第五讲 二次函数的最值问题二次函数2 (0)yaxbxc a是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当0a时，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用【例 1】当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值分析： 作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值解： 作出函数的图象当1x时，min4y，当2x时，max5y【例 2】当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值解： 作出函数的图象当1x时，min1y，当2x时，max5y由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内， 对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况：【例 3】当0x时，求函数(2)yxx的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页解： 作出函数2(2)2yxxxx在0x内的图象可以看出：当1x时，min1y，无最大值所以，当0x时，函数的取值范围是1y【例 4】当1txt时，求函数21522yxx的最小值 (其中t为常数 )分析： 由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置解： 函数21522yxx的对称轴为1x画出其草图(1) 当对称轴在所给范围左侧即1t时：当xt时，2min1522ytt；(2) 当对称轴在所给范围之间即1101ttt时：当1x时，2min1511322y；(3) 当对称轴在所给范围右侧即110tt时：当1xt时，22min151(1)(1)3222yttt综上所述：2213,023,0115,122ttytttt在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例 5】某商场以每件30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数1623 ,3054mxx(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解： (1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x元，那么m件的销售利润为(30)ym x，又1623mx2(30)(1623 )32524860,3054yxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页(2) 由(1)知对称轴为42x，位于x的范围内，另抛物线开口向下当42x时，2max342252424860432y当每件商品的售价定为42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432 元A 组1 抛物线2(4)23yxmxm， 当m= _ 时， 图象的顶点在y轴上；当m= _ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _ 时，图象过原点2用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为_ 3求下列二次函数的最值：(1) 2245yxx；(2) (1)(2)yxx4求二次函数2235yxx在22x上的最大值和最小值，并求对应的x的值5对于函数2243yxx，当0x时，求y的取值范围6求函数23532yxx的最大值和最小值7已知关于x的函数22(21)1yxtxt，当t取何值时，y的最小值为0？B 组1已知关于x的函数222yxax在55x上(1) 当1a时，求函数的最大值和最小值；(2) 当a为实数时，求函数的最大值2函数223yxx在0mx上的最大值为3，最小值为2，求m的取值范围3设0a，当11x时，函数21yxaxb的最小值是4，最大值是0，求,a b的值4已知函数221yxax在12x上的最大值为4，求a的值5求关于x的二次函数221yxtx在11x上的最大值 (t为常数 )练习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页第五讲二次函数的最值问题答案A 组14 14 或 2，3222216lm3(1) 有最小值3，无最大值； (2) 有最大值94，无最小值4当34x时，min318y；当2x时，max19y55y6当56x时，min336y；当23x或 1 时，max3y7当54t时，min0yB 组1(1) 当1x时，min1y；当5x时，max37y(2) 当0a时，max2710ya；当0a时，max2710ya221m32,2ab414a或1a5当0t时，max22yt，此时1x；当0t时，max22yt，此时1x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页