1 空间向量与立体几何知识点归纳总结一知识要点。1. 空间向量的 概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注： （1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有 平移不变性2. 空间向量的 运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABabuuu ruuu ruuu rvr;BAOAOBabuu u ru uu ru uu rrr;()OPaRuuu rr运算律： 加法交换律：abba加法结合律：)()(cbacba数乘分配律：baba)(运算法则 ：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合 ，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba /。（2）共线向量定理 ：空间任意两个向量a、b（b0） ，a/b存在实数 ，使ab。（3）三点共线 ：A、B、C 三点共线 ACAB) 1(yxOByOAxOC其中（4）与a共线的单位向量为aa4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的 两向量都是共面 的。（2）共面向量定理 ：如果两个向量,a brr不共线，pr与向量,a brr共面的条件是存在实数, x y使pxaybrrr。（3）四点共面：若 A、B、C、P四点共面 ACyABxAP)1(zyxOCzOByOAxOP其中5. 空间向量基本定理 ：如果三个向量,a b crrr不共面，那么对空间任一向量pr，存在一个唯一的有序实数组, ,x y z，使pxaybzcrrrr。若三向量, ,ab crrr不共面，我们把, , a b crrr叫做空间的一个 基底，,a b crrr叫做基向量，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数, ,x y z，使OPxOAyOBzOCuuu ruuu ruuu ruuu r。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组( , , )x y z，使zkyixiOA，有序实数组( , , )x y z叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作( , )A x y z，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为 (x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为 (x,y,-z).即点关于什么轴 /平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz中的点设为 (0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位 正交基底，用 , , i j kr r r表示。空间中任一向量kzjyi xa=（x,y,z）（3）空间向量的直 角坐标运算律：若123(,)aa a ar，123( ,)bb b br，则112233(,)abab ab abrr，112233(,)abab ab abrr，123(,)()aaaaRr，1 12233a baba ba br r，112233/,()abab ab abRrr，1 1223 30ababa ba brr。若111(,)A x y z，222(,)B xyz，则212121(,)ABxxyy zzuuu r。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定 比 分 点公 式 ： 若111(,)A xy z，222(,)B xyz，PBAP， 则 点 P 坐 标 为)1,1,1(212121zzyyxx。 推导： 设 P （x,y,z） 则),(),(22211, 1zzyyxxzzyyxx,显然，当 P为 AB 中点时，)2,2,2(212121zzyyxxP),(),(,333222111zyxCzyxB）zy，A（xABC中， 三 角 形 重 心P 坐 标 为)2,2,3(321321321zzzyyyxxxP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 ABC 的五心：内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。)(ACACABABAP（单位向量）外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PCPBPA垂心 P：高的交点：PCPBPCPAPBPA（移项，内积为 0，则垂直）重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）)(31ACABAP中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式 ：若123(,)aa a ar，123( ,)bb b br，则222123|aa aaaarr r，222123|bb bbbbrr r（5）夹角公式：112233222222123123cos| |aba ba ba ba babaaabbbr rr rrr。ABC中0? ACABA为锐角 0? ACABA为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若111(,)A xy z，222(,)B xyz，则2222212121|()()()ABABxxyyzzu uu ruuu r，或222,212121()()()A Bdxxyyzz7. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a brr，在空间任取一点O，作,OAa OBbuuu ruuu rrr， 则AOB叫 做 向 量ar与br的 夹 角 ， 记 作,a brr； 且 规 定0,a brr， 显然有,a bb arrrr； 若,2a brr， 则称ar与br互相垂直，记作：abrr。（2）向量的模：设OAau u u rr，则有向线段OAu uu r的长度叫做向量ar的长度或模，记作：|ar。（3）向量的数量积：已知向量,a brr，则| | cos,aba brrrr叫做,a brr的数量积，记作a brr，即a brr| | | cos,aba brrrr。（4）空间向量数量积的性质：|cos,a eaa er rrr r。0aba brrrr。2|aa arrr。（5）空间向量数量积运算律：()()()aba babrrrrrr。a bb arrrr（交换律）。()abca ba crrrrrrr（分配律）。不满足 乘法结合率：)()(cbacba二空间向量与立体几何1线线平行两线的方向向量平行精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直3 线线夹角（共面与异面）90,0OO两线的方向向量2,1nn的夹角或夹角的补角，2, 1coscosnn3-1 线面夹角90,0OO：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.nAP,cossin3-2 面面夹角（ 二面角）180,0OO：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量2,1nn的 夹 角 ； 法 向 量 同 进 同 出 ， 则 二 面 角 等 于 法 向 量 的 夹 角 的 补 角 . 21,coscosnn4 点面距离h： 求点00,P xy到平面的距离： 在平面上去一点,Q x y， 得向量PQuuu r;；计算平面的法向量n;.nnPQh?4-1 线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1基本运算与基本知识（）例 1. 已知平行六面体ABCDDCBA， 化简下列向量表达式， 标出化简结果的向量。ABBCuu u ruu u r；ABADAAuu u ruu u ruu ur；12ABADCCuu u ruuu ruuu u r； 1()3ABADAAuu u ruuu ruu u r。GM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 例 2. 对空间任一点O和不共线的三点,A B C，问满足向量式：OPxOAyOBzOCuuu ru u u ruuu ruuu r（其中1xyz）的四点,P A B C是否共面？例 3 已知空间三点 A（0，2，3） ，B（2，1，6） ，C（1， 1，5） 。求以向量,AB ACuu u r uuu r为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量ar分别与向量,AB ACuuu r uuu r垂直，且 |ar|3，求向量ar的坐标。2基底法（如何找，转化为基底运算）3坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）4几何法例 4. 如图，在空间四边形OABC中，8OA，6AB，4AC，5BC，45OACo，60OABo，求OA与BC的夹角的余弦值。OABC说明：由图形知向量的夹角易出错，如,135OA ACou uu r u uu r易错写成,45OA ACouuu r u uu r，切记！例 5. 长方体1111ABCDA B C D中，4ABBC，E为11AC与11B D的交点，F为1BC与1B C的交点，又AFBE，求长方体的高1BB。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 【模拟试题】1. 已知空间四边形ABCD，连结,AC BD，设,M G分别是,BC CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： （1）ABBCCDuu u ruuu ruu u r；（2）1()2ABBDBCu uu ru uu ruu u r；（3）1()2AGABACuuu ruu u ruu u r。2. 已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量。,OEkOA OFkOBOGkOC OHkODu uu ru uu r u uu ruu u r uu u ru u u r u u uruu u r。（1）求证：四点,E F G H共面；（2）平面AC /平面EG。3. 如图正方体1111ABCDA B C D中，11111114B ED FA B，求1BE与1DF所成角的余弦。5. 已知平行六面体ABCDA BCD中，4,3,5,90ABADAABADo，60BAADAAo，求AC的长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 参考答案 1. 解：如图，（1）ABBCCDACCDADu uu ru uu ruuu ru uu ruuu ruuu r；（2）111()222ABBDBCABBCBDu uu ru uu ru uu ru uu ruu u ru uu r。ABBMMGAGuuu ru uu u ruu u u ruu u r；（3）1()2AGABACAGAMMGu uu ruuu ruuu ru uu ru uu u ruu uu r。2. 解： （1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ACABADuuu ruu u ruu u r，EGOGOEuu u ruu u ruu u r，()()()k OCk OAk OCOAk ACk ABADk OBOAODOAOFOEOHOEEFEHuu u ruu u ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruu u ru uu ru uu ruuu ruuu ruuu ruu u u ruuu ruuu ru uu r,E F G H共面；（2）解：()EFOFOEk OBOAk ABuuu ruu u ruu u ru uu ruu u ruuu r，又EGk ACu uu ruu u r，/,/EFAB EGAC。所以，平面/AC平面EG。3. 解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系Oxyz，则(1,1,0)B，13(1,1)4E，(0,0,0)D，11(0,1)4F，11(0,1)4BEuu u u r，11(0,1)4DFuu u u r，11174BEDFuuu u ruuu u r，11111500()1 14416BEDFuuu u ru uu u r。11151516cos,17171744BE DFuuu u r u uu u r。4. 分析：1( 2, 1,3),(1, 3,2),cos2|AB ACABACBACABACuu u r u uu ruuu ru uu ruuu ruuu rQBAC60，| sin607 3SABACouuu ruu u r设ar（x，y，z） ，则230,aABxyzuuu rr222320,|33aACxyzaxyzuu u rrr解得 xyz1 或 xyz1，ar（1，1，1）或ar（1，1，1） 。5. 解：22|()ACABADAAuuuu ruuu ruuu ruuu r222|222ABADAAAB ADAB AAAD AAu uu ruu u ruu u ru u u r u uu ruu u r uu u ru uu r uu u r2224352 4 3 cos902 4 5 cos602 3 5 cos60ooo16925020 1585所以，|85ACuuu u r。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页