1 / 10 1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题. 2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题3.理解和运用概率性质进行概率的运算知识点说明在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的一半左右这里的“大量重复”是指多少次呢？历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的实验，随着实验次数的增加，出现正面的频率波动越来越小，频率在这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，就是抛掷硬币时出现正面的概率这就是概率统计定义的思想，这一思想也给出了在实际问题中估算概率的近似值的方法，当实验次数足够大时，可将频率作为概率的近似值在统计里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体。从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。样本中个体的数目叫做样本的容量。总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，把样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。概率的古典定义：如果一个实验满足两条：实验只有有限个基本结果：实验的每个基本结果出现的可能性是一样的这样的实验，称为古典实验对于古典实验中的事件，它的概率定义为：，表示该实验中所有可能出现的基本结果的总数目，表示事件包含的实验基本结果数小学奥数中，所涉及的问题都属于古典概率其中的和需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出相互独立事件：事件是否发生对事件发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件公式含义：如果事件和为独立事件，那么和都发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之积举例：明天是否晴天与明天晚餐是否有煎鸡蛋相互没有影响，因此两个事件为相互独立事件.所以明天天晴，并且晚餐有煎鸡蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎鸡蛋的概率. 第一次抛硬币掉下来是正面向上与第二次抛硬币是正面向上是两个相互独立事件所以第一次、第二次抛硬币掉下来后都是正面向上的概率等于两次分别抛硬币掉下来后是正面向上的概率之积，即. 掷骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某个数字向上是两个相互独立的事件，如果骰子掉在桌上的概率为，那么骰子掉在桌上且数字“”向上的概率为知识点拨教案目标8-7 概率与统计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 / 10 【例 1】（2007 年“希望杯”二试六年级) 气象台预报“本市明天降雨概率是”对此信息，下列说法中正确的是本市明天将有的地区降水本市明天将有的时间降水明天肯定下雨明天降水的可能性比较大【巩固】一个小方木块的六个面上分别写有数字、，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得分当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得分每人扔次，_得分高的可能性比较大【例 2】在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）25 21 23 25 27 29 25 28 30 29 26 24 25 27 26 22 24 25 26 28 请填写下表【例 3】在某个池塘中随机捕捞条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞尾，发现其中有条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？【例 4】有黑桃、红桃、方块、草花这4 种花色的扑克牌各2 张，从这8 张牌中任意取出2 张。请问：这2 张扑克牌花色相同的概率是多少？【巩固】小悦从 1、2、3、4、5 这 5 个自然数中任选一个数，冬冬从2、3、4、5、6、7 这 6 个自然数中任选一个数。选出的两个数中，恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少【例 5】妈妈去家乐福购物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她决定从这4 中水果中任选一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场，发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售。他也决定任选一种买回家。请问：他们买了不同的水果的概率是多少？例题精讲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 / 10 【巩固】在标准英文字典中，由2 个不同字母组成的单词一共有55 个 . 如果从26 个字母中任取2 个不同的排列起来，那么恰好能拍成一个单词的概率是多少？【巩固】口袋里装有100 张卡片，分别写着1，2，3， 100. 从中任意抽出一张。请问：（1）抽出的卡片上的数正好是37 的概率是多少？（2）抽出的卡片上的数是偶数的概率是多少？（3）抽出的卡片上的数是质数的概率是多少？（4）抽出的卡片上的数是101 的概率是多少？（5）抽出的卡片上的数小于200 的概率是多少？【例 6】在一只口袋里装着2 个红球， 3 个荒丘和4 个黑球。从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率有多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？（3）这个是绿球的概率有多少？不是绿球的概率又有多少? 【巩固】一只口袋里装有5 个黑球和3 个白球，另一只口袋里装有4 个黑球和4 个白球。从两只口袋里各取出一个球。请问：取出的两个球颜色相同的概率是多少？【巩固】一只普通的骰子有6 个面，分别写有1、2、3、4、5、6。掷出这个骰子，它的任何一面朝上的概率都是1/6. 假设你将某一个骰子连续投掷了9 次，每次的结果都是1 点朝上。那么第十次投掷后，朝上的面上的点数恰好是奇数的概率是多少？【例 7】甲、乙两个学生各从这个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：这两个数字的差不超过的概率，两个数字的差不超过的概率【巩固】小悦掷出了2 枚骰子，掷出的2 个数字之和恰好等于10 的概率有多少？【巩固】分别先后掷2次骰子，点数之和为6 的概率为多少？点数之积为6 的概率为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 / 10 【例 8】一枚硬币连续抛掷3 次，至少有一次正面向上的概率是【巩固】冬冬与阿奇做游戏：由冬冬抛出3 枚硬币，如果抛出的结果中，有2 枚或 2 枚以上的硬币正面朝上，冬冬就获胜；否则阿奇获胜。请问：这个游戏公平吗？【巩固】一枚硬币连续抛4 次，求恰有2 次正面的概率【巩固】一枚硬币连续抛掷3 次，求至少有两次正面向上的概率【巩固】阿奇一次指出8 枚硬币，结果恰有4 枚硬币正面朝上的概率是多少？有超过4 枚的硬币正面朝上的概率是多少？【例 9】如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_【巩固】如图为、两地之间的道路图，其中表示加油站，小王驾车每行驶到出现两条通往目的地方向道路的路口时（所有路口都是三叉的，即每到一个路口都只有一条或两条路通往目的地），都用抛硬币的方式随机选择路线，求：小王驾车从到，经过加油站的概率小王驾车从到，经过加油站的概率【例 10】 小明爬楼梯时以抛硬币来确定下一步跨个台阶还是个台阶，如果是正，那么跨个台阶，如果是反，那么跨出个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出个台阶的概率为多少？【巩固】小明爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，如果点数小于，那么跨个台阶，如果不小于，那么跨出个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出个台阶的概率为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 / 10 【巩固】从小红家门口的车站到学校，有路、路两种公共汽车可乘，它们都是每隔分中开来一辆小红到车站后，只要看见路或路，马上就上车，据有人观察发现：总有路车过去以后分钟就来路车，而路车过去以后分钟才来路车小红乘坐_路车的可能性较大【例 11】 四位同学将各自的一张明信片随意放在一起互相交换，恰有一个同学拿到自己写的明信片的概率是 _【巩固】两封信随机投入4个邮筒，则前两个邮筒都没有投入信的概率是_【巩固】一张圆桌旁有四个座位，、四人随机坐到四个座位上，求与不相邻而坐的概率【例 12】 小悦与阿奇比赛下军棋，两人水平相当，两人约定塞7 局，先赢4 局者胜，现在已经比了三局，小悦胜了2 局，阿奇胜了1 局。请问：小悦获得最后胜利的概率有多少？【巩固】(2008 年“奥数网杯”六年级) 一块电子手表，显示时与分，使用小时计时制，例如中午点和半夜点都显示为如果在一天 (24 小时 ) 中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“ 1”的概率是【例 13】 某列车有4 节车厢，现有6 个人准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢的可能性是相等的，则这 6 位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3 的概率为多少？【巩固】三个人乘同一辆火车，火车有十节车厢，则至少有两人上同一节车厢的概率为_【巩固】某人有5 把钥匙，一把房门钥匙，但是忘记是哪把，于是逐把试，问恰好第三把打开门的概率？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 / 10 【巩固】一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由、五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是_【例 14】 某小学六年级有个班，每个班各有名学生，现要在六年级的个班中随机抽取个班，参加电视台的现场娱乐活动，活动中有次抽奖活动，将抽取名幸运观众，那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为多少？【巩固】（2009 年全国数学资优生水平测试）编号分别为110 的 10 个小球，放在一个袋中，从中随机地取出两个小球，这两个小球的编号不相邻的可能性是_。【例 15】 一个年级有三个班级，在这个年级中随意选取3 人，这 3 人属于同一个班级的概率是多少?【巩固】一个班有女生25 人,男生 27 人，任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?【巩固】从 6 名学生中选4 人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？【例 16】 （2008 年武汉明心奥数挑战赛六年级）学校门口经常有小贩搞摸奖活动某小贩在一只黑色的口袋里装有颜色不同的50 只小球，其中红球1 只，黄球2 只，绿球10 只，其余为白球搅拌均匀后，每2 元摸 1个球奖品的情况标注在球上（如图）1元的奖品绿球白球无奖品5元的奖品黄球红球8元的奖品如果花 4元同时摸2 个球，那么获得10 元奖品的概率是【巩固】用转盘 ( 如图 ) 做游戏，每次游戏游戏者需交游戏费1 元游戏时，游戏者先押一个数字，然后快速地转动转盘，若转盘停止转动时，指针所指格子中的数字恰为游戏者所押数字，则游戏者将获得奖励36 元该游戏对游戏者有利吗？转动多少次后，游戏者平均每次将获利或损失多少元？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 / 10 【巩固】用下图中两个转盘进行“配紫色”游戏分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小刚得1 分，否则小明得1 分这个游戏对双方公平吗？若你认为不公平，如何修改规则，才能使该游戏对双方公平呢？【巩固】小明和小刚改用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏配成紫色，小刚得1 分否则小明得1分，这个游戏对双方公平吗？为什么？【巩固】转动如图所示的转盘两次，每次指针都指向一个数字两次所指的数字之积是质数，游戏者A得 10 分；乘积不是质数，游戏者B得 1 分你认为这个游戏公平吗？如果你认为这个游戏不公平，你愿意做游戏者A还是游戏者B？为什么？你能设法修改游戏规则使得它对游戏双方都公平吗？【例 17】 小红的箱子中有4 副手套，完全相同，但左、右手不能互换，有一副是姑姑送的，两副是奶奶送的，还有一副是自己买的，她从中任拿一副，恰好是姑姑送的那副的概率是多少？【巩固】盒子里装着20 支圆珠笔，其中有5 支红色的， 7 支蓝色的， 8 支黑色的。从中随意抽出4 支，每种颜色的笔都被抽出的概率是多少？【例 18】、六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 / 10 为代表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？【巩固】还是上面的题干，如果每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概率为多少？【巩固】在一次军事演习中，进攻方决定对目标进行两次炮击。第一炮命中的概率是0.6 ，第二炮命中的概率是0.8. 请问：两炮都集中目标的概率是多少？恰好有一炮击中目标的概率是多少？两炮都未击中目标的概率是多少？【巩固】张先生每天早晨上班时有1/3的概率碰到堵车。在不堵车的时候，张先生按时到达单位的概率为 0.9 ，吃到的概率为0.1 ；而堵车的时候，张先生上班迟到的概率高达0.8 ，按时到达的概率只有 0.2. 请问：张先生上班迟到的概率是多少？【例 19】 某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少?【例 20】 设在独立重复3 次实验中，至少有一次实验成功的概率为，问每次实验成功的概率是多少？【例 21】 已知 10 件产品中有3 件次品，为了保证使3件次品全部检查出来的概率超过，则抽出来检验的产品最少有件【巩固】工厂质量检测部门对某一批次的件产品进行抽样检测，如果这件产品中有两件产品是次品，那么质检人员随机抽取件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？【例 22】 一批零件中有9 个合格品和3 个废品 ， 安装机器时 ， 从这批零件中随机选取一个，如果每次取出的废品不放回去，分别求在取得第一件合格品以前已取出件废品数的概率，1，2，3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 / 10 【例 23】 甲、乙、丙3 人投篮，投进的概率分别是，现三人各投篮一次，求3 人都没投进的概率现在3 人各投篮一次，求至少有两人投进的概率【巩固】某篮球运动员投球的命中率为，则他投球10 次，恰好连续投进5球的概率是多少？【例 24】 在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为，考试结束后，最容易出现几个人优秀？【巩固】在某次的考试中，甲、乙两人优秀（互不影响）的概率为，考试结束后，只有乙优秀的概率为多少？【巩固】有个同学在一起，小亮的年龄不是最小的，那么小亮年龄最大的可能性是【例 25】 甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物，事情是这样的：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止甲第一个取得礼物，然后，乙、丙、丁、戊依次取得第件到第件礼物，当然取法各种各样，那么共有种不同的取法事后他们打开这些礼物仔细比较，发现礼物最精美，那么取得礼物可能性最大的是，可能性最小的是【例 26】 从立方体的八个顶点中选个顶点，你能算出：它们能构成多少个三角形？随机取3 个顶点，这3个点构成正三角形的可能性有多少？【拓展】一个标准的五角星( 如图 ) 由个点连接而成，从这个点随机选取个点，则这三个点在同一条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？如果选取个点，则这四个点恰好构成平行四边形的概率为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 / 10 【巩固】从立方体的八个顶点中选个顶点，你能算出：它们能构成多少个三角形？随机取3 个顶点，这3 个点构成正三角形的可能性有多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页