名师精编优秀教案教育教师备课手册教师姓名学生姓名填写时间2012.4.1 学科数学年级初三上课时间课时计划2h 教学目标教学内容动态几何与函数问题个性化学习问题解决教学重点、难点教学过程动态几何与函数问题二次函数基础知识点回顾一、二次函数的概念1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（ abc， ， 是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 bc， 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x的最高次数是2abc， ， 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项总结：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh 时，y随 x 的增大而增大；xh 时，y随x的增大而减小；xh 时，y有最小值 k 0a向下hk，X=h xh 时，y随 x 的增大而减小；xh 时，y随x的增大而增大；xh 时，y有最大值 k 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页名师精编优秀教案向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0) 】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a (x-h)2y=ax2+ky=ax2 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”三、二次函数2yaxbxc的性质1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x的增大而减小；当2bxa时，y随 x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x 的增大而增大；当2bxa时，y随 x 的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba四、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （ a ， b ， c 为常数，0a） ；2. 顶点式：2()ya xhk （ a ， h ， k 为常数，0a） ；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 五、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2yaxbxc中， a 作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页名师精编优秀教案当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来，在a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置总结： 3. 常数项 c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的六、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称2yaxbxc 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk； 2. 关于y轴对称2yaxbxc 关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk； 3. 关于原点对称2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk ； 4. 关于顶点对称2yaxbxc 关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页名师精编优秀教案 5. 关于点mn，对称2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式八、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况） ：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc 当函数值0y时的特殊情况 . 图象与 x 轴的交点个数： 当240bac时，图象与x 轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa. 当0 时，图象与x 轴只有一个交点； 当0 时，图象与x 轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2当0a时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y2. 抛物线2yaxbxc 的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 ，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 典型例题分析1、 （2010 盐城）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1 图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；0抛物线与x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页名师精编优秀教案（3） 在(2) 中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M， 试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由关键词：二次函数与圆答案：1）当a = 0时，y = x+1 ，图象与x轴只有一个公共点 (1 分) 当a0时，=1- 4a=0 ，a = 14，此 时，图象与x轴只有一个公共点函数的解析式为：y=x+1 或y=14x2+x+1（ 3 分）（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PCx 轴于点Cy=ax2+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=14x2+x+1，则顶点为B（-2 ，0） ，图象与y轴的交点坐标为A（ 0，1）（ 4 分）以PB为直径的圆与直线AB相切于点BPBAB则PBC=BAORtPCBRtBOAAOBCOBPC，故PC=2BC，（5 分）设P点的坐标为 (x，y)，ABO是锐角， PBA是直角， PBO是钝角，x-2 BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为 (x，-4-2x) 点P在二次函数y=14x2+x+1 的图象上， -4-2x=14x2+x+1（6 分）解之得：x1=-2，x2=-10 xPA ，只存在点Q1,使 Q1A=Q1P. 如图 2, 过点 Q1作 Q1M AP ，垂足为点M ， Q1M交 AC于点F,则 AM=122AP. 由 AMF AOD CQ1F,得4311AOODCQFQAMFM, 23FM, 103311FMMQFQ. CQ1=QF34=225. 则11CQAPtkt, 11110CQkAP . 第二种情况：当点Q在 BA上时 , 存在两点Q2,Q3, 分别使 A P= A Q2,PA=PQ3. 若 AP=AQ2 ，如图 3,CB+BQ2=10-4=6. 则21BQCBAPtkt, 232CBBQkAP. 若 PA=PQ3 ，如图 4, 过点 P作 PNAB ，垂足为N ，GxyABCDOE( 图1) PQ(图3)xyABCDOQ2PEQ1FMODCBAyx( 图2)P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页名师精编优秀教案由 ANP AEB,得ABAPAEAN. AE=5722BEAB , AN 2825. AQ3=2AN=5625, BC+BQ3=10-251942556则31BQCBAPtkt. 50973APBQCBk. 综上所述，当t= 4 秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为1011或23或5097. 【思考 3 解析】过点A作A NAB垂足为N点，在RtH CD中，若HDH不小于60，则3sin602H CH D即34 32H CH DB MH C 4 3RtRtA NPB MPA NA PB MB P64 32 33.5cm12A P B MA NB P踏板AB离地面的高度至少等于3.5cm26 （10 分）（1）过点C作CDAB，垂足为D则2AD，当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即32AM时，四边形MNQP是矩形，32t秒时，四边形MNQP是矩形NE( 图4)xyABCDOQ3PA P B D H HBAM C N C P Q B A M D N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页名师精编优秀教案3tan6032PMAM=，332MNQPS四边形（2）1当01t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形133(1)2tt332t2当12t 时1()2MNQPSPMQNMN四边形133(3) 12tt3323当23t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形13(3)3(4)2tt7332tC P Q B A M N C P Q B A M N C P Q B A M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页