学习必备欢迎下载函数专题七方程根的分布及相关不等式问题解法总结根的分布指的是探讨方程在指定区间内根的存在性、个数的问题，高中数学常见于一元二次函数或与一元二次函数有关的问题中。一、一次方程根的分布例 1、已知函数4mx2)x(f，若在区间 2，1上存在0x，使0)x(f0，则实数m 的取值范围是 _。小结： 一次方程根的分布可以直接解得根后满足条件或在区间（a， b）上利用0bfaf处理。二、一元二次方程0a0cbxax2根的分布下面讨论当a0 时一元二次方程0cbxax2根的分布。（一）不限制根的区间：（1）无根： 0。（二）限制根的区间1、指定区间内有两根、两个根在不同区间内21xmx；pxnxm21；21xnmx；qxpnxm21。根的分布图象表达式21xmx0)(mfpxnxm210)(0)(0)(pfnfmf21xnmx0)n(f0)m(fqxpnxm210)(0)(0)(0)(qfpfnfmf、两个根在同一个区间内21xxm；mxx21；nxxm21。x y o m x1 x2 x2 y o n x1 xm p q x2 y o n x1 xm p x2 y o m x1 xn 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载根的分布图象表达式21xxmma2b0；0)(20mfmabmxx21ma2b0；0)(20mfmabnxxm21na2bm0；0)n(f0)m(fna2bm02、指定区间内恰有一个根在（ m，）内恰有一根；在（， m）内恰有一根；在（m，n）内恰有一根。根的分布图象表达式在（ m，）内恰有一根mab20；0)(mf在（，m）内恰有一根mab20；0)(mf在（ m，n）内恰有一根na2bm0；0)()(nfmf3、指定区间内至多或至少有一个根至少有一个根在（ m，）内至少有一根：分两种情况：在（m，）内恰有一根；在（m，）内有两根。在（，m）内至少有一根：x y o m x1 x2 x y o m x1= x2x y o m x1 x2 x y o m x1= x2x2 y o x1 xm n x2 y o x1 xm n x y o m x1= x2n x2 y o x1 xm n x y o m x1=x2 x y o m x1 x2 x y o m x1 x2 x y o m x1=x2 y o x1=x2 xm n 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载分两种情况：在（，m）内恰有一根；在（，m）内有两根。在（ m，n）内至少有一根：分两种情况：在（m，n）内恰有一根；在（m，n）内有两根。至多有一个根在（ m，）内至多有一根：分三种情况：在（m，）内恰有一根；在（，m内有两根；无根。在（，m）内至多有一根：分三种情况：在（，m）内恰有一根；在m，）内有两根；无根。在（ m，n）内至多有一根：分四种情况：在（m，n）内恰有一根；在（， m内有两根；在n，）内有两根；无根。小结： 一元二次方程根的分布关键在于正确地作出符合题意的抛物线（实际作图时最容易发生情况遗漏），一般要先理解习题要求，再根据需要依次考虑习题中抛物线的四个方面（开口方向、判别式、对称轴与区间的相对位置、区间端点的函数值的符号）的可能性进行作图。一、基础题型例 2、已知关于x的二次方程01222mmxx，分别求满足下列条件的m 的范围。一根比1 小，另一根比1 大；一根比0 小，另一根比1 大；两根都大于0；两根1x（-1，0） ，2x（1，2） ；两根都在区间（0，1）内；恰有一根在（1，+）内；至少有一根在（1，+）内。小结： 要正确作图可分以下几个步骤：理解清楚题意：方程有没有根？有几个根？根分布在哪（两）个区域？是否需要分情况讨论？开始作图：依次考虑以下方面：开口方向有没有确定？符合题意的“ ”有哪些情况？是否需要考虑对称轴相对与根的分布区间的位置关系？分布区间的端点在图象上对应点位置在 x 轴上？上方？下方？例 3、已知a3axx)x(f2，若 x2， 2，2)x(f恒成立，求a 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载小结： 不等式问题要先转化为方程的根的分布问题。不等式恒成立问题也可用变量分离法求解。练：1、已知关于 x 的方程0m24x1m2x2，求满足下列条件的m 的取值范围。两个正根；有两个负根；两个根都小于1；一个根大于2，一个根小于2 ；两个根都在（0， 2）内；两个根有且仅有一个在（0，2）内；一个根在（2，0）内，另一个根在（1，3）内；二、综合应用例 4、关于x的方程0b2axx2的一个实根在0， 1上，另一根在 1， 2上，则b3a2的最大值为_。例 5、已知集合A=1mxxy|y,x2，B=3x0 , 3yx|y,x，若 AB 是单元素集，求实数 m 的取值范围。例 6、已知函数2xx6xf的定义域为A，函数3kx4kx1xg2的定义域为B，若AB，求实数k 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载例 7、求函数2x1xx1xy2的值域。三、复合型方程根的分布复合方程在探讨根的情况时，一般按复合函数的方法先换元成基本函数，然后按照从外到内的顺序讨论方程根的情况。例 8、已知函数)x(fy和)x(gy的图象如下所示：给出下列四个命题：方程0)x(gf有且仅有6 个根方程0)x(f g有且仅有3 个根方程0)x(f f有且仅有5 个根方程0)x(gg有且仅有 4 个根其中正确的命题是_。 （将所有正确的命题序号填在横线上）例 9、若关于 x 的方程08a3a49a2xx在 x1，1上有解，求实数a的取值范围。例 10、设定义域为R 的函数4x)x(f2，若关于x 的函数c)x(f4)x(fy2有 8 个不同的零点，则实数 c 的取值范围是_。小结： 复合型方程根的分布问题运用换元法先转化为基本函数问题，按照从外而内的思路分步解决问题。x y o 1 2 2 1 -1 -2 -1 -2 y=f(x) x y o 1 2 2 1 -1 -2 -1 -2 y=g(x) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载练：2、设关于x的方程bbxx(0241R） ，若方程有实数解，求实数b 的取值范围；当方程有实数解时，讨论方程实根的个数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载巩固训练：1、若关于 x 的方程01x1ax2有两相异实根，且两根均在区间0，2上，求实数a 的取值范围。2、求实数m的范围，使关于x的方程062)1(22mxmx。有两个实根，且一个比大，一个比小；有两个实根,，且满足410；至少有一个正根。3、关于 x 的方程02axx2至少有一个小于1的根，求实数a的取值范围。4、若二次函数01pp2x2p2x4)x(f22在区间 1， 1内至少存在一个实数c，使0)c(f，求实数p 的取值范围。5、设 2,4)A，240Bx xax，若BA，求实数 a 的取值范围。6、已知方程0m2)1m2(2mxx2在（，1）上有两个根，求m的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载参考答案：例 1、简析：（一）令04mx2)x(f，显然0m，解得：m2x，1m22，2m或1m。（二）由题意，有04m24m41f2f，2m或1m。例 2、简析： 设函数1m2mx2xxf2，则4m8m41m24m222。01m2m21)1 (f，21m。01f01m20f，21m。法（一）00f0m0，21m21。法（二）涉及到根的正负问题也可用韦达定理解决：01m2xx0mxx02121，21m21。02f01f00f01f，21m65。01f00f1m00，21m21。1m0或01f0，21m。1m0或01f0或01f1m0，21m。例 3、简析： 设函数0a1axx2xfxg2对任何 x2，2恒成立，如图有3种可能情形： =0；02f22a0；02f22a0，练：x y o 2 -2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载1、简析： 设函数m24x1m2xxf2，5m23m2m2441m220m240f021m20，25m。0m240f021m20，2m23。041f121m20，23m。06m2)2(f，3m。06m22f0m240f221m200，m06m2m242f0f，3m或2m。010m43f041f0m240f0m6102f，m。例 4、简析： 设函数b2axxxf2，则02f01f00f，得02ba01b2a0b，作出可行域，如图，设l：b3a2z，当直线 l 过点 A（ 3，1）时， z=2a+3b 有最大值为9。例 5、 简析：由题意，联立方程组3x03yx1mxxy2， 消去 y， 得：3x004x1mx2A a b o a-b-2=0 a-2b-1=0 l 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载恰有一解，321m003m5m161m2或03f321m或03f，310m或3m。例 6、简析：3,2A，函数)x(g定义域：03kx4kx2，设函数3kx4kxxh2，AB，有03kk4160k或015k103h05k52h3k24200k，解得：4k或23k4，即23k。例 7、简析： 函数可化为方程2x01yx1yyx2有解，y=0 时，01x，1x有解， y=0；y0 时，有01y32f2y21y01yy41y2或01y32f1y0；y0 时，03f031f，2372a318a4 时，图中cy与0tt4ty2无交点，原函数无零点；当 c=4 时，图中cy与0tt4ty2有一个交点（ 2，4） ，图中2t与曲线有四个交点，原函数共有4 个零点，不符合；当 0c4 时，图中cy与0tt4ty2有两个交点，设横坐标分别为1t、2t，则2,0t1、4,2t2，图中1tt、2tt与曲线各有4 个交点，原函数共有8 个零点，符合题意；当 c=0 时，图中0t或4t，图中，0t、4t与曲线各有2 个、 3 个交点，原函数共有5 个零点，不符合；当 c0 时，图中有一个交点，设4tt1，图中4tt1与曲线有2 个交点，原函数共有2 个零点，不符合；t y o 3 31-1 x y o 3 31-1 x t o 4 t y o 4 2 y=c 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载综上，当0c4 时函数c)x( f4)x(fy2有 8 个不同的零点。练：2、简析： 方程可化为x2x222b，设x2t，得：0tt2tb2，设函数by、0tt2ty2，并作图。由图知，当1b时，方程有解；由图知，当1b时，12tx，1x，原方程有一根；当0b1时，函数by、0tt2ty2的图象有两个交点，不妨设其横坐标分别为1t、2t，则1xt2t、2xt2t分别有一根，原方程有两根；当0b时，函数by、0tt2ty2的图象有一个交点，不妨设其横坐标为3t，则3xt2t一根，原方程有一根；综上，当1b或0b时，方程有一根；当0b1时，方程有两根。巩固训练：1、1a232、1m；45m57；1m。3、2a4、23p35、3a06、41m92t y o -1 1 y=b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页