读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思衡水万卷周测（十八）理科数学函数与导数（四）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）1. 函数32( )(0,)f xaxbxcxd axR有极值点，则（）A. 23bacB. 23bacC. 23bac D. 23bac2. 若函数3( )3f xxxa有 3 个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A.（ 2，2）B. 2，2 C.(, 1) D.(1,)3. 下列关于函数2( )(2)xf xxxe的判断正确的是（）( )0f x的解集是02xx；(2)f是极小值，( 2)f是极大值；( )f x没有最小值，也没有最大值；( )f x有最大值，没有最小值. A. B.C.D.4. 已知函数3211( )2( , ,)32f xxaxbxc a b cR ，且函数( )f x在区间（ 0， 1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则22(3)zab的取值范围（）A.2(,2)2 B. 1(,4)2 C. （ 1，2）D.（1，4）5. 函数ln xyx的最大值为（）A.1e B.e C.2e D.1036. 已知函数32( )f xxaxbxc，下列结论中错误的是（A）0xR，0()0f x（B）函数( )yf x的图像是中心对称图形（C）若0x是( )f x的极小值点，则( )f x在区间0(,)x上单调递减（D）若0x是( )f x的极值点，则0()0fx7. 已知函数( )f x=3231axx，若( )fx存在唯一的零点0x，且0x0，则a的取值范围为A. （2，+）B. （- ， -2 ）C. （1，+）D. （- ， -1 ）8. 已知函数12xxf,kxxg.若方程xgxf有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（A），（210（ B），（121（C ），（ 21（ D ），（29. 、在ABC中，cba,分别为CBA,所对的边， 若函数1)(31)(2223xaccabxxxf有极值点，则B的范围是（）A.)3,0( B。3,0( C。,3 D。),3(10. 已知e为自然对数的底数， 若对任意的1,1xe， 总存在唯一的 1,1y， 使得2ln1yxxay e成立，则实数a的取值范围是（A）1, ee（B）2(, ee（C）2(,)e（D）21(,)eee11. 函数ln xyx的图像大致是 ( ) 12. 已知函数cbxaxxxf23)(，在定义域x-2 ，2 上表示的曲线过原点，且在 x1 处的切线斜率均为1. 有以下命题：fx是奇函数；若fx在, s t内递减，则ts的最大值为4；fx的最大值为M，最小值为m，则0Mm； 若对2,2x，( )kfx恒成立，则k的最大值为2. 其中正确命题的个数为（）A .1 个 B. 2个 C .3个 D. 4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5 分，共 20 分）13. 设 n N*，圆的面积为Sn，则= 14. 设函数( )fx在R存在导数( )fx， 对任意的xR，有2()( )fxf xx， 且在(0,)上( ).fxx若(2)( )22faf aa，则实数a的取值范围为 _ 15. 已知函数)()(bxaxxxf的导函数为)(xf，且4)0(f，则222ba的最小值为 _. 16. 设函数2(0)yaxbxk k在0x处取得极值，且曲线( )yf x以点(1, (1)f处的切线垂直于直线210xy，则ab的值为 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解答题（本大题共6 小题第一题10 分，第二题12 分。共 70 分）17. （ 2015 天津高考真题）已知函数( )n,nf xxxxR，其中*n,n2N. （I ）求( )f x的单调性；（II）设曲线( )yfx=与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为( )yg x=,求证： 对于任意的正实数x,都有( )( )f xg x; （III）若方程( )= ()f xa a为实数有两个正实数根12xx，且12xx,求证：1321-43ax x -+18. 已知函数f（x）21xxaln （x 1） （a R） （）若f（x）在 2 ，）上是增函数，求实数a的取值范围；（）当a2 时，求证： 111x2ln （x1） 2x4（x2） ；（）求证：11111.ln1.46221nnn（nN*，且n2） 19. 设函数11( )ln(0)2(1)xxf xaa x. ( ) 若函数( )fx在1,)上为增函数 , 求实数a的取值范围；( ) 求证：当nN且2n时,1111ln234nn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思20. 已知函数( )lnfxxx与函数1( )(0)g xxxax均在0xx时取得最小值（I ）求实数a的值；（II ）设函数( )( )( )h xfxg x，是否存在自然数k，使得函数( )h x的所有极值点之和在( ,1)k k内？若存在求出k的值，若不存在，请说明理由21. 已知函数f(x) (a1a)lnx1xx（a1） （）讨论f(x) 在区间 (0 ，1) 上的单调性；（）当a3 时，曲线yf(x) 上总存在相异两点P(x1，f(x1) ，Q(x2，f(x2) ，使得曲线y f(x) 在点P，Q处的切线互相平行，求证：x1x26522. ( 本小题满分13 分）设函数)ln2(2xxkxexfx（k为常数，2.71828e是自然对数的底数）（I ）当0k时，求函数fx的单调区间；（II ）若函数fx在0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思0.衡水万卷周测（十八）答案解析一、选择题1.D 2.A 3.D4.B5.A 6.C 7.C 8.答案： B9.【答案】 D10.B 11.A12.B 二、填空题13. 故答案为： 4 14.(,1. 15. 【答案】 82 16. 1 三、解答题17. 【答案】 (I) 当n为奇数时，( )f x在(, 1)，(1,)上单调递减，在( 1,1)内单调递增；当n为偶数时，( )f x在(, 1)上单调递增，( )f x在(1,)上单调递减 . (II)见解析； (III)见解析 . 【解析】试题解析： (I) 由( )nf xnxx，可得，其中*nN且2n，下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时：令( )0fx，解得1x或1x，当x变化时，( ),( )fxf x的变化情况如下表：x(, 1)( 1,1)(1,)( )fx( )f x所以，( )f x在(, 1)，(1,)上单调递减，在( 1,1)内单调递增 . (2) 当n为偶数时，当( )0fx，即1x时，函数( )fx单调递增；当( )0fx，即1x时，函数( )fx单调递减 . 所以，( )f x在(, 1)上单调递增，( )fx在(1,)上单调递减 . (II)证明：设点P的坐标为0(,0)x，则110nxn，20()fxnn，曲线( )yf x在点P处的切线方程为00()yfxxx，即00( )()g xfxxx，令( )( )( )F xf xg x，即00( )( )()F xf xfxxx，则0( )( )()Fxfxfx由于1( )nfxnxn在0,上单调递减，故( )Fx在0,上单调递减，又因为0()0Fx，所以当0(0,)xx时，0()0F x，当0(,)xx时，0()0Fx，所以( )F x在0(0,)x内单调递增，在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思0(,)x内单调递减，所以对任意的正实数x都有0( )()0F xF x，即对任意的正实数x，都有( )( )f xg x. (III)证明：不妨设12xx，由 (II)知20( )g xnnxx，设方程( )g xa的根为2x，可得202.axxnn，当2n时，( )g x在,上单调递减， 又由(II)知222()()(),g xfxag x可得22xx. 类似的，设曲线( )yf x在原点处的切线方程为( )yh x，可得( )h xnx，当(0,)x，( )( )0nf xh xx，即对任意(0,)x，( )( ).f xh x设方程( )h xa的根为1x，可得1axn，因为( )h xnx在,上单调递增，且,212101axxxxxn,111()()()h xafxh x，因此,11xx. 由此可得,212101axxxxxn. 因为11112,2(1 1)1nnnnCn所以，故1102nnx，所以2121axxn考点： 1. 导数的运算； 2. 导数的几何意义；3. 利用导数研究函数性质、证明不等式. 18. 解： （）由已知，得f（x） 111xaln （x 1） ，求导数，得f (x)21(1)1axxf（x）在 2 ，）上是增函数，f (x)0 在2 ，）上恒成立，即a11x在2 ，）上恒成立，a（11x）maxx2， 011x1，a1故实数a的取值范围为 1 ，）（）当a2 时，由（）知，f（x）在 2 ，）上是增函数，当x2 时，f（x）f（2） ，即 111x2ln （x1） 0，2ln （x1） 111x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思令g（x） 2xln （x1） ，则g（x） 221x2(2)1xxx 2，g（x） 0，g（x）在（ 2，）上是增函数，g（x）g（2） 0，即 2xln （x1） 0，2x42ln （x1） 综上可得， 111x2ln （x1） 2x4（x2） （）由（） ，得 111x2ln （x1） 2x4（x 2） ，令x11kk，则11k2ln1kk21k，k1，2，n1将上述n1 个不等式依次相加，得1112311.2(lnln.ln)2(1.)2312121nnnn，11111.2ln2(1.)2321nnn，11111.ln1.46221nnn（nN*，且n2） 19. 解 : 2221(1)(1)12( )+2 2 (1)2(1)a xaxfxxa xxa x222(1)(1)2(1)(1)xa xaa xx，(1)x( )f x在2( 1,1)a上为减函数，在2(1,)a为增函数，( )f x在21xa处取得极小值 . ( ) 依题 : 2110,aa1a；由 ( ) 知：当1a时，11( )ln,21xxf xx在1,)上为增函数，当1x时，有( )(1)0f xf，即11ln,(1)21xxxx，取11(2)1xnxn，则111nxn，121xnn，即有：1ln,(2)1nnnn，111134ln 2lnlnlnln234231nnnn. 20. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解：（I ）( )ln1fxx，令( )0fx得1xe，列表：x1(0,)e1e1(,)e( )fx0( )fx极小值1e当1xe时，函数( )lnf xxx取得最小值，01xe，当0a时，函数( )g x是增函数，在(0,)没有最小值，当0a时，函数11( )2g xxaxa，是最小值，取等号时，01xa，由11ae，得2ae；（II ）21( )lnh xxxxe x，221( )lnh xxe x，22232( )e xhxe x，( )h x在2(0,)e递减，在2(,)e递增，由（ I ）显然1( )0he，1(0,)xe时，( )0h x，( )h x递增，1(,)xe时，( )0h x，( )h x递减，函数( )h x在2(0,)e有唯一极大值点1e；2211()ln(ln 21)022hee，21(1)0he，( )h x在2(,)e递增，在2(,1)e存在唯一实数m，使得()0h m，( )h x在2(,)e递增，2(,)xme时，( )0h x，( )h x递减，(,)xm时，( )0h x，( )h x递增，函数( )h x在2(,)e有唯一极小值点m；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思432316( )ln 2ln04hee，2(,1)me1121(,)emeee，3112,12eee，存在自然数1k，使得函数( )h x的所有极值点之和1( ,1)mk ke21. 解： （）f(x) 的定义域为 (0， ) 求导数，得f(x) a1ax1x21x2(a1a)x1x2(xa)(x1a)x2，令f(x)0，解得xa，或x1aa 1，01a1，当 0x1a时，f(x) 0；当1ax1 时，f(x) 0故f(x) 在 (0，1a) 上单调递减，在(1a，1) 上单调递增（）由题意得，当a3 时，f(x1) f(x2) （x1，x20，且x1x2） ，即a1ax11x211a1ax21x221，a1a1x11x2x1x2x1x2x1，x20，且x1x2，x1x2(x1x22)2恒成立，1x1x24(x1x2)2，又x1x20，a1ax1x2x1x24x1x2，整理，得x1x24a1a令g(a) 4a1a4aa21，则g(a) 4(1 a2)(a21)20，g(a) 在3 ， ) 上单调递减，g(a) 在3 ， ) 上的最大值为g(3) 65，x1x26522.2422211( )()xxexxefxkxxx解：（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3x(2)()(0)k0kx0,e0( )0,2(0, 2)( )(2,)( )xxekxxxkxfxxxf xxf x当时，令则当时，单调递减；当时，单调递增。222ln22( ),ln(0)10,(0)10(2)0,2202lnln0ln1:,2xxxkg xekxgxekek xkgkgegekgekkgkekkkkeeee（ ）令则综上的取值范围为（）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页