1 / 5 （一）填空题1.xxxxsinlim0.0 2.设0,0, 1)(2xkxxxf，在0x处连续，则k.13.曲线xy在)1 , 1 (的切线方程是.2121xy4.设函数52)1(2xxxf，则)(xf.x25.设xxxfsin)(，则)2(f.26.若cxxxfx22d)(，则)(xf.22ln2x7.xx d)sin(.cxsin8.若cxFxxf)(d)(，则xxxfd)1(2.cxF)1(2129.设函数xxxd)1ln(dde12.0 10.若ttxPxd11)(02，则)(xP.答案：211x11.设矩阵161223235401A，则A的元素23a.3 12.设BA,均为 3 阶矩阵，且3BA，则TAB2=. 7213.设BA,均为n阶矩阵，则等式2222)(BABABA成立的充分必要条件是.答案：BAAB14. 设BA,均为n阶矩阵，)(BI可逆，则矩阵XBXA的解X.ABI1)(15.设矩阵300020001A，则1A.31000210001A16.函数xxxf1)(在区间内)1 ,0()0, 1(是单调减少的. 17.函数2)1(3 xy的驻点是 _，极值点是，它是极值点.答案：1, 1 xx，小18.设某商品的需求函数为2e10)(ppq，则需求弹性pE.p219.行列式111111111D.4 20.设线性方程组bAX，且010023106111tA，则t1时，方程组有唯一解. （二）单项选择题1. 函数212xxxy的连续区间是（D),2()2,(或), 1() 1,(）2. 下列极限计算正确的是（B.1lim0xxx）3. 设yxlg2，则dy（B 1dxxln10）4. 若函数 f (x)在点 x0处可导，则 (B.Axfxx)(lim0，但)(0xfA)是错误的5.当0x时，下列变量是无穷小量的是（C)1ln(x）. 6. 下列函数中，（D-21cosx2）是 xsinx2的原函数7. 下列等式成立的是（D -21cosx2）8. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（Cxxxd2sin）9. 下列定积分计算正确的是（D0dsinxx）10. 下列无穷积分中收敛的是（B 12d1xx）11. 以下结论或等式正确的是（C对角矩阵是对称矩阵）12. 设A为43矩 阵 ，B为25矩 阵 ， 且 乘 积 矩 阵TACB有 意 义 ， 则TC为（A42）矩阵13. 设BA,均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（CBAAB） 14. 下列矩阵可逆的是（A 300320321）15. 矩阵444333222A的秩是（ B 1）16. 下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（Be x）17. 已 知 需 求 函 数ppq4. 02100)(，当10p时 ， 需求 弹 性 为（C2ln4-）18. 下列积分计算正确的是（A110d2eexxx）19. 设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是（DnArAr)()(）20. 设 线 性 方 程 组33212321212axxxaxxaxx， 则 方 程 组 有 解 的 充 分 必 要 条 件 是（C0321aaa）(三 )解答题1计算极限（1）123lim221xxxx)1)(1()1)(2(lim1xxxxx = ) 1(2lim1xxx= 21（2）8665lim222xxxxx=)4)(2()3)(2(lim2xxxxx = )4(3lim2xxx= 21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2 / 5 （3）xxx11lim0=) 11() 11)(11(lim0xxxxx=)11(lim0xxxx=21) 11(1lim0xx（4）42353lim22xxxxx31423531lim22xxxxx（5）xxx5sin3sinlim0535sin33sin5lim0xxxxx=53（6）) 2sin(4lim22xxx4)2sin()2)(2(lim2xxxx2设函数0sin0,0,1sin)(xxxxaxbxxxf，问：（ 1）当ba,为何值时，)(xf在0x处有极限存在？（2）当ba,为何值时，)(xf在0x处连续 . 答案：（ 1）当1b，a任意时，)( xf在0x处有极限存在；（2）当1ba时，)(xf在0x处连续。3计算下列函数的导数或微分：（1）2222log2xxyx，求y答案：2ln12ln22xxyx（2）dcxbaxy，求y答案：y=2)()()(dcxbaxcdcxa2)(dcxcbad（3）531xy，求y答案：531xy=21)53( x3) 53(23xy（4）xxxye，求y答案：xxxye)1(21（5）bxyaxsine，求yd答案：)(sinesin)e(bxbxyaxaxbbxbxaaxaxcosesine)cossin(ebxbbxaaxdxbxbbxadyax)cossin(e（6）xxyx1e，求yd答案：ydxxxxde )123(12（7）2ecosxxy，求yd答案：ydxxxxxd)2sine2(2（8）nxxynsinsin，求y答案：y=xxnncossin1+nxncos=)coscos(sin1nxxxnn（9）)1ln(2xxy，求yy)1(1122xxxx)2)1(211 (112122xxxx)11(1122xxxx211x（10）xxxyx212321cot，求y答案：652321cot61211sin2ln2xxxxyx4.下列各方程中y是x的隐函数，试求y或yd（1）1322xxyyx，求yd答案：解：方程两边关于X 求导：0322yxyyyx32)2(xyyxy，xxyxyyd223d（2）xeyxxy4)sin(，求y答案：解：方程两边关于X 求导4)()1)(cos(yxyeyyxxy)cos(4)(cos(yxyeyxeyxxyxy)cos(e)cos(e4yxxyxyyxyxy5求下列函数的二阶导数：（1）)1ln(2xy，求y答案：222)1(22xxy（2）xxy1，求y及)1 (y答案：23254143xxy，1)1(y6.计算下列不定积分（1）xxxde3答案：xxxde3=xd)e3x(=cxxe3lne3（2）xxxd)1(2答案：xxxd2)1(=xxxxd)21(2=x)dx2x(x232121=cxxx252352342（3）xxxd242答案：xxxd242=x2)d-(x=cxx2212（4）xxd211答案：xxd211=)21121xx2-d(1=cx21ln21（5）xxxd22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页3 / 5 答案：xxxd22=)212xx d(222=cx232)2(31（6）xxxdsin答案：xxxdsin=xdxsin2=cxcos2（7）xxxd2sin答案：xxxd2sin=xxxdcod2s2=2cos2xxxxcod2s2=cxxx2sin42cos2（8）xx1)dln(答案：xx1)dln(=)1xx1)d(ln(=)1ln()1(xx1)1)dln(xx=cxxx)1ln() 1(7.计算下列定积分（1）xxd121答案：xxd121=xx d11)1(+xxd21)1(=212112)21()21(xxxx=25（2）xxxde2121答案：xxxde2121=xex1211d=211xe=ee（3）xxxdln113e1答案：xxxdln113e1=)ln1131xxlnd(1e=2（3121)ln1ex=2 （4）xxxd2cos20答案：xxxd2cos20=202sin21xxd=20202sin212sin21xdxxx=21（5）xxxdlne1答案：xxxdlne1=21ln21xxde=e1212lnln21xdxxxe=) 1e(412（6）xxxd)e1(40答案：xxxd)e1 (40=4e041xxdx=3xxexxde4040=4e5511计算（1）01103512=5321（2）001130200000（3）21034521=012计算723016542132341421231221321解72301654274001277197723016542132341421231221321=14230111215513设矩阵110211321B110111132，A，求AB。解 因为BAAB22122)1() 1(01021123211011113232A01101-1-0321110211321B所以002BAAB14设矩阵01112421A，确定的值，使)(Ar最小。01112421A410740421)1() 1()3()2()1()2(740410421)3() 2(0490410421)47()2()3(当49时，2)(Ar达到最小值。15求矩阵32114024713458512352A的秩。32114024713458512352A) 3)(1 (32114123523458502471361527012590361527002471) 4() 1()4()2() 1() 3() 5() 1()2(0000000000361527002471)1()2()4()31()2()3(2)( Ar。16求下列矩阵的逆矩阵：（1）111103231A100111010103001231)(AI101340013790001231)1()1()3(3)1 ()2(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页4 / 5 1013402111100012312)3()2(9431002111100012314)2() 3(9431007320101885031)2()3()1() 1()3()2(943100732010311031)3()2() 1() 1()2(9437323111A（2） A =11212436131001120101240013613)(AI100112010124031001)3()2()1(1621102101000310012) 1()3)2)3()2(210100162110031001)3)(2(210000172010031001)1()1()1)(3()2(A-1 =21017203117设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA13102501)1()2(131025012)2()1(13100121)3() 1 ()2(10530121)(IA13251A X=BA1X = 110118求解下列可分离变量的微分方程：(1) yxye答案：yxeexydddxedyexycxyee（2）23eddyxxyx答案：dxexdyyx23cxyxxee319. 求解下列一阶线性微分方程：（1）3) 1(12xyxy答案：3)1()(,12)(xxqxxp，代入公式锝cdxexeydxxdxx12312) 1(=cdxexexx)1ln(23)1ln(2)1(=cdxxxex23)1ln(2) 1() 1()21()1(22cxxxy（2）xxxyy2sin2答案：xxxqxxp2sin2)(,1)(，代入公式锝cdxxexeydxxdxx112sin2cdxxexexxln2sin2lncdxxxxx12sin2cxxdx22sin)2cos(cxxy20.求解下列微分方程的初值问题：(1)yxy2e,0)0(y答案：yxeexy2dddxedyexy2，cxy221ee，把0)0(y代入c0021ee，C=21，21e21exy(2)0exyyx,0)1(y答案：xexyXy1，xex)(,1)(XQXXP，代入公式锝cdxexeeydxxxdxx11cxdxxexcdxexeexxxx1lnln，把0) 1(y代入c)exxy(1，C= -e , e)e(1xxy21.求解下列线性方程组的一般解：（1）03520230243214321431xxxxxxxxxxx答案：4324312xxxxxx（其中21, xx是自由未知量）000011101201111011101201351223111201A所以，方程的一般解为4324312xxxxxx（其中21, xx是自由未知量）（2）5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx000005357531054565101)2()2()1(000005357531024121)51()2(000003735024121)2() 3(373503735024121) 1() 1()3()2()1 ()2(5114711111224121)2(),1 (5114712412111112)(bA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5 / 5 535753545651432431xxxxxx（其中21,xx是自由未知量）22.当为何值时，线性方程组43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解，并求一般解。答案：800000000039131015801)2()1(800000000039131024511)2()2()4()1()2()3(1418262039131039131024511)7() 1()4()3()1()3()2() 1()2(10957332231131224511)(bA.当=8 有解 ,3913158432431xxxxxx（其中21,xx是自由未知量）23ba,为何值时，方程组baxxxxxxxxx3213213213221答案：311300120111) 2() 2()3(111140120111) 1()1 () 3()1()1() 2(2131211111bababaA当3a且3b时，方程组无解；当3a时，方程组有唯一解；当3a且3b时，方程组无穷多解。24求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：qqqC625.0100)(2（万元） , 求：当10q时的总成本、平均成本和边际成本；当产量q为多少时，平均成本最小？答案：185)10(C（万元）qqqqqcqc625. 0100)()(, 5.18)10(C（万元 /单位）65. 0)(qqc,11)10(C（万元 /单位）625.0100)()(qqqqcqc,025.01002)(qqc,当产量为20 个单位时可使平均成本达到最低。（2） .某厂生产某种产品q件时的总成本函数为201.0420)(qqqC（元），单位销售价格为qp01.014（元 /件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少答案： R(q)= 201.014qq, 2002.010)()()(2qqqcqRqL, 004.010)(qqL当产量为250 个单 位时可使利润达到 最大，且最大利润为1230)250(L（元）。（3）投产某产品的固定成本为36(万元 )，且边际成本为402)(qqC( 万元 /百台 )试求产量由4 百台增至6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解：当产量由4百台增至6 百台时，总成本的增量为答案：64642)40()402()4()6(qqdqqCCC=100（万元）qqqdqqqc02364036)402()(,qqqqcqc3640)()(_, 03612_)(qqc, 当6x（百台）时可使平均成本达到最低. （4）已知某产品的边际成本)(qC=2（元 /件），固定成本为0，边际收益qqR02.012)(，求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？答案：002.010)()()(qqcqRqL, 当产量为500 件时，利润最大. 25)01. 010()02.010(5505002550500qqdqqL（元）即利润将减少25 元 . 四、证明题1试证：若21, BB都与A可交换，则21BB，21BB也与A可交换。证明：)()(21212121BBAABABABABABB，212121BABABBABB2试证：对于任意方阵A，TAA，AAAATT,是对称矩阵。提示：证明TTTTTAAAAAAAATT)()(，AAAAAAAAAAAATTTTTTTTTTTT)()( ,)()(3设BA,均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：BAAB。提示：充分性：证明：因为BAABABBAABABTTT)(必要性：证明：因为AB对称，BAABABABTTT)(，所以BAAB4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且TBB1，证明ABB1是对称矩阵。证明：TTTTBABBABABB)()()(11-1TT=ABB1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页