4.3.2 空间两点间的距离公式 2006 2006年年3 3月俄罗斯空军特月俄罗斯空军特技飞行表演队在我国著名风技飞行表演队在我国著名风景区张家界市天门山进行特景区张家界市天门山进行特技表演技表演 为了保证安全飞行，飞为了保证安全飞行，飞行员及地面指挥员们如何准行员及地面指挥员们如何准确确定飞机之间的距离？确确定飞机之间的距离？1. 1. 在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？那么，如何求空间中两点间的距离呢？那么，如何求空间中两点间的距离呢？1.1.掌握空间两点间的距离公式掌握空间两点间的距离公式. .（重点）（重点）2.2.会应用距离公式解决有关问题会应用距离公式解决有关问题. .（难点）（难点）3.3.通过对空间两点间距离公式的探究与推导通过对空间两点间距离公式的探究与推导, ,初步初步 意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间 问题的基本思想方法问题的基本思想方法. . 在空间直角坐标系中，若在空间直角坐标系中，若已知两个点的坐标，则这两点已知两个点的坐标，则这两点之间的距离是惟一确定的，我之间的距离是惟一确定的，我们希望有一个求两点间距离的们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此，我们从理论计算公式，对此，我们从理论上进行探究上进行探究. .x xy yP P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )P P2 2(x(x2 2, y, y2 2) )Q(xQ(x2 2,y,y1 1) )O Ox x2 2y y2 2x x1 1y y1 1长长a a，宽，宽b b，高，高c c的长方体的对角线，怎么求？的长方体的对角线，怎么求？d dc ca ab bO OP Pz zy yx xx xy yz z在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,点点P(xP(x，y y，z)z)到到xOyxOy平面的距平面的距离，怎么求？离，怎么求？一、探究：空间两点间的距离公式一、探究：空间两点间的距离公式垂线段垂线段的长的长 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,点点P(xP(x0 0，y y0 0，z z0 0) )到坐标轴到坐标轴的距离，怎么求？的距离，怎么求？垂线段垂线段的长的长1.1.空间点到原点的距离空间点到原点的距离探究：探究：如果如果是定长是定长r,r,那么那么表示什么图形？表示什么图形？ O Ox xy yz zP P在空间中，到定点的距离在空间中，到定点的距离等于定长的点的轨迹是等于定长的点的轨迹是以原点为球心，以原点为球心，半径长为半径长为 r r 的球面的球面 2.2.如如果果是是空空间间中中任任意意一一点点P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1）到到点点P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）之间的距离公式会是怎样呢？）之间的距离公式会是怎样呢？如图，设如图，设P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）是空间中任意两点，且点是空间中任意两点，且点P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）在在xOyxOy平面上的射影分别为平面上的射影分别为M,N,M,N,那么那么M,NM,N的坐标为的坐标为M M（x x1 1，y y1 1，0 0），）， N N（x x2 2，y y2 2，0 0）. .O OyzxMP1P2NM1N2N1M2H在在xOyxOy平面上平面上, ,过点过点P P1 1作作P P2 2N N的垂线，垂足为的垂线，垂足为H,H,则则所以所以因此，空间中任意两点因此，空间中任意两点P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）之间的距离之间的距离 在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点P(xP(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )和点和点Q(xQ(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )的中点坐标的中点坐标( (x,y,zx,y,z):):二、空间中点坐标公式二、空间中点坐标公式原结论成立原结论成立. .证明证明: :例例1 1 求证以求证以M M1 1(4,3,1)(4,3,1)、M M2 2(7,1,2)(7,1,2)、M M3 3(5,2,3)(5,2,3)三点三点为顶点的三角形是一个等腰三角形为顶点的三角形是一个等腰三角形. .答案：答案：1.1.求下列两点的距离求下列两点的距离【变式练习变式练习】例例2. 2. 在在z z轴上求与两点轴上求与两点A(A( 4, 1, 7)4, 1, 7)和和B(3, 5, B(3, 5, 2)2)等距离的点等距离的点 解：解：设所求的点为设所求的点为M M(0, 0, (0, 0, z z) )，依题意有，依题意有 解之得解之得即即所以所求点的坐标是所以所求点的坐标是答案：答案：在在z z轴上求一点轴上求一点M M，使点，使点M M 到到A A（1,0,21,0,2）与点）与点B B（1 1，-3,1-3,1）的距离相等）的距离相等. .【变式练习变式练习】1 1到定点到定点(1(1，0 0，0)0)的距离小于或等于的距离小于或等于1 1的点的集的点的集合是（合是（ ） A. (xA. (x，y y，z)|(x-1)z)|(x-1)2 2+y+y2 2+z+z2 21 1 B. (xB. (x，y y，z)|(x-1)z)|(x-1)2 2+y+y2 2+z+z2 2=1 =1 C. (xC. (x，y y，z)|xz)|x2 2+y+y2 2+z+z2 22 2 D. (xD. (x，y y，z)|xz)|x2 2+y+y2 2+z+z2 211A A2 2在在RtABCRtABC中，中，BAC=90BAC=90，三点的坐标为，三点的坐标为A(2A(2，1 1，1)1)，B(1B(1，1 1，2)2)，C(xC(x，0 0，1)1)，则，则x=_.x=_.3 3若点若点P(xP(x，y y，z)z)到到A(1A(1，0 0，1)1)，B(2B(2，1 1，0)0)两点的两点的距离相等，则距离相等，则x x、y y、z z满足的关系式满足的关系式是是_._.2 22x+2y-2z-3=0 2x+2y-2z-3=0 4 4已知点已知点P P在在z z轴上满足轴上满足|OP|=1|OP|=1（O O是坐标原点），是坐标原点），则点则点P P到点到点A(1A(1，1 1，1)1)的距离是的距离是_._.5 5正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为为A(-1A(-1，2 2，-1)-1)，B(3B(3，-2-2，3)3)，则正方体的棱长，则正方体的棱长为为_._.4 4类比类比猜想猜想一、两点间距离公式一、两点间距离公式在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点P(xP(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )和点和点Q(xQ(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )的中点坐标的中点坐标( (x,y,zx,y,z):):二、空间中点坐标公式二、空间中点坐标公式