学习好资料欢迎下载1 2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例 5 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA2，OC3，过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果 DF与（ 1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为56，那么EF 2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（ 2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“09 重庆 26” ，拖动点G在OC上运动，可以体验到，DCG与DEF保持全等，双击按钮“M的横坐标为1.2 ” ，可以看到，EF2，GO1拖动点P在AB上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，PCG可以成为等腰三角形思路点拨1用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2） 、 （ 3）题的计算中要用到2过点M作MNAB，根据对应线段成比例可以求FA的长3将EDC绕点D旋转的过程中，DCG与DEF保持全等4第（ 3）题反客为主，分三种情况讨论PCG为等腰三角形，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标满分解答（1）由于OD平分AOC，所以点D的坐标为（ 2，2） ，因此BCAD1由于BCDADE，所以BDAE1，因此点E的坐标为（ 0，1） 设过E、D、C三点的抛物线的解析式为cbxaxy2，那么.039,224, 1cbacbac解得65a，613b1c因此过E、D、C三点的抛物线的解析式为1613652xxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习好资料欢迎下载2 （2） 把56x代入1613652xxy， 求得512y 所以点M的坐标为512,56如图 2，过点M作MNAB，垂足为N，那么DADNFAMN，即25622512FA解得1FA因为EDC绕点D旋转的过程中，DCGDEF，所以CGEF2因此GO1，EF2GO（3）在第（ 2）中，GC2设点Q的坐标为161365,2xxx如图 3，当CPCG2 时，点P与点B（3，2）重合，PCG是等腰直角三角形此时GQQxxy，因此11613652xxx。由此得到点Q的坐标为57,512如图 4，当GPGC2 时，点P的坐标为（ 1，2） 此时点Q的横坐标为1，点Q的坐标为613, 1如图 5，当PGPC时，点P在GC的垂直平分线上，点P、Q与点D重合此时点Q的坐标为（ 2，2） 图 3 图 4 图 5 考点伸展在第（ 2）题情景下，EDC绕点D旋转的过程中，FG的长怎样变化？设AF的长为m，那么82)2()2(222mmmFG点 F 由 E开始沿射线EA运动的过程中，FG先是越来越小，F与A重合时，FG达到最小值22；F经过点A以后，FG越来越大，当C与O重合时，FG达到最大值4图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习好资料欢迎下载3 例 6 在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（ 1，0） ，点C的坐标为（ 0，4） ，直线CM/x轴（如图1 所示） 点B与点A关于原点对称，直线yxb（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（ 2）的条件下，如果以PD为半径的圆与圆O外切，求圆O的半径图 1 动感体验请打开几何画板文件名“09 上海 24” ，拖动点P在x轴正半轴上运动，可以体验到，POD的形状可以成为等腰三角形，分别双击按钮“PDPO” 、 “ODOP”和“DODP”可以显示三个等腰三角形在点P运动的过程中，两个圆保持相切，可以体验到，当PDPO时，圆O不存在思路点拨1第（1）题情景简单， 内容丰富， 考查了对称点的坐标特征、待定系数法、 代入求值、数形结合2分三种情况讨论等腰三角形POD的存在性，三个等腰三角形的求解各具特殊性3圆O与圆P的半径、圆心距都是随点P而改变，但是两圆外切，圆心距等于半径和的性质不变满分解答（1）因为点A的坐标为（ 1，0） ，点B与点A关于原点对称，所以点B的坐标为（ 1，0） 将B（ 1，0）代入yxb，得b1将y4代入yx1，得x3所以点D的坐标为（ 3， 4） （2）因为D（3，4） ，所以OD5，3cos5DOP如图 2， 当PDPO时， 作PEOD于E 在 RtOPE中，3cos5OEDOPOP，52OE，所以256OO此时点P的坐标为25(,0)6如图 3，当OPOD5 时，点P的坐标为(5,0)如图 4，当DODP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6,0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习好资料欢迎下载4 图 2 图 3 图 4 （ 3）圆P的半径PrPD，两圆的圆心距为OP当两圆外切时，圆O的半径OrOPPD如图 2，当PDPO时，0Or，此时圆O不存在如图3，当OPOD 5 时，作DHOP于H在 RtDHP中，DH4，HP2，所以2 5DP此时52 5OrOPPD如图 4，当DODP时，651OrOPPD考点伸展如图 5，在本题情景下，如果圆P与圆C外切，那么点P的变化范围是什么？如图 6，当圆P经过点C时，点P在CD的垂直平分线上，点P的坐标为3(,0)2因此当点P在x轴上点3(,0)2的右边时，圆P与圆C外切图 5 图 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页