2.3 2.3 变量的极限和极限的性质变量的极限和极限的性质12.3.1 2.3.1 变量的极限变量的极限注注 只有对所有的极限过程都成立时才使用只有对所有的极限过程都成立时才使用记号记号只对某个具体极限过程成立时必须写明极限只对某个具体极限过程成立时必须写明极限过程。比如过程。比如22.3.2.2.3.2.极限的性质极限的性质3性质性质1 1( (唯一性唯一性) )数列极限的性质数列极限的性质证证用反证法用反证法. . ab4矛盾，矛盾，惟一性得证。惟一性得证。ab5性质性质2 (2 (局部保号性局部保号性) )证证67性质性质3 3（有界性）（有界性） 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证89注注1 1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件分条件.注注2 2 无界数列必定发散无界数列必定发散. .有界数列不一定收敛有界数列不一定收敛. .10函数极限的基本性质函数极限的基本性质性质性质1 1 函数极限的唯一性函数极限的唯一性证略证略11注：注：仅在仅在x0的某一去心邻域内成立的某一去心邻域内成立. .性质性质2局部保号性定理局部保号性定理(或或 A0(或或 f(x)0, 当当x Uo(x0, )时时, 恒有恒有 f(x)012证证即即0=A Af(x)A+A成立成立.取取 =A, 则则|f(x) A|A(= ), 推论推论1注意注意13性质性质3 3 局部局部有界性有界性证证15