何，如何 设计这个窗个窗户，使透光面，使透光面积最大？最大？题型型1 几何几何问题中的决策中的决策这个例个例题的答案是：当窗的答案是：当窗户半半圆的半径的半径约为0.35 m时，透光面，透光面积最大最大值约为1.05 m2.我我们如果改如果改变这个窗个窗户的形状，上部改的形状，上部改为由两个正由两个正方形方形组成的矩形，材料成的矩形，材料总长仍仍为6 m，如，如图所示解答下列所示解答下列问题：(1)若若AB为1 m，求此，求此时窗窗户的透光面的透光面积由已知可得由已知可得AD (m)，则窗窗户的透光面的透光面积为 1 (m2)解解：(2)与例与例题比比较，改，改变窗窗户形状后，窗形状后，窗户透光面透光面积的的 最大最大值有没有有没有变大？大？请通通过计算算说明明设ABx m，则AD m，3 x0，且，且x0，0x .设窗窗户的透光面的透光面积为S m2，由已知得，由已知得SABADx x23x 解解：x 在在0x 的范的范围内，内，当当x 时，S最大最大值 1.05.与例与例题比比较，改，改变窗窗户形状后，窗形状后，窗户透光面透光面积 的最大的最大值变大大8【2016武武汉】某公司某公司计划从甲、乙两种划从甲、乙两种产品中品中选 择一种生一种生产并并销售，每年售，每年产销x件已知件已知产销两种两种 产品的有关信息如表：品的有关信息如表：题型型2 实际问题中的决策中的决策产品品每件售价每件售价(万元万元)每件成本每件成本(万元万元)每年其他每年其他费用用(万元万元)每年最大每年最大产销量量(件件)甲甲6a20200乙乙2010400.05x280其中其中a为常数，且常数，且3a5.(1)若若产销甲、乙两种甲、乙两种产品的年利品的年利润分分别为y1万元、万元、 y2万元，直接写出万元，直接写出y1，y2与与x的函数关系式；的函数关系式；(1)y1(6a)x20，(0x200) y2(2010)x400.05x2 0.05x210x40.(0x80)解解：(2)分分别求出求出产销两种两种产品的最大年利品的最大年利润；(2)对于于y1(6a)x20， 3a5，6a0， x200时，y1最大最大值(1 180200a)万元万元 对于于y20.05(x100)2460， 0x80， x80时，y2最大最大值440万元万元解解：(3)为获得最大年利得最大年利润，该公司公司应该选择产销哪种哪种 产品？品？请说明理由明理由(3)1 180200a440，解得，解得a3.7； 1 180200a440，解得，解得a3.7； 1 180200a440，解得，解得a3.7. 3a5， 当当a3.7时，产销甲、乙两种甲、乙两种产品的年利品的年利润相同；相同； 当当3a3.7时，产销甲甲产品年利品年利润比比较高；高； 当当3.7a5时，产销乙乙产品年利品年利润比比较高高解解：