二节单向分组资料方差分析Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望 设有设有K个处理，每处理均有个处理，每处理均有n个供试单位的资料，其方差个供试单位的资料，其方差分析表为：分析表为：方差分析表方差分析表变异来源自由度DF平方和SS均方MSF值处理间K-1SStSt2St2/ Se2误差K(n-1)SSeSe2总变异nK-1SST第二节第二节 单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析1. 组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析1.1 单向分组资料方差分析数据的基本模式单向分组资料方差分析数据的基本模式组别组别12in总和总和平均平均均方均方1.J.kX11X12X1jX1nX21X22X2jX2nXi1Xi2XijXinX1nX2nXjnXknT1T2TiTk表表 每组具每组具n个观察值的个观察值的k组样本的符号表组样本的符号表1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析上述资料的自由度和平方和的分解式为：上述资料的自由度和平方和的分解式为：总自由度组间自由度总自由度组间自由度 组内自由度组内自由度 （nk-1）（）（k1）+ k(n-1)总平方和组间平方和总平方和组间平方和 组内平方和组内平方和计算公式1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析 总变异是总变异是nk个观察值的变异，平方和个观察值的变异，平方和SST为：为：式中，式中，C 称为矫正数。称为矫正数。总平方和总平方和 (SST)1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析 组内的变异为各组内观察值与组平均数的相差，故每组组内的变异为各组内观察值与组平均数的相差，故每组具有具有n1个自由度，平方和为个自由度，平方和为 ，而总共有，而总共有k 组资料，组资料，故组内自由度为故组内自由度为k（n1），而组内平方和），而组内平方和SSe为：为： 组间变异即组间变异即k个平均数的变异，故其自由度为个平均数的变异，故其自由度为k1，平方，平方和和 SSt 为：为：1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析均方的计算：均方的计算：总均方：总均方：组间均方：组间均方：组内均方：组内均方：1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析方差分析表方差分析表变异来源平方和SS自由度DF均方MSF值处理间SStK-1St2St2/ Se2处理内/误差SSeK(n-1)Se2总变异SSTnk-11.2 例题例题：以A、B、C、D4种药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理得4个苗高观察值，结果如下表，试进行自由度和平方和的分解，并测验药剂间变异是否显著大于药剂内变异？表 水稻不同药剂处理的苗高假设假设：H0：12 22 ；HA： 12 22 。显著水平显著水平：0.05, DF1=3, DF2=12时, F0.05,(3,12)3.49。药剂ABCD18212013202426221015171428272932总和729256116T336平均数18231429211.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析a.a.分解自由度分解自由度总自由度总自由度组间自由度组间自由度 组内自由度组内自由度 (nk-1)=(k-1)+ k(n-1) 441（41）4（41） 15 3 12b.b.分解和平方和分解和平方和：组间平方和组间平方和x2=182+202+212+322=623 C=3361621SST=623-21=602(722+922+562+1162)421504组内平方和组内平方和(SSe)总平方和组间平方和总平方和组间平方和60250498 总平方和总平方和计算过程：计算过程：1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析C.C.计算均方计算均方6021540.13组间均方组间均方组内均方组内均方总均方总均方5043168.098128.171.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析方差分析表方差分析表平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F(3,12) F0.05SSt=504 3 St2=504/3=168 St2/ Se2=20.56* 3.49SSe=SST-SSt=98 12 Se2=98/12=8.17 F0.01SST=602 15 ST2=602/15=40.13 5.74变异来源自由度DF 平方和SS 均方MSF值处理间K-1SStSt2= SSt/df1F=St2/ Se2误差K(n-1)SSeSe2= Sse/df2总变异nk-1SSTd.d.计算计算F F值（列出方差分析表）值（列出方差分析表）1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析计算平均数的标准误采用新复极差法，查SSR表，自由度为12时平均数大小排序、比较e.e.多重比较多重比较p234SSR0.053.08 3.23 3.33SSR0.014.32 4.55 4.68LSR0.054.40 4.62 4.76LSR0.016.18 6.51 6.69处理 苗高 显著性 0.05 0.01 D 29 a A B 23 b AB A 18 c BC C 14 c Cf.f.结论结论 本试验中不同处理间有极显著差异（本试验中不同处理间有极显著差异（F F值值20.56F.01值（值（5.47），其中在，其中在.05.05水平上水平上D D处理与其他处理有显处理与其他处理有显著差异，著差异，B B处理与处理与A A、C C处理有显著差异。处理有显著差异。 在在.01.01水平水平D D处理与处理与A A、C C处理间有显著差异，处理间有显著差异，B B处理与处理与C C处理有显著处理有显著差异。其他处理间差异均不显著。差异。其他处理间差异均不显著。1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析2、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析其方差分析表为：其方差分析表为：方差分析表方差分析表变异来源自由度DF平方和SS均方MSF值处理间K-1St2St2/ Se2误差ni-k Se2总变异ni-1 x2-C 第二节第二节 单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析 设有设有K个处理，每处理中的观察值数目分别为个处理，每处理中的观察值数目分别为n1，n2, , nk的资料，其数据类型如表：的资料，其数据类型如表：123212024292522242528222325252921303126272426262021例：调查调查4种不同类型的水稻田种不同类型的水稻田28块，每田稻纵卷叶螟的百块，每田稻纵卷叶螟的百丛虫口密度如表，问不同类型田的虫口密度有无差异？丛虫口密度如表，问不同类型田的虫口密度有无差异？表表 4块稻田的虫口密度块稻田的虫口密度12341214 9121310 21114111010151311 9151412 81611131017121211Ti102738072 T=32714.5712.1710.010.29ni 7 6 8 7 N=28a.a.分解自由度分解自由度总自由度总自由度28-1=27处理间自由度处理间自由度k-1=3处理内自由度处理内自由度27324b.b.计算平方和计算平方和C3272283 818.89SST=x2-C =4 045-3 818.89=226.11SSt= 1022/7+732/6+802/8+722/7-C =96.13SSe=SST-SSt=129.982、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析C.C.计算均方计算均方226.111540.13组间均方组间均方组内均方组内均方总均方总均方96.13332.04129.98245.422、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析方差分析表方差分析表平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F F0.01SSt=96.13 3 St2=96.13/3=32.04 St2/ Se2=5.91* 4.72SSe=129.98 24 Se2=129.98/24=5.42SST=226.11 27变异来源自由度DF 平方和SS 均方MSF值处理间K-1SStSt2= SSt/df1F=St2/ Se2误差K(n-1)SSeSe2= Sse/df2总变异nk-1SSTd.d.计算计算F F值（列出方差分析表）值（列出方差分析表）2、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析计算平均数的标准误采用新复极差法，查SSR表，自由度为12时平均数大小排序、比较e.e.多重比较多重比较p234SSR0.053.08 3.23 3.33SSR0.014.32 4.55 4.68LSR0.052.71 2.84 2.93LSR0.013.80 4.00 4.12处理处理 虫口密度虫口密度 显著性显著性 0.05 0.01 A 14.57 a A B 12.17 ab AB D 10.29 b B C 10.0 b B 计算新的n0值，2、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析处理处理 虫口密度虫口密度 显著性显著性 0.05 0.01 A 14.57 a A B 12.17 ab AB D 10.29 b B C 10.0 b Bf.f.结论结论 本试验中不同处理间有极显著差异本试验中不同处理间有极显著差异(F=5.91F(F=5.91F.01.01(4.72)(4.72)，其中在，其中在.05.05和和.01.01水平水平上第上第1 1块田与第块田与第3 3、4 4田的虫口密度有显著差异，田的虫口密度有显著差异，其他处理间差异均不显著。其他处理间差异均不显著。2、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析3、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析 假设某系统资料共有假设某系统资料共有L组，每组内又分为组，每组内又分为m个亚组，每个亚组，每一个亚组内有一个亚组内有n个观察值的资料见下表。个观察值的资料见下表。组别组别12iL亚组亚组12jmXi11Xi12.Xi1k.xi1nXi21Xi22.Xi2k.Xi2nXij1Xij2.Xijk.XijnXim1Xim2.Ximk.XimnTijTi1Ti2TijTimTiT1T2TiTLT表表 组内分亚组的组内分亚组的lmn个观察值个观察值第二节第二节 单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析方差分析表方差分析表变异来源变异来源自由度自由度DF平方和平方和SS均方均方MSF值值组间组间L-1St2St2/ Se12组内亚组间组内亚组间L(m-1)Se12Se12/ Se22亚组内亚组内Lm(n-1)Se22总变异总变异Lmn-13、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析 这种组内又分亚组的单向分组资料简这种组内又分亚组的单向分组资料简称称系统分组资料系统分组资料。能够获得此类资料的试。能够获得此类资料的试验设计成为验设计成为巢式设计（巢式设计（Nested design）。例例 在温室内以在温室内以4种培养液培养某作物，每种种培养液培养某作物，每种3盆，每盆盆，每盆4株，株，一个月后测定其株高生长量，结果见表，试作方差分析。一个月后测定其株高生长量，结果见表，试作方差分析。培养液培养液ABCD总和总和盆号盆号A1A2A3B1B2B3C1C2C3D1D2D3生长量生长量505540353535304045404050504550455560505055456555856090856570806570707070605535706085457565658575L=4m=3n=4 Tij180140175190215220320280280220265290 Ti495625880775T=277541.352.173.364.6表表 4种培养液下的株高增长量种培养液下的株高增长量3、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析假设：假设：H0：Kt20；HA：Kt2 0 （培养液间）。（培养液间）。显著水平：显著水平：0.05。a. 自由度的分解结果见下表自由度的分解结果见下表。b. 平方和的分解平方和的分解变异来源变异来源自由度自由度DF培养液间培养液间L-1=3培养液内盆间培养液内盆间L(m-1)=8盆内株间盆内株间Lm(n-1)36总变异总变异Lmn-1=473、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析L=4、m=3、n=4总变异平方和总变异平方和培养液间平方和培养液间平方和培养液间平方和培养液间平方和(4952+6252+88027752)(34)C167 556.25-C=7 126.56培养液内盆间间平方和培养液内盆间间平方和盆内植株间平方和盆内植株间平方和=(1802+1402+2902)/4167 556.25=168 818.75167 556.25=1 262.50=172 025-168 818.75=3 206.25c. 计算均方计算均方培养液间培养液间 MStSSt/(L-1)= 7 126.563=2375.52培养液内盆间培养液内盆间MSe1SSe1 /L(m-1)= 1 262.508=157.8 盆内植株间盆内植株间 MSe2SSe2/ Lm(n-1)= 3 206.253689.063变异来源变异来源自由度自由度DF平方和平方和SS均方均方MSF值值F0.05培养液间培养液间L-1=371272375.515.04.07培养液内盆间培养液内盆间 L(m-1)=81262157.81.82.22盆内株间盆内株间Lm(n-1)36320689.1总变异总变异Lmn-1=4711595方差分析表方差分析表d.计算计算F值（列出方差分析表）值（列出方差分析表）P234SSR0.053.263.393.47LSR0.0511.8312.3112.60表表 4种培养液的种培养液的LSR值值3、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析4种培养液植株生长量的差异显著性种培养液植株生长量的差异显著性培养液培养液平均生长量平均生长量差异显著性差异显著性C73.3aD64.6aB52.1 bA41.3 be.e.多重比较多重比较结论：结论：培养液间的生长量有显著的差异培养液间的生长量有显著的差异(F=15.0F.05值值(4.07)，而同一培养液内各盆间的生长量无显著差异。，而同一培养液内各盆间的生长量无显著差异。多重比较结果表示，多重比较结果表示，A、B处理与处理与C、D处理之间有处理之间有显著差异。显著差异。3、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析第三节第三节 两向分组资料的方差分析两向分组资料的方差分析1、组合内只有单个观察值的两向分组资料、组合内只有单个观察值的两向分组资料2、组合内有重复观察值的两向分组资料、组合内有重复观察值的两向分组资料 按两个因素交叉分组的试验资料称为两向分组资料。如选用几种温度和几种培养基培养某病原真菌，以研究其生长速率，其每一个观察值都是某一温度和某一培养基组合同时作用的结果，属两向分组资料。1、组合内只有单个观察值的两向分组资料、组合内只有单个观察值的两向分组资料 设有A和B两个因素，A因素有a个处理，B因素有b个处理，每一个处理组合仅有1个观察值，则全试验共有ab个观察值，其资料类型如下表。A因素B因素Ti.B1B2BbA1X11X12X1bT1.A2X21X22X2bT2.AaXa1Xa2XabTa.T.jT.1T.2T.bT.表 完全随机设计的二因素试验每处理组合只有一个观察值资料第三节第三节 两向分组资料的方差分析两向分组资料的方差分析方差分析表方差分析表变异来源变异来源自由度自由度DF平方和平方和SS均方均方MSF值值A因素因素a1SA2SA2/ Se2B因素因素b1SB2SB2/ Se2误差误差(a1)(b 1)Se2总变异总变异ab11、组合内只有单个观察值的两向分组资料、组合内只有单个观察值的两向分组资料 在上述资料中，如果存在在上述资料中，如果存在A与与B的互作，则与的互作，则与误差混淆，无法分析互作，因此不能取得合理的试误差混淆，无法分析互作，因此不能取得合理的试验误差估计。只有验误差估计。只有AB互作不存在时，才能正确估计互作不存在时，才能正确估计误差。但在田间试验中，上述方差分析却是常见的。误差。但在田间试验中，上述方差分析却是常见的。因为在随机区组试验中，处理可以看作因为在随机区组试验中，处理可以看作A因素，区因素，区组可以看作组可以看作B因素；而区组效应是随机模型，处理因素；而区组效应是随机模型，处理和区组的互作在理论上是不存在的，但这种试验设和区组的互作在理论上是不存在的，但这种试验设计的误差项自由度一般不应小于计的误差项自由度一般不应小于12。1、组合内只有单个观察值的两向分组资料、组合内只有单个观察值的两向分组资料 例 用生长素处理豌豆，共6个处理。豌豆种子发芽后，分别在每一个木箱中移栽4株，每组6箱，每箱一个处理。试验共4组24箱。试验时按组编排于温室中，使同组各箱的环境温度条件一致。记录第一朵花时4株豌豆的总节间数，结果见下表。试作方差分析。处理A组BTi.平均IIIIIIIV对照6062616024360.8赤霉素6565686526365.8动力精6361616024561.3IAA6467636125563.8硫酸腺嘌呤6265626425363.3马莱酸6162626525062.5T.j3753823773751509表 生长素处理豌豆的试验结果1、组合内只有单个观察值的两向分组资料、组合内只有单个观察值的两向分组资料方差分析表方差分析表变异来源变异来源 自由度自由度DF 平方和平方和SSMSF值值组间组间35.451.821处理间处理间565.8713.17 4.52误差误差1543.302.89总变异总变异23114.62推断：推断：组间环境条件无显著差异，不同生长素处理有显著差异。组间环境条件无显著差异，不同生长素处理有显著差异。1、组合内只有单个观察值的两向分组资料、组合内只有单个观察值的两向分组资料处理与对照比较：处理与对照比较：1、组合内只有单个观察值的两向分组资料、组合内只有单个观察值的两向分组资料处理平均数与对照的差数对照60.8赤霉素65.85.0*动力精61.30.5IAA63.83.0*硫酸腺嘌呤63.32.5马莱酸62.51.7表 豌豆生长素处理后始花时的节间数（4株总和）1、组合内只有单个观察值的两向分组资料、组合内只有单个观察值的两向分组资料A因素B因素Ti.B1B2BbA1X111X112X11nX121X122X12nX1b1X1b2X1bnT1.A2X211X212X21nX221X222X22nX2b1X2b2X2bnT2.AaXa11Xa12Xa1nXa21Xa22Xa2nXab1Xab2XabnTa.T.j.T.1.T.2.T.b.T表 完全随机设计的二因素试验每处理组合有n个观察值资料 设有设有A和和B两个两个因素，因素，A因素有因素有a个个处理，处理，B因素有因素有b个个处理，每一个处理处理，每一个处理组合有组合有n个观察值，个观察值，则全试验共有则全试验共有abn个个观察值，其资料类观察值，其资料类型如下表。型如下表。2、组合内有重复观察值的两向分组资料、组合内有重复观察值的两向分组资料第三节第三节 两向分组资料的方差分析两向分组资料的方差分析方差分析表方差分析表变异来源变异来源自由度自由度DF平方和平方和SSMSA因素因素a1SA2B因素因素b1SB2AB互作互作(a1)(b 1)SAB2误差误差ab（n1）Se2总变异总变异abn12、组合内有重复观察值的两向分组资料、组合内有重复观察值的两向分组资料各变异来源的期望均方各变异来源的期望均方变异来源变异来源MS期望均方（期望均方（EMS）固定模型固定模型随机模型随机模型A随机，随机，B固定固定A因素因素SA2B因素因素SB2AB互作互作SAB2误差误差Se22、组合内有重复观察值的两向分组资料、组合内有重复观察值的两向分组资料 对于对于2因素试验，如果皆为固定模因素试验，如果皆为固定模型而且又未能确定因素间有无互作，型而且又未能确定因素间有无互作，就必须使各处理组合有重复观察值。就必须使各处理组合有重复观察值。否则，互作和试验误差混杂，无法正否则，互作和试验误差混杂，无法正确估计。确估计。2、组合内有重复观察值的两向分组资料、组合内有重复观察值的两向分组资料例 施用A1，A2，A3三种肥料于B1，B2，B3三种土壤，以小麦为指示作物，每处理组合种3盆，得产量见下表。试作方差分析。肥料（A）盆土壤（B）B1B2B3A1121.419.617.6221.218.816.6320.116.417.5A2112.013.013.3214.213.714.0312.112.013.9A3112.814.212.0213.813.614.6313.713.314.0表 3种肥料施于3种土壤的小麦产量2、组合内有重复观察值的两向分组资料、组合内有重复观察值的两向分组资料方差分析表方差分析表变异来源变异来源DFSSMSFF0.01肥类间肥类间2179.4589.7396.86.01土类间土类间23.961.982.136.01肥类肥类土类土类419.174.795.164.58试验误差试验误差1816.700.928总变异总变异26219.282、组合内有重复观察值的两向分组资料、组合内有重复观察值的两向分组资料以固定模型作以固定模型作F测验：测验：假设H0：()ij0，计算得F4.79/0.928=5.16；假设H0：i0，计算得F89.73/0.928=96.8；假设H0：j0，计算得F1.98/0.928=2.13；所以该试验肥类土类的互作，肥类的效应都是极显著的，而土类间无显著差异。2、组合内有重复观察值的两向分组资料、组合内有重复观察值的两向分组资料多重比较：多重比较：1、各肥类平均数的比较、各肥类平均数的比较P23SSR0.052.973.12SSR0.014.074.27LSR0.050.951.00LSR0.011.301.37表 LSR值2、组合内有重复观察值的两向分组资料、组合内有重复观察值的两向分组资料肥料种类肥料种类平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.01A118.8aAA213.6bBA313.1bB表表 各肥类平均数的新复极差测验各肥类平均数的新复极差测验2、组合内有重复观察值的两向分组资料、组合内有重复观察值的两向分组资料