5 5 实数的完备性实数的完备性 CauchyCauchy收敛定理收敛定理 : . 极限定义回顾极限定义回顾一、柯西基本列定义定义5.15.1或叙述为或叙述为:或者用符号表述为或者用符号表述为例例1.1.证明：证明：例2.证明证明：所以不是基本列所以不是基本列二、列紧性定理定理定理5 5.1.1任意有界数列中必可造出收敛子列任意有界数列中必可造出收敛子列. .证明：证明： （二分法：）（二分法：）由闭区间套定理和夹逼定理：由闭区间套定理和夹逼定理：三、柯西收敛准则定理定理2 2：证明：证明：. 由例由例1 1：由例由例2 2：注：Cauchy收敛准则是判断数列收敛的重要方法例例4 4：若数列满足下面情况，判断是否收敛若数列满足下面情况，判断是否收敛解：(1)不一定，例如例2中(2)(2)结论成立，证明如下结论成立，证明如下例例5.5.证法证法1 1：证法证法2 2：不单调不单调存在存在固有 u Cauchy Cauchy收敛定理表明收敛定理表明, ,由实数构成的基本列必存在由实数构成的基本列必存在 实数极限实数极限, ,这一性质我们称之为实数系统的完备性这一性质我们称之为实数系统的完备性. .u 有理数集合不具备这一性质有理数集合不具备这一性质, , 例如有理数列例如有理数列 其极限为无理数其极限为无理数. 实数系完备性的进一步解释实数系完备性的进一步解释思考题思考题：用闭区间套定理证明柯西收敛定理用闭区间套定理证明柯西收敛定理.四、小结列紧性定理列紧性定理柯西基本定理柯西基本定理柯西基本列柯西基本列柯西（柯西（ CauchyCauchy，A. L., 1789-1857A. L., 1789-1857），），法国数学家，在数学领域，有很高的建法国数学家，在数学领域，有很高的建树和造诣包括：无穷级数的收敛性和发树和造诣包括：无穷级数的收敛性和发散性，实变和复变函数论，微分方程、散性，实变和复变函数论，微分方程、行列式、概率和数学物理方程的研究行列式、概率和数学物理方程的研究. .柯西是数学分析严密化的创始人之一柯西是数学分析严密化的创始人之一. .