学习必备欢迎下载二次函数知识点归纳一、二次函数概念1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（ abc， ， 是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 bc， 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x 的最高次数是2abc， ， 是常数， a是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2yax 的性质：oo结论：总结：2. 2yaxc的性质：结论：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随 x 的增大而增大；0x时，y随x 的增大而减小；0x时，y有最小值00a向下00，y轴0x时，y随 x 的增大而减小；0x时，y随x 的增大而增大；0x时，y有最大值0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载总结：3. 2ya xh的性质：结论：总结： 4. 2ya xhk 的性质：总结：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a0aa 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0a向下a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右 (h0)【或左 (h0) 【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”三、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较请将2245yxx利用配方的形式配成顶点式。请将2yaxbxc配成2ya xhk。总结：从解析式上看，2ya xhk 与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，四、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、 与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与 x 轴的交点10x ，20x ，（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 0a向上0a向下精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载五、二次函数2yaxbxc的性质 1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当2bxa时，y随 x 的；当2bxa时，y随 x 的；当2bxa时，y有 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x 的；当2bxa时，y随 x 的；当2bxa时，y有六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（ a ，b， c 为常数 ，0a） ；2. 顶点式：（ a，h，k为常数 ，0a） ；3. 两根式：（0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2yaxbxc中， a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a 的值越大，反之 a的值越小，； 当0a时，抛物线开口向下，a 的值越小，反之 a的值越大，总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的侧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的侧总结起来，在a 确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置总结： 3. 常数项 c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc 当函数值0y时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数： 当240bac时，图象与x 轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa. 当0时，图象与x 轴只有一个交点； 当0时，图象与x 轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y；2当0a时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y2. 抛物线2yaxbxc 的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 ，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc 中 a ，b， c 的符号，或由二次函数中a ，b， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y= -x2y= -x22y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x20抛物线与x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载y=2x2-4y=2x2+2y=2x2y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2同步训练一选择题1二次函数522xxy的值域是（）)4，),4( (4，)4,(2如果二次函数452mxxy在区间)1,(上是减函数，在区间), 1上是增函数，则m（） 2 -2 10 -10 3如果二次函数)3(2mmxxy有两个不相等的实数根，则m的聚值范围是（）),6()2,()6, 2()6,2 0 6, 24函数3212xxy的最小值是（） -3. .213 3 .2135函数2422xxy具有性质（）开口方向向上，对称轴为1x，顶点坐标为（-1，0）开口方向向上，对称轴为1x，顶点坐标为（1，0）开口方向向下，对称轴为1x，顶点坐标为（-1，0）开口方向向下，对称轴为1x，顶点坐标为（1，0）6下列命题正确的是（） 函 数3622xxy的 最 小 值 是23 函 数3622xxy的 最 小 值 是415函数342xxy的最小值为7 函数342xxy的最大值为7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载7函数（ 1）3422xxy； （2）3422xxy； （3）3632xxy； （4）3632xxy中，对称轴是直线1x的是（） （1）与（ 2） （2）与（ 3） （1）与（ 3） （2）与（ 4）8对于二次函数xxy822，下列结论正确的是（）当2x时，y有最大值8 当2x时，y有最大值8 当2x时，y有最小值8 当2x时，y有最小值8 9如果函数)0(2acbxaxy，对于任意实数t都有)2()2(tftf，那么下列选项中正确的是（）)4() 1()2(fff)4()2()1(fff) 1()4()2(fff)1()2()4(fff10若二次函数1422xxay有最小值，则实数a（）2222二填空1若函数12)(2xxxf，则)(xf的对称轴是直线2若函数322bxxy在区间2 ,(上是减函数，在区间,2(是增函数，则b3函数9322xxy的图象与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是、4已知6692xxy，则y有最值为5已知12842xxy，则y有最值为三解答题1已知二次函数342xxy， （1）指出函数图象的开口方向；（ 2）当x为何值时0y； （3）求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。2. 如果二次函数)8()(2kkxxxf与x轴至多有一个交点，求k的值。3已知二次函数222)1(2)(mmmxxf，（1）如果它的图象经过原点，求m的值。（2）如果它的图象关于y轴对称，写出函数的关系式。（3）如果它的图象关于y轴对称，试比较)2()3()2(fff、。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页