精品 1题目题目得分得分一一二二三三四四五五六六七七八八名校真题名校真题测试卷测试卷 数论篇一数论篇一时间：时间： 1515 分钟分钟满分满分 5 5 分分姓名姓名_测试成绩测试成绩_1 1（1313年人大附中考题）年人大附中考题）有有_个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身个数字都能整除它本身2 2（1313 年年 101101 中学考题）中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的 9 9 倍，问倍，问这个两位数这个两位数是是3 3（1313 年首师附中考题）年首师附中考题）120250513131313+ + += =212121212121212121214 4（0404 年人大附中考题）年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的甲、乙、丙代表互不相同的3 3个正整数，并且满足：甲甲个正整数，并且满足：甲甲= =乙乙+ +乙乙= =丙135那么甲最小是丙135那么甲最小是_5( (0202 年人大附中考题年人大附中考题) )下列数不是八进制数的是下列数不是八进制数的是( )( )A A、125 B125 B、126 C126 C、127 D127 D、128128【附答案】【附答案】1 1【解】：【解】：6 62 2【解】解】 ： 设原来数为设原来数为abab， 这样后来的数为这样后来的数为a0b,a0b,把数字展开我们可得：把数字展开我们可得： 100a+b=9100a+b=9(10a+b),(10a+b),所以我们可以知道所以我们可以知道 5a=4b,5a=4b,所以所以 a=4,b=5,a=4,b=5,所以原来的两位数为所以原来的两位数为 45453 3【解】：周期性数字，每个数约分后为【解】：周期性数字，每个数约分后为12513+ + + +=1=121212121精品 14 4【解】：题中要求丙与【解】：题中要求丙与135135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+ +乙），这样我们乙），这样我们分解分解135=5135=53 33 33 3，所以丙最小应该是，所以丙最小应该是2 22 25 53 3，所以甲最小是：，所以甲最小是：2 23 33 35=905=905 5【解】：八进制数是由除以【解】：八进制数是由除以 8 8 的余数得来的，不可能出现的余数得来的，不可能出现 8 8，所以答案是，所以答案是 D D小升初专项训练小升初专项训练数论篇（一）数论篇（一）希望考入重点中学？奥数网是我们成就梦想的地方！一、小升初考试热点及命题方向一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理 由于行程题的类型较由于行程题的类型较多，多，题型多样，题型多样，变化众多，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼所以对学生来说处理起来很头疼 数论内容包括：数论内容包括：整数的整除性，整数的整除性，同余同余, ,奇数与偶数奇数与偶数, ,质数与合数质数与合数, ,约数与倍数约数与倍数, ,整数的分解与分拆等整数的分解与分拆等 作为一个理论性比较强作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜, ,不定方程等内容有着不定方程等内容有着密切的联系密切的联系, ,其重要性是不言而喻的其重要性是不言而喻的二、二、20122012 年考点预测年考点预测20122012 年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题则需综合运用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方方面的知识点，大题则需综合运用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方法，希望同学们全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题法，希望同学们全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键是关键三、基本公式三、基本公式1 1）已知）已知b|c,a|c,b|c,a|c,则则a,b|c,a,b|c,特别地，若特别地，若(a,b)=1,(a,b)=1,则有则有ab|cab|c 讲解练习讲解练习 ：若：若3a75b3a75b能被能被7272整除，问整除，问a=a=,b=,b=. .（迎春杯试题）（迎春杯试题）2 2）已知）已知c|abc|ab，(b,c)=1,(b,c)=1,则则c|ac|a3 3）唯一分解定理：任何一个大于）唯一分解定理：任何一个大于1 1的自然数的自然数n n都可以写成质数的连乘积，即都可以写成质数的连乘积，即n= p1n= p1a 1 p2 p2a2.p.pk kak（#)#)其中其中p1p2.pkp1p2.bcdabcd那么从小到大的第那么从小到大的第5 5个就是个就是dacb,dacb,它是它是5 5的倍数，因此的倍数，因此b=0b=0或或5 5，注意到，注意到bcd,bcd,所以所以b=5;b=5;从大到小排列的第从大到小排列的第2 2个是个是abdc,abdc,它是不能被它是不能被4 4整除的偶数；所以整除的偶数；所以c c是偶数，是偶数，c cb=5b=5，c=4c=4或或2 2从小到大的第二十个是从小到大的第二十个是adbc,adbc,第五个是第五个是dacb,dacb,它们的差在它们的差在3000-40003000-4000之间，所以之间，所以a=d+4a=d+4；因为因为ab,ab,所以所以a a至少是至少是6 6，那么，那么d d最小是最小是2 2，所以，所以c c就只能是就只能是4 4 而如果而如果d=2d=2，那么，那么abdcabdc的末的末2 2位是位是精品 12424，它是，它是4 4的倍数，和条件矛盾的倍数，和条件矛盾 因此因此d=3,d=3,从而从而a=d+4=3+4=7a=d+4=3+4=7这这2424个四位数中最大的一个显然是个四位数中最大的一个显然是abcd,abcd,我们求得了我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3a=7,b=5,c=4,d=3所以这所以这2424个四位数中最大的一个是个四位数中最大的一个是75437543【例【例2 2】（）一个】（）一个5 5位数，它的各个位数字和为位数，它的各个位数字和为4343，且能被，且能被1111整除，求所有满足条件整除，求所有满足条件的的5 5位数？位数？ 思路思路 ：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被1111整除，但我们发整除，但我们发现被现被1111整除性质的运用要具体的数字，整除性质的运用要具体的数字， 而现在没有，而现在没有， 所以我们选择先从数字和入手所以我们选择先从数字和入手【解】：【解】：5 5 位数数字和最大的为位数数字和最大的为 9 95=455=45，这样，这样4343 的可能性只有的可能性只有 9 9，9 9，9 9，9 9，7 7 或或 9 9，9 9，9 9，8 8，8 8 这样我们接着用这样我们接着用 1111 的整除特征，发现符合条件的有的整除特征，发现符合条件的有 9997999979，9799997999，9898998989 符合条件符合条件【例【例 3 3】（）由】（）由1 1，3 3，4 4，5 5，7 7，8 8 这六个数字所组成的六位数中，能被这六个数字所组成的六位数中，能被1111整除的最整除的最大的数是多少？大的数是多少？【解】：各位数字和为【解】：各位数字和为 1+3+4+5+7+8=281+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为所以偶数位和奇数位上数字和均为 1414为了使得该数最大，首位必须是为了使得该数最大，首位必须是 8 8，第，第 2 2 位是位是 7 7，14-8=614-8=6那么第那么第 3 3 位一定是位一定是 5 5，第，第 5 5 位为位为 1 1该数最大为该数最大为 875413875413 拓展拓展 ：一个三位数，它由：一个三位数，它由 0 0，1 1，2 2，7 7，8 8 组成，且它能被组成，且它能被 9 9 整除，问满足条件的总共有整除，问满足条件的总共有几个？几个？【例【例 4 4】（）一个学校参加兴趣活动的学生不到】（）一个学校参加兴趣活动的学生不到 100100 人，其中男同学人数超过总数的人，其中男同学人数超过总数的4/74/7 ，女同学的人数超过总数的，女同学的人数超过总数的 2/52/5问男女生各多少人？问男女生各多少人？【来源】：【来源】：1212 年理工附入学测试题年理工附入学测试题【解】：男生超过总数的【解】：男生超过总数的 4/74/7 就是说女生少个总数的就是说女生少个总数的 3/73/7，这样女生的范围在，这样女生的范围在 2/52/53/73/7 之之间，同理可得男生在间，同理可得男生在4/74/73/53/5 之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/7028/7030/7030/70之间，所以只能是之间，所以只能是 2929 人，这样男生为人，这样男生为 4141 人人2 2质数与合数（分解质因数）质数与合数（分解质因数）【例【例5 5】（）】（）20052005684684375375最后最后4 4位都是位都是0,0,请问里最小是几请问里最小是几? ?【解】：先分析【解】：先分析1 12 23 34 41010的积的末尾共有多少个的积的末尾共有多少个0 0 由于分解出由于分解出2 2的个数比的个数比5 5多，这多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5 5这个质因数这个质因数 而能分解出而能分解出5 5的一定的一定是是5 5的倍数的倍数 注意：注意：5 5的倍数能分解一个的倍数能分解一个5 5，2525的倍数分解出的倍数分解出2 2个个5 5，125125的倍数能分解的倍数能分解精品 1出出3 3个个5 5最终转化成计数问题，如最终转化成计数问题，如5 5的倍数有的倍数有10/5=210/5=2个个2005=52005=5401 684=2401 684=22 2171171 375=3 375=35 55 55 5前三个数里有前三个数里有2 2个质因子个质因子2 2，4 4个质因子个质因子5 5，要使得乘积的最后，要使得乘积的最后4 4位都位都是是0 0应该有应该有4 4个质因子个质因子2 2和和4 4个质因子个质因子5 5，还差，还差2 2个质因子个质因子 因此里最小是因此里最小是4 4 拓展拓展 ：20052005684684375375最后最后4 4位都是位都是0 0，且是，且是7 7的倍数，问里最小是的倍数，问里最小是_【例【例 6 6】 （）（）0303 年年 101101 中学招生人数是一个平方数，中学招生人数是一个平方数，0404 年由于信息发布及时，年由于信息发布及时，0404 年年的招生人数比的招生人数比 0303 年多了年多了 101101 人，也是一个平方数，问人，也是一个平方数，问 0404 年的招生人数？年的招生人数？【解】【解】 ：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设0303 年的为年的为 A A ，0404 年的为年的为B B ，从中我们发现，从中我们发现 0404 年的比年的比 0303 年多年多 101101 人，这样我们可以列式子人，这样我们可以列式子 B B - A- A =101=101此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，所以所以 B B - - A A = =（A+BA+B） （A-BA-B）=101=101，可见右边的数也要分成可见右边的数也要分成 2 2 个数的积，个数的积，还得考虑同奇偶性，还得考虑同奇偶性，但但 101101 是个质数，所以是个质数，所以101101 只能分成只能分成 1011011 1，这样，这样A+B=101A+B=101，A-B=1A-B=1，所以，所以A=50A=50，B=51B=51，所，所以以 0404 年的招生人数为年的招生人数为 515151=260151=2601 拓展拓展 ：一个数加上：一个数加上 1010，减去，减去 1010 都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）3 3约数和倍数约数和倍数【例【例7 7】（）从一张长】（）从一张长20022002毫米，宽毫米，宽847847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形的正方形 按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？【解】【解】 ：边长是：边长是20022002和和847847的最大公约数，可用辗转相除法求得的最大公约数，可用辗转相除法求得 （2002,8472002,847）=77=77所以最后剪得的正方形的边长是所以最后剪得的正方形的边长是7777毫米毫米辗转相除示例：辗转相除示例：20022002847=2847=2308308求求2 2个数的最大公约数，就用大数除以小数个数的最大公约数，就用大数除以小数847847308=2308=2231231用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止308308231=1231=17777用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止23123177=377=3最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数【例【例8 8】（）一根木棍长】（）一根木棍长100100米，现从左往右每米，现从左往右每6 6米画一根标记线，从右往左每米画一根标记线，从右往左每5 5米作米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4 4米？米？【解】：【解】：100100能被能被5 5整除，所以每整除，所以每5 5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的 这样我们这样我们都以从左往右作，都以从左往右作，可见转化成讨论可见转化成讨论5 5，6 6的最小公倍数中的情况，的最小公倍数中的情况，画图可得有画图可得有2 2根距离为根距离为4 4米，米，所以所以3030，6060，9090里各有里各有2 2条，但发现最后条，但发现最后9696和和100100也是距离也是距离4 4米，所以总共米，所以总共2 23+1=73+1=7 拓展拓展 ：在一根长木棍上，有三种刻度线：在一根长木棍上，有三种刻度线. .第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份. .如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？被锯成多少段？222222精品 1【例【例 9 9】（）】（）1 1、2 2、3 3、4 420082008 这这 20082008 个数的最小公倍数等与多少个个数的最小公倍数等与多少个 2 2 与一个奇数与一个奇数的积？的积？【解】：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除【解】：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除 2 2 以外都是奇数以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要多少个质因数，可见我们只要找需要多少个 2 2，所以只要看，所以只要看 1 120082008 中中 2 2n n 谁最大，可见谁最大，可见 2 210=102410=1024，所以为，所以为 1010 个个 2 2【例【例1010】（）有】（）有1515位同学，每位同学都有编号，它们是位同学，每位同学都有编号，它们是1 1号到号到1515号号 1 1号同学写了一号同学写了一个自然数，个自然数，2 2号说：“这个数能被号说：“这个数能被2 2整除”，整除”，3 3号说“这个数能被号说“这个数能被3 3整除”，依次下去，整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1 1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（说得不对，其余同学都对，问：（1 1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（数？（2 2）如果告诉你，）如果告诉你，1 1号写的数是五位数，请求出这个数号写的数是五位数，请求出这个数 （写出解题过程）（写出解题过程）【解】：【解】：1 1）首先可以断定编号是）首先可以断定编号是2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7号的同学说的一定都对号的同学说的一定都对 不然，其中说不然，其中说的不对的编号乘以的不对的编号乘以2 2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合对”不符合 因此，这个数能被因此，这个数能被2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7都整除都整除其次利用整除性质可知，这个数也能被其次利用整除性质可知，这个数也能被2 25 5，3 34 4，2 27 7都整除，即编号为都整除，即编号为1010，1212，1414的的同学说的也对同学说的也对 从而可以断定说的不对的编号只能是从而可以断定说的不对的编号只能是8 8和和9 92 2）这个数是）这个数是2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，1010，1111，1212，1313，1414，1515的公倍数的公倍数由于上述十二个数的最小公倍数是由于上述十二个数的最小公倍数是6006060060因为因为 6006060060 是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以 1 1 号同学写的数号同学写的数就是就是 60060600604 4数论的综合题型数论的综合题型【例【例 1111】（）某住宅区有】（）某住宅区有 1212 家住户，他们的门牌号分别是家住户，他们的门牌号分别是 1 1，2 2，,12.,12.他们的电他们的电话号码依次是话号码依次是 1212 个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于知这些电话号码的首位数字都小于 6 6， 并且门牌号是并且门牌号是 9 9 的这一家的电话号码也能被的这一家的电话号码也能被 1313 整除，整除，问：这一家的电话号码是什么数？问：这一家的电话号码是什么数？【解】：【解】：设第一户电话号是设第一户电话号是 x+1,x+1,第二户第二户 x+2,x+2,. .第第 1212 户电话号户电话号 x+12x+12根据条件得根据条件得 x+ix+i 是是 i i 的倍数的倍数(i=1,2,(i=1,2,12),12)因此因此 x x 是是 1 1，2 2，.12.12 的公倍数的公倍数1,2,1,2,.12=27720.12=27720所以所以 x=27720mx=27720m27720m+927720m+9 是是 1313 的倍数，的倍数，2772027720 除以除以 1313 余数为余数为 4 4所以所以 4m+94m+9 是是 1313 的倍数的倍数 m=1,14,27m=1,14,27. .第一家电话号码是第一家电话号码是 27720m+127720m+1mm 取取 1414 合适；合适；因此第一家电话号码是因此第一家电话号码是 27720*14+1=38808127720*14+1=388081 拓展拓展 ：写出连续的写出连续的 1111个自然数，个自然数，要求第要求第 1 1 个是个是 2 2 的倍数，的倍数，第二个是第二个是 3 3 的倍数第的倍数第 1111个是个是精品 11212 的倍数？的倍数？【例【例1212】（）有】（）有1515位同学，每位同学都有编号，它们是位同学，每位同学都有编号，它们是1 1号到号到1515号号 1 1号同学写了一号同学写了一个自然数，个自然数，2 2号说：“这个数能被号说：“这个数能被2 2整除”，整除”，3 3号说“这个数能被号说“这个数能被3 3整除”，依次下去，整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1 1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（说得不对，其余同学都对，问：（1 1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（数？（2 2）如果告诉你，）如果告诉你，1 1号写的数是五位数，请求出这个数号写的数是五位数，请求出这个数 （写出解题过程）（写出解题过程）【解】：【解】：1 1）首先可以断定编号是）首先可以断定编号是2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7号的同学说的一定都对号的同学说的一定都对 不然，其中说不然，其中说的不对的编号乘以的不对的编号乘以2 2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合对”不符合 因此，这个数能被因此，这个数能被2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7都整除都整除其次利用整除性质可知，这个数也能被其次利用整除性质可知，这个数也能被2 25 5，3 34 4，2 27 7都整除，即编号为都整除，即编号为1010，1212，1414的的同学说的也对同学说的也对 从而可以断定说的不对的编号只能是从而可以断定说的不对的编号只能是8 8和和9 92 2）这个数是）这个数是2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，1010，1111，1212，1313，1414，1515的公倍数的公倍数由于上述十二个数的最小公倍数是由于上述十二个数的最小公倍数是6006060060因为因为 6006060060 是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以 1 1 号同学写的数号同学写的数就是就是 6006060060小结小结本讲主要接触到以下几种典型题型：本讲主要接触到以下几种典型题型：1 1）数的整除）数的整除参见例参见例 1 1，2 2，3 3，4 42 2）质数与合数（分解质因数）质数与合数（分解质因数） 参见例参见例 5 5，6 63 3）约数和倍数）约数和倍数参见例参见例 7 7，8 8，9 9，10104 4）数论的综合题型）数论的综合题型参见例参见例 1111，1212【课外知识】【课外知识】打开另一扇心窗打开另一扇心窗很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩莉莉蒂雅自小双目失明，但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信蒂雅自小双目失明，但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信心和希望心和希望 稍稍长大后，她像常人一样劳动，靠卖花自食其力稍稍长大后，她像常人一样劳动，靠卖花自食其力不久，维苏威火山爆发，庞贝不久，维苏威火山爆发，庞贝城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中 浓密的火山灰，遮掩了太阳、月亮浓密的火山灰，遮掩了太阳、月亮和星星，大地一片漆黑和星星，大地一片漆黑 黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人们好像生黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人们好像生活在人间的地狱中活在人间的地狱中 莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖花，对城市的各莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖花，对城市的各条道路了如指掌条道路了如指掌 她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许多她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许多市民市民后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中精品 1启迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富启迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富 不要总以为自己是最不要总以为自己是最倒霉的倒霉的 其实，其实， 上苍很公平上苍很公平 有时候，有时候， 命运向你关闭这一心窗的同时，命运向你关闭这一心窗的同时， 又为你开启了另一心窗，又为你开启了另一心窗，同样可以享受人生的快乐同样可以享受人生的快乐作业题作业题（注：作业题（注：作业题-例题类型对照表，供参考）例题类型对照表，供参考）题题 1 1，4 4类型类型 1 1；题；题 2 2，6 6类型类型 3 3；题；题 3 3，5 5，8 8类型类型 2 2；题；题 7 7类型类型 2 21 1 （）在（）在 1 1100100 这这 100100 个自然数中，所有不能被个自然数中，所有不能被 9 9 整除的数的和是多少？整除的数的和是多少？解：解：1+2+1+2+100=5050+100=5050 9+18+27+ 9+18+27+99=9+99=9(1+2+(1+2+11)=495+11)=495随意随意 1-1001-100 中所有不能被中所有不能被 9 9 整除的数的和是整除的数的和是 5050-495=45555050-495=45552 2 （）某班学生不超过（）某班学生不超过 6060 人，在一次数学测验中，分数不低于人，在一次数学测验中，分数不低于 9090 分的人数占分的人数占80808989 分的人数占分的人数占解：有解：有1，得，得711，得，得 70707979 分得人数占分得人数占，那么得，那么得 7070 分以下的有分以下的有_人人23111、，说明总人数一定为，说明总人数一定为 7 7 的倍数、的倍数、2 2 的倍数、的倍数、3 3 的倍数，故为的倍数，故为77、2 2、337234242 的倍数；的倍数；又由于人数不超过又由于人数不超过 6060 人，故这班的人数只能为人，故这班的人数只能为 4242 人人从而从而 7070 分以下的有：分以下的有：424211111 1 人人7233 3 （）自然数（）自然数 N N 是一个两位数，它是一个质数，而且是一个两位数，它是一个质数，而且 N N 的个位数字与十位数字都是质的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有数，这样的自然数有_个个解：枚举法：解：枚举法：2323，3737，5353，7373， ，有，有 4 4 个个4. 4. （）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的（）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？解：这三个自然数最小是解：这三个自然数最小是 6 6，1010，1515（分别是（分别是 2 23,23,25,35,35 5）和的最小值为和的最小值为 31315 5、 （）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数（）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方）的三次方） ，这样一组数中的最大数的最小值是多少？，这样一组数中的最大数的最小值是多少？精品 1解：设中间一个数为解：设中间一个数为 2x2x那么那么 5 5 个数的和为个数的和为 10x=m210x=m2中间中间 3 3 个数的和为个数的和为 6x=n36x=n3设设 x=2px=2p 3q3q 5r5r再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是他的各个质因子的幂都是 3 3 的倍数可以求得的倍数可以求得 p=5,q=2,r=3p=5,q=2,r=3X=36000X=36000因此所求为因此所求为 2x+4=720042x+4=720046 6、 （）一个数减去（）一个数减去 100100 是一个平方数，减去是一个平方数，减去 6363 也是一个平方数，问这个是多少？也是一个平方数，问这个是多少？解：解：A A -B-B = =（A+BA+B） （A-BA-B）=37=37=37=371 1，考虑同奇偶性，可知，考虑同奇偶性，可知 A=19A=19，B=18B=18，这样这个数，这样这个数为为 4614617 7、 （）（） 从左向右编号为从左向右编号为 1 1 至至 19911991 号的号的 19911991 名同学排成一行名同学排成一行 从左向右从左向右 1 1 至至 1111 报数，报数，报数为报数为 1111 的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右 1 1 至至 1111 报数，报报数，报数为数为 1111 的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右 1 1 至至 1l1l 报数，报到报数，报到 1111的同学留下，其余同学出列那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是的同学留下，其余同学出列那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第 4 4 题题【解】【解】第一次报数后留下的同学，第一次报数后留下的同学， 他们最初编号都是他们最初编号都是 1111 的倍数；的倍数；第二次报数后留下的同学，第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是他们最初编号都是11=121=121 的倍数；的倍数； 第三次报数后留下的同学，第三次报数后留下的同学， 他们最初编号都是他们最初编号都是11=1331=1331的倍数因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是的倍数因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是133113318 8、 （）（）有有 19971997 个奇数，它们的和等于它们的乘积其中只有三个数不是个奇数，它们的和等于它们的乘积其中只有三个数不是 l l，而是三，而是三个不同的质数那么，这样的三个质数可以是个不同的质数那么，这样的三个质数可以是、【解】设【解】设 a a、b b、c c 为三个不同的质数，根据题意为三个不同的质数，根据题意 1994+a+b+C=a 1994+a+b+C=ab bc c取取 a=3a=3，b=5b=5，得，得 1994+3+5+c=15c1994+3+5+c=15c，解出，解出 c=143c=143 不是质数；不是质数；取取 a=3a=3，b=7b=7，得，得 1994+3+7+c=21c1994+3+7+c=21c，解出，解出 c=c=501不是整数；不是整数；5取取 a=5a=5，b=7b=7，得，得 1994+5+7+c=35C1994+5+7+c=35C，解出，解出 c=59c=59故故 5 5、7 7、5959 是满足题意的三个质数是满足题意的三个质数2322