名师总结优秀知识点圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义： 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程222()()xaybr这个方程叫做圆的标准方程。王新敞说 明： 1、若圆心在坐标原点上，这时0ab，则圆的方程就是222xyr。2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要, ,a b r三个量确定了且r0，圆的方程就给定了。就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件王新敞确定, ,a b r，可以根据条件，利用待定系数法来解决。（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(rbyax,展开可得02222222rbabyaxyx。可见，任何一个圆的方程都可以写成:220xyDxEyF问题：形如220xyDxEyF的方程的曲线是不是圆？将方程022FEyDxyx左边配方得：22224()()222DEDEFxx（1）当FED4220 时，方程（ 1）与标准方程比较，方程022FEyDxyx表示以(,)22DE为圆心，以2242DEF为半径的圆。,（3）当FED4220 时，方程022FEyDxyx没有实数解，因而它不表示任何图形。圆的一般方程的定义：当224DEF0 时，方程220xyDxEyF称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x和2y的系数相同，不等于零；（2）没有 xy 这样的二次项。（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离 -求距离；(2)相切 -求切线；（3）相交 -求焦点弦长。2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断 : 当 dr 时，直线与圆相离；当dr 时，直线与圆相切;当 dr 时，直线与圆相交。代数方法主要步骤：（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程（3）求出其的值，比较与 0 的大小：（4）当 0时，直线与圆相交。【典型例题】类型一：圆的方程例 1 求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系变式 1：求过两点)4,1(A、)2,3(B且被直线0y平分的圆的标准方程. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页名师总结优秀知识点变式 2：求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆上所有的点均关于直线0y对称的圆的标准方程. 分析： 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax圆心在0y上，故0b圆的方程为222)(ryax又该圆过)4,1 (A、)2,3(B两点22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r所以所求圆的方程为20)1(22yx解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点， 所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上， 又因为13124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23xy即01yx又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C半径204) 11 (22ACr故所求圆的方程为20)1(22yx又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254) 12(22点P在圆外例 2： 求过三点 O（0，0） ，M（ 1，1） ，N（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。解： 设圆的方程为：x2 y2 Dx Ey F 0，将三个点的坐标代入方程02024020FEDFEDF F 0， D 8， E 6 圆方程为： x2 y28x 6y 0 配方： （ x 4 ）2 （ y 3 ）2 25 圆心：（ 4，3 ） ， 半径 r 5 例 3 求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程分析： 欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解： 圆和直线02yx与02yx相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02yx和02yx的距离相等5252yxyx两直线交角的平分线方程是03yx或03yx又圆过点)5,0(A，圆心C只能在直线03yx上设圆心)3,(ttCC到直线02yx的距离等于AC，22)53(532tttt化简整理得0562tt解得：1t或5t圆心是)3,1 (，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55所求圆的方程为5)3()1(22yx或125)15()5(22yx说明： 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页名师总结优秀知识点过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 4已知圆422yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线解： 点42，P不在圆O上，切线PT的直线方程可设为42xky根据rd21422kk.解得43k，所以4243xy，即01043yx因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为2x说明： 上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解决（也要注意漏解） 还可以运用200ryyxx，求出切点坐标0x、0y的值来解决，此时没有漏解例 5 两圆0111221FyExDyxC：与0222222FyExDyxC ：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程分析： 首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“ 设而不求 ” 的技巧解： 设两圆1C、2C的任一交点坐标为),(00yx，则有：0101012020FyExDyx0202022020FyExDyx得：0)()(21021021FFyEExDDA、B的坐标满足方程0)()(212121FFyEExDD方程0)()(212121FFyEExDD是过A、B两点的直线方程又过A、B两点的直线是唯一的两圆1C、2C的公共弦AB所在直线的方程为0)()(212121FFyEExDD说明： 上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“ 设而不求 ” 的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛例 6、求过点(3,1)M，且与圆22(1)4xy相切的直线l的方程 解：设切线方程为1(3)yk x，即310kxyk，圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2，22|31|21kkk，解得34k， 切线方程为31(3)4yx，即34130xy，当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为3x，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线3x也适合题意。所以，所求的直线l的方程是34130xy或3x类型三：弦长、弧问题例 7、求直线063:yxl被圆042:22yxyxC截得的弦AB的长 . 例 8、直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页名师总结优秀知识点解：依题意得，弦心距3d，故弦长2222drAB，从而 OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3AOB. 例 9、求两圆0222yxyx和522yx的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例 10、已知直线0323yx和圆422yx，判断此直线与已知圆的位置关系. 例 11、若直线mxy与曲线24xy有且只有一个公共点，求实数m的取值范围 . 解：曲线24xy表示半圆)0(422yyx，利用数形结合法，可得实数m的取值范围是22m或22m. 例 12、圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线1l、2l的方程，从代数计算中寻找解答解法一： 圆9)3()3(22yx的圆心为)3,3(1O，半径3r设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d如图，在圆心1O同侧，与直线01143yx平行且距离为1 的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意 又123dr与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线01143yx，且与之距离为1 的直线和圆的交点设所求直线为043myx，则1431122md，511m，即6m，或16m，也即06431yxl ：，或016432yxl ：设圆9)3()3(221yxO：的圆心到直线1l、2l的距离为1d、2d，则34363433221d，143163433222d精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页名师总结优秀知识点1l与1O相切，与圆1O有一个公共点；2l与圆1O相交，与圆1O有两个公共点即符合题意的点共3 个类型五：圆与圆的位置关系例 13、判断圆02662:221yxyxC与圆0424:222yxyxC的位置关系，例 14：圆0222xyx和圆0422yyx的公切线共有条。解：圆1)1(22yx的圆心为)0 , 1(1O，半径11r，圆4)2(22yx的圆心为)2,0(2O，半径22r，1, 3,5122121rrrrOO.212112rrOOrr，两圆相交 .共有 2 条公切线。类型六：圆中的最值问题例 15：圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是解：圆18)2()2(22yx的圆心为（ 2，2） ，半径23r，圆心到直线的距离rd25210，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(rrdrd. 例 16(1)已知圆1)4()3(221yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求22yxd的最大、最小值(2)已知圆1)2(222yxO ：，),(yxP为圆上任一点求12xy的最大、最小值，求yx2的最大、最小值分析： (1)、 (2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：(1)圆上点到原点距离的最大值1d等于圆心到原点的距离1d加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d等于圆心到原点的距离1d减去半径1所以6143221d4143222d所以36maxd16mind(2)设kxy12，则02kykx由于),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值由11222kkkd，得433k所以12xy的最大值为433，最小值为433令tyx2，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值由152md，得52m所以yx2的最大值为52，最小值为52例 17：已知)0, 2(A，)0,2(B，点P在圆4)4()3(22yx上运动，则22PBPA的最小值是. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页名师总结优秀知识点解：设),(yxP，则828)(2)2()2(222222222OPyxyxyxPBPA.设圆心为)4,3(C，则325minrOCOP，22PBPA的最小值为268322. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页