1 目录人教版五年级下册数学第一单元知识点易错点汇总. 3 一、图形的平移 . 3 二、轴对称 . 3 三、轴对称图形的画法 . 3 四、确定轴对称图形的对称轴 . 3 六、图形旋转的特点 . 4 七、图形旋转的三要素 . 4 八、旋转图形的画法 . 4 第一单元自我检测 . 5 人教版五年级下册数学第二单元知识点易错点汇总. 8 一、倍数与因数的关系 . 8 【知识点 1】倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。 . 8 【知识点 2】倍数因数只考虑正数，小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。 . 8 【知识点 3】没有前提条件确定倍数与因数 . 8 【知识点 4】有前提条件的情况下确定倍数与因数 . 9 【知识点 3】关于倍数因数的一些概念性问题 . 9 二、 2、3、5 的倍数的特征 . 10 【知识点 1】2、3、5 的倍数特征 . 10 【知识点 2】一些特殊数的倍数的特征 . 11 【知识点 3】最大公因数与最小公倍数 . 11 三、质数和合数 . 12 【知识点 1】质数和合数的相关定义 . 12 【知识点 2】分解质因数（相加和相乘） . 13 【知识点 3】确定数字 . 14 人教版五年级下册数学第三单元知识点易错点汇总. 15 一、长方体和正方体的认识 . 15 【知识点 1】要素：棱、面、顶点 . 15 【知识点 2】棱长 . 16 【知识点 3】确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。 . 17 【知识点 4】折叠可以组合成正方体: . 17 【知识点 5】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响 . 18 二、长方体和正方体的表面积 . 19 【知识点 1】 面积公式 . 19 【知识点 2】长方体表面求法的变形： . 20 【知识点 3】棱长变化对表面积的影响： . 21 三、长方体和正方体的体积 . 25 【知识点 1】容积与体积基本概念 . 25 【知识点 2】体积大小的比较 . 26 【知识点 3】切割组合对体积的影响 . 26 【知识点 4】砌墙类问题 . 27 【知识点 5】填土抬高地面类问题 . 28 【知识点 6】不规则及液面计算 . 28 【知识点 7】展开图形拼长方体或正方体 . 29 【知识点 9】棱长变化对体积的影响 . 29 四、容积与体积的异同 . 30 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 38 页2 【知识点 1】容积和体积的差异 . 30 四分数的意义和性质. 31 分数的意义和性质知识要点. 32 【分数的意义：】 . 32 【分数与除法】 . 32 【真分数与假分数】 . 33 【最大公因数】 . 34 【约分】 . 35 【通分】 . 36 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 38 页3 人教版五年级下册数学第一单元知识点易错点汇总图形的变换包括：、。其中只是改变原图形位置的变换是、。一、图形的平移1、平移不改变图形的和。2、平移的三要素：原图形的位置、平移的方向、平移的距离。平移的方向一般为：水平方向、垂直方向两种。平移的距离：一般为几个单位长度（也即几个方格）。(2) 平移是整个图形的移动，图形的每个关键点都需要按要求移动。(3) 图形平移的步骤：（1）确定原图形位置、平移的方向、平移的距离。（2）找出原图形的各关键点。（3）根据题目要求将各个点依次平移。（4）顺次连接平移后的各点，标明各点名称。二、轴对称1、一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线的图形能够重合，就说这一个图形是轴对称图形。这条直线叫做图形的。2、轴对称图形一定有对称轴，而且至少有条对称轴，常见的例如：、线段、角 ；有两条对称轴的常见图形有、；有三条对称轴的常见图形有；正方形有条对称轴；五角星和正五边形有条对称轴；正六变形有条对称轴。三、轴对称图形的画法（16）轴对称图形的性质： （1）对称轴两边的图形一定完全相同（2）对应点也关于对称轴对称（3）对应点的连线垂直于对称轴（4）对应点到对称轴的距离相等（17）轴对称图形的画法： （1）根据题意确定已知图形以及对称轴位置（2）找出已知图形的关键点（3）一次过每个点作垂直于对称轴的虚线（根据性质3）（4）在对称轴另一侧确定各对应点位置（根据性质4）（5）标明各点对应名称，顺次连接各对应点得到轴对称图形。四、确定轴对称图形的对称轴沿某条直线对折之后，两边的图形能够完全重叠，这条直线就是图形的对称轴。（3）轴对称和成轴对称轴对称图形成轴对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 38 页4 区别只有一个图形有两个图形至少有一条对称轴只有一条对称轴联系沿一条直线折叠 , 直线两旁的部分能够完全重合都有对称轴如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形六、图形旋转的特点1、旋转前后图形形状和大小都不变。2、每组对应点与旋转中心的连线所成角的度数都等于旋转角度。3、各对应点之间的距离也相等。七、图形旋转的三要素旋转中心：可以在已知图形上也可以在已知图形外。旋转方向：顺时针和逆时针。旋转角度：常见的有45、90180等。八、旋转图形的画法（1）确定旋转中心、旋转方向、旋转角度（2）找去原图形的各关键点（3）依次将各关键点与旋转中心连接（用虚线）（4）将各连线按要求旋转一定角度后，确定各虚线的长度，标出对应点。（5）将个对应点连接并标出名称。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 38 页5 第一单元自我检测一、想一想，选一选。（每空 1 分，共 8 分）1、不是轴对称图形的是（） 。W A E S2、是轴对称图形的是（） 。25 3 83、等边三角形（）对称轴，平行四边形（）对称轴。有一条有三条没有有无数条4、有一个电话号码是 7 位数，逆时针旋转 180以后，号码分别是1606199。原来的电话号码是 （） 。9916061 6616061 6619091 66190615、仔细观察下列图形，图（）是由轴对称变化得到的，图（）是由平移得到的，图（）是由旋转得到的。二、画出下列图形的对称轴。 （每个 2 分，共 16 分）三、下面的图案各是从哪张纸上剪下来的？请连线。（每个 2 分，共 8 分）四、看图填一填。（每空 2 分，共 10 分）（1）指针从“ 1”绕点 O顺时针旋转 30后指向。（2）指针从“ 1”绕点 O顺时针旋转后指向 3。（3）指针从“ 1”绕点 O顺时针旋转 90后指向。（4）指针从“ 1”绕点 O顺时针旋转后指向 7。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 38 页6 三、你知道方格纸上图形的位置关系吗？（每空2 分，共 8 分）（1）图形 B可以看作图形 A绕点顺时针旋转 90得到的。（2）图形 C可以看作图形 A绕点 O顺时针旋转得到的。（3）图形 B绕点 O逆时针旋转 180到图形所在位置。（4）图形 A可以看作图形 D绕点 O逆时针旋转得到的。六、画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。（每个 10 分，共 20 分）七、想一想，画一画。（每个 10 分，共 20 分）（1）画出三角形 AOB 绕点 O 顺时针旋转 90后的图形。八、小小设计师：利用我们学过的对称、平移或旋转的知识，将下面的图形进行变换，设计一个美丽的图案。（ 10 分）（2）绕点 O 逆时针旋转 90精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 38 页7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 38 页8 人教版五年级下册数学第二单元知识点易错点汇总一、倍数与因数的关系【知识点 1】倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。例如：6 是倍数、 3 和 2 是因数。 （）改正： 6 是 3 和 2 的倍数， 3 和 2 是 6的因数。练习：（1）85=40， （）和（）是（）的因数，（）是（）和（）的倍数。（2）因为 369=4，所以（）是（）和（）的倍数， （）和（）是（）的因数。（3）在 186=3中，18 是 6 的（） ，3 和 6 是（）的（） 。（4）在 147=2中， （）能被（）整除， （）能整除（） ， （）是（）的倍数， （）是（）的因数。（5）若 AB=C （A、B、C都是非零自然数），则 A是 B的（）数， B是 A的（）数。（6）如果 A、B是两个整数（ B0） ，且 AB2，那么 A是 B的，B是 A的。（7）判断并改正：因为76=42，所以 42 是倍数， 7 是因数。（）因为 155=3，所以 15 和 5 是 3 的因数， 5 和 3 是 15的倍数。 （） 5是因数， 15 是倍数。 （）甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数。（）（8）甲数 3=乙数，乙数是甲数的（） 。 A、倍数 B、因数 C、自然数【知识点 2】倍数因数只考虑正数，小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。例如：0.6 5=3，虽然可以表示 0.6 的 5 倍是 3 但是， 0.6 是小数是不讨论倍数因数问题。因此类似的：因为0.6 5=3，所以 3 是 0.6 和 5 的倍数。是错误的说法。练习：（1）有 52=2.5 可知（） A、5 能被 2 除尽 B 、2 能被 5 整除 C 、5 能被 2 整除 D 、2 是 5 的因数， 5 是 2 的倍数（2）365=71 可知（） A、5 和 7 是 36 的因数 B 、5 能整除 36 C 、36 能被 5 除尽 D 、36 是 5 的倍数（3）属于因数和倍数关系的等式是（） A、20.250.5 B、22550 C 、200 【知识点 3】没有前提条件确定倍数与因数例如：36 的因数有（） 。确定一个数的所有因数，我们应该从1 的乘法口诀一次找出。如：136=36、218=36、312=36、49=36、66=36因此 36 的所有因数为： 1、2、3、4、6、9、12、18、36重复的和相同的只算一个因数。一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。例如：7 的倍数（） 。确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如：17=7、27=14、37=21、47=28、57=35还有很多。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 38 页9 因此 7 的倍数有： 7、14、21、28、35、42一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。练习：（1）20 的因数有：（2）45 的因数有：（3）24 的倍数有：（4）17 的倍数有：（5）下面的数，因数个数最多的是（） 。 A、18 B、 36 C、40 （6）判断并改正： 14 比 12 大，所以 14 的因数比 12 的因数多（） 1是 1，2，3，4，5 的因数（）一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。（）一个数的最小倍数是它本身（） 12是 4 的倍数， 8 是 4 的倍数， 12 与 8 的和也是 4 的倍数。（）凡是 8 的倍数也一定是 2 的倍数。 （）（7） 幼儿园里有一些小朋友， 王老师拿了 32 颗糖平均分给他们， 正好分完。小朋友的人数可能是多少？（8）小红到超市买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3 本同样的日记本，售货员阿姨说应付35元，小红认为不对。你能解释这是为什么吗？【知识点 4】有前提条件的情况下确定倍数与因数例如：25 以内 5 的倍数有（ 5 、10、15、20、25 ） 。特别注意前提条件是25 以内！例如：5、1、20、35、40、10、140、2 以上各数中，是 20 的因数的数有（） ；是 20的倍数的数有（） ；既是 20 的倍数又是 20 的因数的数有（） 。首先我们应该明确20 的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不能填入括号的！练习：（1）100 以内 19 的倍数有：（2）在 4，6，8，10，12，16，18，20，22，24，28，32，36 中 4的倍数： 36的因数：一个数既是 6 的倍数，又是 60的因数，这个数可能是用 1、5、6、8、9 组成的数中，是 3 的倍数的数有是 2 的倍数的数有。【知识点 3】关于倍数因数的一些概念性问题一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。1 是任一自然数（ 0 除外）的因数。也是任一自然数（0 除外）的最小因数。一个数的因数最少有1 个，这个数是 1。除 1 以外的任何整数至少有两个因数（0 除外） 。一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。一个数的最小倍数 =一个数的最大因数 =这个数练习：一个数的倍数个数是（） ，最小的倍数是（） ， （）最大的倍数。一个数的因数的个数是（） ，最小的因数是（） ，最大的因数是（） 。在研究因数和倍数时，我们所说的数一般指的是（） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 38 页10 判断并改正：一个数的因数都比他的倍数小。（） 1是所有的自然数的因数。（）一个数的因数一定小于他本身。（）一个数的倍数一定比他的因数大。（）任何一个数的倍数个数一定比因数个数多。（）二、2、3、5 的倍数的特征【知识点 1】2、3、5 的倍数特征个位上是 0，2，4，6，8 的数都是 2 的倍数。例如： 202、480、304，都能被 2 整除。个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数。例如： 5、30、405 都能被 5 整除。一个数各个数位上的数的和是3 的倍数，这个数就是3 的倍数。例如： 12、108、204 都能被 3 整除。个位上是 0 的数既是 2 的倍数又是 5 的倍数。例如： 80、20、70、130 等。个位上是 0 且各位数字的和是3 的倍数，那么这个数既是2 的倍数又是 3 和 5 的倍数。例如： 120、90、180、270 等。自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。也就是说是2 的倍数的数也叫做偶数（ 0 也是偶数），不是 2 的倍数的数也叫做奇数。 （因此在自然数中，除了奇数就是偶数）偶数偶数 =偶数偶数偶数 =偶数偶数偶数 =偶数偶数奇数 =奇数偶数奇数 =奇数偶数奇数 =偶数奇数奇数 =偶数奇数偶数 =奇数奇数奇数 =奇数奇数奇数 =偶数无论多少个偶数相加都是偶数偶数个奇数相加是偶数奇数个奇数相加是奇数练习：（1）在 27 、68、44、72、587、602、431、800 中，把奇数和偶数分别填在相应的圈内。奇数偶数（2）按要求填数。 3的倍数： 2 ，3 ， 1 ， 7 4 ， 8 6 ， 4 6。 2和 3 的倍数： 4 ， 1 ，6 ， 4 ，9 ，5 ， 6 。 2、3 和 5 的倍数： 0 ， 2 。写出 5 个 3 的倍数的偶数：写出 3 个 5 的倍数的奇数：（4）猜猜我是谁。我比 10小，是 3 的倍数，我可能是（） 。我在 10和 20 之间，又是 3 和 5 的倍数，我是（） 。我是一个两位数且是奇数，十位数字和个位数字的和是18，我是（） 。一个六位数 548能同时被 3、4、5 整除，这样的六位数中最小的一个是（） 。一个四位数 698 ，如果在个位上填上数字（） 。那么这个数既是 2 的倍数，又是 5 的倍数。 117 既是 3 的倍数，又是 5 的倍数； 249 既是 2 的倍数，又是 3 的倍数。（6）把下面的数按要求填到合适的位置。 435、27、65、105、216、720、18、35、40 2的倍数（） ；3 的倍数（） ； 3的倍数（） ；2、5 的倍数（） ； 2、3 的倍数（） ；2、3、5 的倍数（） 。同时是 2 和 3 的倍数中，最小的是（） ，两位数中最大的是（） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 38 页11 能同时被、和整除的最小三位数是_ _ ，最大两位数是 _ _ ，最小两位数是 _ _ ，最大三位数是_ _ 。三个连续偶数的和是72，这三个偶数分别是（） 、 （）和（） 。（10）226 至少增加（）就是 3 的倍数，至少减少（）就是 5 的倍数。（11）用 5、6、8 排成一个三位数且是2 的倍数，再排成一个三位数，使他有因数5，各有几种排法？这些数中有 3 的倍数吗？（12）在（）里填上一个数，使87（）是 3 的倍数，共有（）种填法。 A、1 B、2 C、3 D、4 最小的四位奇数比最大的三位偶数大（） 。 A、113 B、13 C、3 A B是一个三位数，已知A+B=14 ，且 A B是 3 的倍数，中可能填的数有（）个。 A、1 B、2 C、3 D、4 （13）判断并改正：两个奇数的和，可能是偶数。（）最小的奇数是 1，最小的偶数是 2. （）一个自然数不是奇数就是偶数。 （）个位上是 3、6、9 的数都是 3 的倍数。 （）是 3 的倍数的数一定是9 的倍数，是 9 的倍数的数一定是3 的倍数。 （）偶数的因数一定比奇数的因数多。（）【知识点 2】一些特殊数的倍数的特征一个数各位数上的和能被9 整除，这个数就是9 的倍数。但是，能被 3 整除的数不一定能被9 整除；能被 9 整除的数一定能被3 整除。一个数的末两位数能被4 整除，这个数就是4 的倍数。例如： 16、404、1256 都是 4 的倍数。一个数的末两位数能被25 整除，这个数就是25 的倍数。例如： 50、325、500、1675 都是 25 的倍数。一个数的末三位数能被8（或 125）整除，这个数就是8（或 125）的倍数。例如： 1168、4600、5000、12344都是 8 的倍数， 1125、13375、5000都是 125的倍数。如果 a 和 b 都是 c 的倍数，那么 ab 和 ab 一定也是 c 的倍数如果 a 是 c 的倍数，那么 a 乘以一个数（ 0 除外）后的积也是c 的倍数练习：（1）五位数 153能同时被 5 和 9 整除，这样的六位数有（） 、 （） 。（2）六位数 1576能同时被 55整除，这样的六位数有（） 、 （） 。（3）一个比 20 小的偶数，他有因数3，又是 4 的倍数，这个数是（） 。【知识点 3】最大公因数与最小公倍数由于一个数的因数个数是有限的而且最大的因数是这个数本身，最小的因数都是 1. 因此，几个数公共的因数也只考虑其最大的公共因数，而不考虑最小的公共因数。例如：12、16、18 的最大公因数 12的因数有： 1、2、3、4、6、12 16的因数有： 1、2、4、8、16 18的因数有： 1、2、3、6、9、18 因此 12、16、18 的最大的公共因数即最大公因数是：2 练习：（1） 12 的约数有（） ； 18 的约数有（） ； 其中 （）是 12 和 18 的公约数；它们的最大公约数是（） 。（2）求下面数的最大公约数24和 36 54和 72 7和 63 12、18、36 （3）长 180厘米, 宽 45厘米, 高 18 厘米的木料 , 能锯成尽可能大的正方体木块( 不余料 )多少块？公共得因数有：1、2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 38 页12 （4）动物园的饲养员给三群猴子分花生, 如只分给第一群 , 则每只猴子可得 12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20 粒. 那么平均给三群猴子 , 每只可得多少粒 . 同样由于一个数的倍数个数是无限的，但其最小的倍数是他本身，因此在求几个数的公倍数时只能考虑其最小的公共倍数。例如：2、4、5 的最小公倍数 2的倍数有： 2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、 4的倍数有： 4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、 5的倍数有： 5、10、15、20、25、30、35、40、公共的倍数有： 20、40所以 2、4、5 的最小公倍数是： 20 练习：（1）写出 100以内的 4 的倍数有（） ；100 以内的 6 的倍数有（） ；它们的公倍数有（） ；它们的最小公倍数是（） 。（2）210 与 330 的最小公倍数是最大公约数的_倍. （3）是 2、3、5 的倍数的最小三位数是 （） 。一个数是 5 的倍数， 又有因数 3，也是 7 的倍数，这个数最小是（） 。（4）求下面数的最小公倍数 12和 18 13和 11 13.和 65 6、7、21 （5）一串珠子， 5 粒 5 粒数， 6 粒 6 粒数，7 粒 7 粒数， 8 粒 8 粒数都正好数完，这串珠子至少有多少粒？（6）在 11999中的自然数中，是3 的倍数，又是 5 的倍数的数一共有多少个？（7）能被 3、7、8、11四个数同时整除的最大六位数是多少？（8）一堆棋子， 6 个 6 个地数余 4 个，9 个 9 个地数余 4 个，10 个 10 个地数余 8 个，这堆棋子至少有多少个？（10）判断并改正：有因数2，同时又是 5 的倍数的数一定是10 的倍数。 （）三、质数和合数【知识点 1】质数和合数的相关定义一个数，如果只有1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）一个数，如果除了1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1 不是质数也不是合数，自然数除了1 外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数（两个因数）、合数（大于两个因数）和1（1 个因数） 。100百以内的质数： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。共 25 个。除 1 以外所有的质数都是奇数。除 1 以外任意两个质数的和都是偶数最小的质数是 2，最小的合数是 4 质数质数 =合数合数合数 =合数质数合数 =合数练习：像 2、3、5、7 这样的数都是（） ，像 10、6、30、15 这样的数都是（） 。20以内的质数有（） ，合数有（） 。自然数（）除外，按因数的个数可以分为（） 、 （）和（） 。在 16、 23、 169、 31、 27、 54、 102、 111、 97、 121 这些数中， （） 是质数， （）是合数。用 A表示一个大于 1 的自然数， A2必定是（） 。A+A必定是（） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 38 页13 一个四位数，个位上的数是最小的质数，十位上是最小的自然数，百位上是最大的一位数，最高位上是最小的合数，这个数是（）。两个连续的质数是（）和（）；两个连续的合数是（）和（）（8）两个质数的和是12，积是 35，这两个质数是（）A. 3 和 8 B. 2 和 9 C. 5 和 7 （9）判断并改正：一个自然数不是质数就是合数。（）所有偶数都是合数。（）一个合数的因数的个数比一个质数的因数的个数多。（）所有质数都是奇数。（）两个不同质数的和一定是偶数。 （）三个连续自然数中，至少有一个合数。 （）大于 2 的两个质数的积是合数。 （） 7的倍数都是合数。（） 20以内最大的质数乘以10 以内最大的奇数，积是171。 （） 2是偶数也是合数。（） 1是最小的自然数，也是最小的质数。 （）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。 （）（10）下面是一道有余数的整数除法算式：AB=C R 1既不是质数也不是合数。（）个位上是 3 的数一定是 3 的倍数。 （）所有的偶数都是合数。（）所有的质数都是奇数。（）两个数相乘的积一定是合数。（）（11）写出一些三位数，这些数都同时是2、3、5 的倍数。 （每种写两个数）（6% ）有两个数字是质数：有两个数字是合数：有两个数字是奇数：【知识点 2】分解质因数（相加和相乘）把一个合数分成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如 15=35，3 和 5 叫做 15 的质因数。分解质因数，应该从最小的质数开始试积，直到每个因数都是质数时为止。例如：24=212 24=38 26 因此 24=2223 24 23 22 42=（2）+（40）=（3）+（39）=（5）+（37）练习：把 48、51、28 用几个质数相乘的形式分别表示出来。下列的数可以用那两个质数的和表示，并总结规律。 9=（）+（） 42=（）+（） 38=（）+（） 80=（）+（） 50=（）+（） 62=（）+（）（3）用质数填空，质数不能重复18=（）+（）=（）+（）=（）（）（） 12=（）（）（） 30=（）（）（） 8（）（）（）（4）100 以内的哪些数是三个不同质数的积？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 38 页14 【知识点 3】确定数字这类题关键在于准确掌握有关倍数、因数、奇数、偶数、质数、合数以及一些特殊的数。例如：两个质数的和是25，这两个质数的差是多少？首先将 25分解成两个质数的和的形式：25=2+23=3+22=5+20=7+18=11+14=13+12=17+8=19+6 通过分解只有 2 和 23 一种情况，因此这两个质数的差是23-2=21 练习：（1）一个四位数，个位上的数是最小的奇数，十位上的数是最小的偶数，百位上的数是最小的合数，千位上的数既是质数又是偶数，这个四位数是多少？（2）猜电话号码 0592A B C D E F G 提示：A5 的最小倍数 B 最小的自然数 C 5 的最大因数 D 它既是 4 的倍数，又是 4的因数 E 它的所有因数是1，2，3，6 F 它的所有因数是1， 3 G它只有一个因数这个号码就是（3）123 99910001001 的和是奇数还是偶数？请写出理由。 （3% ）（4）有两个质数，和是18，积是 65，这两个质数是（）和（） 。（5） 在 100150中， 找出两个整数，使它们相乘的积等于91 和 187的乘积， 这两个数分别是（）和（） 。（6）连续五个奇数的积的末位数是（） 。（7）两数相加的和是最大的两位数，两数相减的差是大于90 的最小质数，那么这两个数的积是（） 。（8）三个连续自然数的乘积是720，这三个数是（） 、 （）和（） 。（9）把六个数： 85、51、33、91、65、77 分成两组，每组三个数，每组中三个数的乘积相等。写出其中一个组的三个数（）（10）一个数的最大因数和最小倍数相加等于62，这个数是（）（11）一个数是 18 的倍数，它又是 18 的因数，猜一猜，这个数是（） 。（12）一个数是 48 的因数，这个数可能是（）一个数既是 48 的因数，又是 8 的倍数，这个可能是（）一个数既是 48 的因数，又是 8 的倍数，同时还是3 的倍数，这个数是（） * 短除法：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：把 18 分解质因数为18=233 2 18 2 18 24 3 9 3 9 12 3 3 4 18=233 18和 24 的最大公因数是 23=6， 18 和 24 的最小公倍数是 2334=72 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 38 页15 人教版五年级下册数学第三单元知识点易错点汇总一、长方体和正方体的认识【知识点 1】要素：棱、面、顶点要素立体图形棱面顶点数量特征数量特征数量特征长方体12 互相平行的棱长度相等6 相对的面完全相同8 同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高特殊长方体12 垂直于正方形面的棱长度相等6 两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形8 正方体12 所有的棱长度都相等6 所有面都是正方形且完全相同8 一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6 各面是正方形，但不会存在3 个、4 个、5 个面是正方形！练习：（1）判断并改正：长方体的六个面一定是长方形； ( ) 正方体的六个面面积一定相等； ( ) 一个长方体 ( 非正方体 ) 最多有四个面面积相等； ( ) 相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) 一个长方体中，可能有4 个面是正方形。（）正方体是特殊的长方体。 （）长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( ) 有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（）正方体的相邻三条棱的交点叫做顶点。 （）有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（）长方体和正方体最多可以看到3 个面。 （）长方体的 12 条棱中，长、宽、高各有4 条。（）正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（）长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。（）一个长方体中最少有4 条棱长度相等，最多有8 条棱长度相等。（）（7）一个长方体最多有（）个面是正方形，最多有（）条棱长度相等。（8）一个长方体的底面是一个正方形，则它的4 个侧面是（）形。（9）正方体不仅相对的面相等， 而且所有相邻的面 （），它的六个面都是相等的 （）形。（10）把长方体放在桌面上，最多可以看到（）个面。最少可以看到（）个面。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 38 页16 【知识点 2】棱长棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高） 4 长+宽+高=棱长和 4 长方体棱长和 =下面周长 2+高4 长方体棱长和 =右面周长 2+长4 长方体棱长和 =前面周长 2+宽4 正方体棱长和 =棱长 12 棱长=棱长和 12 棱长和的变形：例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图， 打结部分需要 10 厘米彩带，一共需要多长的彩带？分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的，因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。前面和后面的彩带长度 =高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度；上面和下面的彩带长度 =长的长度。需要彩带的长度 =高4+长2+打结部分长度 204+302+10=150cm 练习：（1）分别说出下面长方体长、宽、高。（2）看图 2-6，并填空单位：厘米这个长方体长 ( ) 厘米，宽 ( ) 厘米，高 ( ) 厘米。由一个顶点引出的三条棱的长度和是( ) 厘米。棱长总和是 ( ) 厘米。上下两个面是 ( ) 形。（3）看图 2-7 并填空单位：厘米这是一个 ( ) 体， 正方体的棱长是 ( ) 厘米，棱长之和是 ( ) 厘米，每个面的面积是 ( ) 平方厘米。（11）有一个长方体的鱼缸，长50 厘米，宽 30 厘米，高 30 厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（）米的铝合金。（12）一个长方体的棱长总和是 80 厘米，其中长是 10 厘米，宽是 7 厘米，高是（）厘米。（13）把两个棱长 1 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（）厘米。（14）至少需要（）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18 厘米，高 3 厘米的长方体框架。（6）一个长方体长 12 厘米宽 8 厘米高 7 厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（）。（7）一个长方体的礼堂如图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，每串彩灯长2m ，一共需要多少串彩灯？（15）一个长方体棱长和164cm ，已知长方体的底面周长为 72cm，长方体的高是多少cm ？30 20cm 20cm 30m 6m 50m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 38 页17 （16）一个长方体棱长和164cm ，已知长方体的左面周长为 40cm，长方体的长是多少cm ？（17）一个长方体棱长和164cm ，已知长方体的正面周长为56cm ，长方体的宽是多少cm ？（18）一只鱼缸，棱长和为280cm ，其中，底面周长为50cm ，右面周长为 40cm ，前面周长为 50cm ，鱼缸的长、宽、高各是多少？【知识点 3】确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。长方体一共有（）个面， （）面完全相同，如：前面和（）完全相同， （）和（）完全相同，（）和（）完全相同。根据习惯我们一般认为在一个平面中水平方向的为长，垂直方向的为高。根据这一习惯我们我们只需找到需要的面并根据习惯确定长和宽即可。例如：如图下列长方体的后面是 （） 形状，长是 （）宽是（） ；它的右面是（）形状，长是（）宽是（） ；下面是（）形状，长是（）宽是（） 。练习：（1）长方体展开后每个面都是什么形状？展开后哪俩个面是相对的面？面积相等吗？上下，左右、前后各个面的长和宽分别是原长方体的什么？（2）一个长方体的长是25 厘米，宽是 20厘米，高是 18 厘米，最大的面的长是（）厘米，宽是（）厘米，它的面积是（）平方厘米；最小的面长是（）厘米，宽是（）厘米，它的面积是（）平方厘米。（3）一个长方体的长、宽、高分别是8、6、4 米，它的前后的面的面积是（） ，左右的面的面积是（） ，上下的面的面积是（） 。【知识点 4】折叠可以组合成正方体 : 上下左后右前精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 38 页18 经过折叠可以组合成长方体：练习：下列三个图形中，能拼成正方体的是（）【知识点 5】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响（1）切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4 条长和 4 条宽； （棱长增加的最长）将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4 条宽和 4 条高； （棱长增加的最短）将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4 条棱。（2）组合将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条长和 4 条宽； （棱长减少的最多）将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条长和 4 条高；将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条宽和 4 条高； （棱长减少的最少）将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8 条棱；一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16 条棱，四个组合减少 24 条棱，五个组合减少32 条（公式： 8（N1） ）例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140 厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？分析：五个正方体棱长共有125=60条；将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32 条，还剩 60-32=28 条；即这 28 条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：14028=5cm ；所以一个正方体的棱长和为：512=60cm 。【知识点 6】小正方体拼大正方体的规律由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的， 因此要拼出最小的正方体至少需要222=23=8个（也就是说每条棱上放2 个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3 个小正方体即 333=33=27个，依次类推接下来是444=43=64个；555=53=125个从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求我们能够熟记一些数的立方：23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 小正方体拼大长方体的规律精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 38 页19 规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a 倍，宽是小正方体棱长的b 倍，高是小正方体棱长的c 倍，则，大长方体就是由abc 个小正方体组成的。练习：（1）用棱长为 1 厘米的小正方体拼一个棱长为6 厘米的大正方体需要（）个小正方体。（2）用棱长为 3 厘米的小正方体拼棱长为9 厘米的大正方体需要（）个小正方体。 A、8 个 B、27 个 C、26 个 D、64 个（3）用棱长为 2 厘米的小正方体拼一个稍大一些的正方体至少需要（）个小正方体。 A、4 个 B、8 个 C、16 个 D、27 个（4）下列有一些数量的棱长为1 厘米的小正方体，哪些数量可以拼成较大的正方体。（） A、27 个 B、4 个 C、1 个 D、8 个 E、32 个 F、125个（5）一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为 3 的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（）块这样的小正方体。（6）用（）个棱长为 4cm的小正方体可以拼出一个长为16cm ，宽和高均为 8cm的长方体。（7）一个长方体的盒子里面长5 分米，宽 4 分米，深 3 分米，放棱长为5厘米的正方体小木块共可以放（）块。（8）两个棱长 1 厘米的正方体木块，拼成一个长方体，这具长方体表面积是（）平方厘米。二、长方体和正方体的表面积【知识点 1】 面积公式长方体表面积 =（长宽 +长高 +宽高） 2 =（ab+ac+bc）2 =（前面面积 +上面面积 +右面面积） 2 正方体表面积 =棱长棱长 6=aa6=6a2 =任意一个面的面积 6 前面面积 =后面面积；左面面积 =右面面积；上面面积 =下面面积两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！练习：（1）一个正方体的棱长总和是48分米，它的棱长是（） ，表面积是（） 。（2）一个长方体长 6 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米。这个长方体上下两个面的面积各是（）平方厘米，前后两个面的面积各是（）平方厘米，左右两个面的面积各是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米。（3）判断题：长方体的表面积一定比正方体的表面积大。 ( ) 如果一个长方体能锯成四个完全一样的正方体，那么长方体前面的面积是底面积的 4 倍（）（4）把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（）。（5）长方体的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，高是 2 厘米，它的棱长总和是（）厘米，六个面中最大的面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米。（6）用字母表示正方体（或长方体）的表面积（） ； 用字母表示长方体的体积公式是 （） 。（7）下面哪些问题跟长方体表面积有关。（） A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？ B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？C ： 求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？（8）一个长方体的长是5 分米，宽和高都是4 分米，在这个长方体中，长度为4 分米的棱有（）条，面积是 20 平方分米的面有（）个。（9）一个长方体的金鱼缸，长是8 分米，宽是 5 分米，高是 6 分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 38 页20 理时配上的玻璃的面积是（）。（10）一个正方体的底面积是64 平方厘米，它的表面积是（） 。（11）一个正方体的底面周长是8 厘米，它的表面积是（） 。（12）一个长方体侧面积是360平方厘米，高是 9 厘米，长是宽的1.5 倍，求它的表面积。【知识点 2】长方体表面求法的变形：（1）贴商标类型：只求四周面积。例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5 ，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？（2）游泳池类型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，长宽高分别为10m ，4m ，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？（3）抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm ，12cm ，5cm ，上面有长 14cm ，宽 3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？（4）占地面积问题：只求底面面积。例如：一个长方体蓄水池，长12m ，宽 8m ，深 3m ，这个水池占地面积多少平方米？练习：（1）一盒饼干长 20厘米，宽 15 厘米，高 30 厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是 4 厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？（2）一种长方体硬纸盒，长10 厘米，宽 6 厘米，高 5 厘米，有 2 平方米的硬纸板210 张，可以做这样的硬纸盒多少个？（不计接口）（3）一个通风管的横截面是边长是0.5 米的正方形 , 长 2.5 米. 如果用铁皮做这样的通风管50只, 需要多少平方米的铁皮 ? （4）一个房间的长 6 米，宽 3.5 米，高 3 米，门窗面积是 8 平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4 千克，一共要水泥多少千克？（5）在一节长 120 厘米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做12 节这样的通风管呢？（6）做一个正方体无盖纸盒，棱长是21厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？（7）一个抽屉，长 50厘米，宽 30 厘米，高 10 厘米，做这样的 2 个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？（8）长方体的长为 12 厘米，高为 8 厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？（4）一只鱼缸，棱长和为280cm ，其中，底面周长为50cm ，右面周长为 40cm ，前面周长为 50cm ，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？（10）一块长方形铁皮长60 厘米，宽 40 厘米，如图， 从四个角上剪去边长是 10 厘米的正方形， 然后做成盒子， 这个盒子的表面积是多少平方厘米？（11）一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（）个面 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 38 页21 【知识点 3】棱长变化对表面积的影响：正方体正方体的棱长扩大2 倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4 倍，体积扩大 8 倍；正方体的棱长扩大3 倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9 倍，体积扩大 27 倍；正方体的棱长扩大n 倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大 n3倍。长方体长方体的长宽高同时扩大2 倍，其棱长和也扩大2 倍，表面积扩大4 倍，体积扩大 8 倍；长方体的长宽高同时扩大3 倍，其棱长和也扩大3 倍，表面积扩大9 倍，体积扩大 27 倍；长方体的长宽高同时扩大n 倍，其棱长和也扩大n 倍，表面积扩大n2倍，体积扩大 n3倍。长方体的长扩大 a 倍，宽扩大 b 倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大abc 倍。长方体的长扩大 a 倍，宽扩大 b 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大ab 倍 。长方体的宽扩大 b 倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大bc 倍 。长方体的长扩大 a 倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大ac 倍 。练习：（1）大正方体的棱长是小正方体的棱长的2 倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（）倍。（2）正方体的棱长缩小5 倍，它的体积就缩小（）倍（3）一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（）。（4）正方体的棱长扩大6 倍，表面积扩大（）倍。（5）一个正方体的棱长为4 厘米扩大为 2 倍后，其棱长和为（）厘米，表面积为（）平方厘米比原来扩大了（）。（6）一个长方体长扩大2 倍，高扩大 4倍，体积扩大（）倍。（7）大正方体的表面积是小正方体的4 倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（） ；大正方体棱长之和是小正方体的（） A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍（8）把一个正方体切成大小相等的8 个小正方体， 8 个小正方体的表面积之和（） 。A.等于大正方体的表面积 B.等于大正方体表面积的2 倍 C.等于大正方体表面积的3 倍（9） 判断： 一个长方体的长扩大2 倍， 宽扩大 3 倍， 高扩大 4 倍， 这个长方体的表面积扩大24倍。（）正方体的棱长扩大1.2 倍，它的棱长也扩大1.2 倍，它的表面积就扩大 14.4 倍。 （）有棱长为 1 厘米的正方体拼成较大的正方体，其表面积比原来一个正方体时扩大了4 倍。（）棱长为 16 厘米的正方体，将棱长缩小2 倍后，其棱长为 4 厘米，其表面积也缩小了4 倍。（）【知识点 4】立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）（5）长方体沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。正方体无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 38 页22 例如：两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？要求最省包装纸，即表面积最小，也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多，根据规律应该选择第一种包装方式。练习：（1）把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（）。（2）用两个长 4 厘米、宽 4 厘米、高 1 厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是（）平方厘米，最小是（）平方厘米。（3）把一根长 80厘米，宽 5 厘米，高 3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了（）平方厘米。（4）用两个长、宽、高分别是3 厘米， 2 厘米， 1 厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（）平方厘米。（5）棱长是 a 的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少（）。（6）一根长方体木料，长1.5 米，宽和厚都是2 分米，把它锯成 4 段，表面积最少增加（）平方分米（7）一个长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积最多能增加多少平方厘米？（8）把一根长 2 米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加5.76 平方分米，原来这根方木的底面积是多少平方分米？（9）一根 1.8m长的木材，锯成三个完全相同的正方体后，表面积比原来增加多少平方厘米？（10）一个长方体长为1.5 分米，宽为 0.5 分米，高位 1 分米，锯三刀之后之后可以锯成6 个完全相同的正方体，每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比原来增加多少？（11）把一个长 18 厘米，宽 12 厘米，高 6 厘米的长方体木块截成两个表面积相等的长方体，表面积最小的长方体的表面积是多少？表面积最大的长方体的表面积是多少？从一个长方体中切出一个最大的正方体问题应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。例如：在一个长是 4 厘米，宽为 3 厘米，高为 2 厘米的长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是多少？剩余部分的表面积是多少？立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题）（6）长方体将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。正方体无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。练习：（1）把三个棱长是 1 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（） ，比原来 3 个正方体表面积之和减少了（） 。（2）把三个棱长是 2 分米的正方体拼成一个长方体，表面积是（） ，体积是（） 。分析： 以最短的棱为正方体的棱长，即以高为2cm 的棱为正方体的棱长，那么正方体的棱长和为：212=24cm。切去正方体后所剩部分的长为4-2=2cm，宽为 3-2=1cm，高仍为2cm，因此所剩部分表面积为：（21+2 2+1 2）2=16cm2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 38 页23 （3）用 27 个体积是 1 立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是 （）（4）把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方米。这个正方形的表面积是多少平方米？（5）一个长方体的长8 厘米，宽 6 厘米，高 5.5 厘米。将两个这样的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少？体积是多少？（6）一种长方体积木，长3 厘米，宽 2.5 厘米，高 2 厘米。将两块这样的长方体拼成一个新的长方体，表面积最小是多少？（1）用 3个棱长 5 分米的正方体粘合成一个长方体，表面积减少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？（2）有三个大小相等的正方体， 将他们拼成长方体， 表面积减少 32 平方厘米。求所拼长方体的表面积。（9）用两个同样的长、宽、高分别为4 厘米、3 厘米和 2 厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？（10）用两个长 6 厘米，宽 3 厘米，高 1 厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少？（11）用 3 个棱长 4 分米的正方体粘合成一个长方体，长方体的表面积比3 个正方体的表面积少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？（12）用两个同样的长、宽、高分别为4 厘米、 3 厘米和 2 厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？【知识点 5】小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题例如：练习：大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相含小正方体的总数；在顶点位置的小正方体露在外面的面有3 个；在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2 个；在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面得面有1 个；用总数 3 个面的 2 个面的 1 个面得 =没有露在外面的小正方体的个数。在该正方体表面涂上漆，有三个面涂上漆的小正方体有几个？有两个面图上漆的小正方体有几个？有一个面涂上漆的小正方体有几个？没有涂上漆的小正方体有几个？图中，长方体共有（）个小正方体；其中两个面露在外面的小正方体共有（）个；没有露在外面的小正方体共有（）个。图二中三个图一次有（） 、 （） 、 （）小正方体组成。第二个长方体中有三个面在外面得正方体有（）个，两个面在外面的正方体有（）个，一个面在外面的有（）个，没有露在外面的小正方体（） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 38 页24 小正方体拼成的大正方体在取走一部分后表面积的变化练习：（1）图一是由棱长是2 厘米的小正方体拼成的立体图形，求这个立体图形的表面积。图一图二（2）图二用 12 个小正方体拼成的长方体中， 如果拿掉带阴影部分的2个小正方体，它的表面比原来（）。【知识点 7】单位换算长度单位： mm 、cm 、dm 、m 相邻两个单位进率为10 面积单位： mm2、cm2、dm2、m2 相邻两个单位进率为100 体积单位： mm3、cm3、dm3、m3 相邻两个单位进率为1000 容积单位： ml、l 相邻两个单位进率为1000 特别的： 1ml=cm3 1l=1dm3 1 方=1m 3不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。例如：手指尖约占了1 立方厘米的空间，即它的体积约为1 立方厘米。一个粉笔盒的体积约为1 dm3。建一游泳池，约要挖土6000方。 1.36 dm3 =1360 cm3 4.573m 3 =4573 dm3一个烧杯约能装水500ml。 520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm3 =5670cm3练习：(1)3.2立方分米 =（）立方厘米 500立方分米=（）立方米9 立方米 500立方分米 =（）立方米 =（）立方分米3.6 升=（）毫升 =（）立方厘米1700平方厘米 =（）平方分米 =（）平方米3 升=（）毫升 2700毫升=（）升2.57 升=（）毫升 640毫升=（）升2.8 立方分米 =( ) 立方厘米 0.8升=( ) 毫升720立方分米 =( ) 立方米 51000毫升= ( ) 升32立方厘米 =( ) 立方分米 4.25立方米 =( ) 立方分米 =( ) 升2.7 立方米 =( ) 升 1200毫升=( ) 立方厘米1.24 立方米 =( ) 升=( ) 毫升 3.06升=（）升（）毫升挖去的小正方体在顶点位置 ，则大正方体的表面积不变，因为原来在顶点位置小正方体露在外面的面为3 个，挖去后露出来的面也是 3 个，所以表面积不变。挖去的小正方体在棱的位置 ，则大正方体的表面积增加，因为原来在棱上的小正方体露在外面的面有2 个，挖去后会露出4个面，所以表面积会增大。挖去的小正方体在面上 ，则大正方体的表面积也会增加，因为原来在面上的小正方体只有1个面露在外面，挖去后会露出5个面，所以表面积会增大。高级单位进率高级单位的数低级单位低级单位的数进率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 38 页25 40立方米（）立方分米 4立方分米 5 立方厘米（）立方分米30立方分米（）立方米 0.85升（）毫升2100毫升（）立方厘米（）立方分米 0.3升（）毫升（）立方厘米(4) 一个水池能装水 400立方米，这是指（），占地 2 公顷指的是（）。一块橡皮擦的体积约是8( )。一本书的封面约是2( )。运货集装箱的体积约是40( )。一支钢笔长 18( )。一台录音机的体积约是20( )。三、长方体和正方体的体积【知识点 1】容积与体积基本概念体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小。当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积 容积。比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。（容器壁忽略不计）体积计算方法：长方体的体积 =长宽高正方体的体积 =棱长棱长棱长长方体和正方体的体积 =底面积高 =右面面积长 =前面面积宽体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等。体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等。体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大。练习：（1）判断：体积单位比面积单位大，面积单位比长度单位大（）正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算（）表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等（）长方体的体积就是长方体的容积（）（2）一个正方体的棱长和是12 分米，它的体积是（）立方分米（3）一个长方体的体积是30 立方厘米，长是 5 厘米，高是 3 厘米，宽是（）厘米（4）表面积是 54 平方厘米的正方体，它的体积是（）立方厘米（5）一个长方体框架长8 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米，做这个框架共要（）厘米铁丝，是求长方体（），在表面贴上塑料板，共要（）塑料板是求（），在里面能盛（）升水是求（），这个盒子有（）立方米是求（）（6）长方体的长是 6 厘米，宽是 4厘米，高是 2 厘米，它的棱长总和是（）厘米，六个面中最大的面积是（）平方厘米，表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米（7）一个正方体棱长2 厘米，体积是（）立方厘米，如果这个正方体的棱长扩大2 倍，它的体积是（）立方厘米。（8）一个菜窖能容纳6 立方米白菜，这个菜窖的（）是 6 立方米（9）表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（）正方体体积大长方体体积大相等（10）将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（）体积相等，表面积不相等体积和表面积都不相等表面积相等，体积不相等（11）要制作 140个棱长 5 厘米的正方体木块，至少需要木料多少立方分米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 38 页26 （12）某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40 厘米，它的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？（12）长方体的长为12厘米，高为 8 厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？（13）一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长3 米，宽 1.5 米，深 2 米，每立方米沙子重1400 千克，这个沙坑里共装沙子多少吨？（14）有一块面积为36平方分米的铁皮，将其制作成可以容纳最多物体的形状，其棱长是多少？可以容纳多少立方分米的物体？（15）一个长方形的底面是一个周长为16 分米的正方形，它的表面积是96 平方分米，这个长方体的体积是多少？（18）用一根 12分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的体积是（）立方分米。（19）一个长方体，其中三个面的面积分别是15 平方厘米， 20 平方厘米， 12 平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？【知识点 2】体积大小的比较对于液体可以直接比较体积的大小， 如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下。对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器。例如：有一个长为 8 分米，高位 5 分米，体积为 240 平方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为7.4 分米，高位 4 分米，宽为 6.5 分米，是否可以放入该容器？分析：单纯计算容器和陶瓷的体积我们可以发现：陶瓷体积硬纸盒体积。但这并不意味着瓷器就可以装进盒子。我们还需要观察陶瓷长宽高于容器长宽高的大小。通过计算硬纸盒的长 =8分米宽=240（85）=6分米高=5 分米陶瓷的长 =7.4 分米宽=6.5 分米高=4 分米由此可以发现陶瓷的宽比盒子的宽大，所以即使在体积小于盒子的前提下，仍然是装不进去的。练习：（1）有一个长方形玻璃鱼缸长为5 分米，宽为 3 分米，高为 3 分米里面装有 2.5 分米高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5 分米的正方体鱼缸中， 请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？（2）有一个长方体的硬纸盒，长为11 分米，宽为 15分米，高为 6 分米，现将一个长为12 分米，宽为10分米，高为 5 分米长方体的礼品放入该盒子中，是否可以装的进去？【知识点 3】切割组合对体积的影响将一个长方体或正方体任意的切割，切开后各部分的体积之和都等于原来长方体的体积。将几个长方体或正方体随机的组合，组合起来后的立体图形的体积都等于原来各部分的体积之和。也即切割和组合不会改变原来各部分的体积，只是各部分体积的相加。例如：将一块体积为30立方米的石头，切割成相同大小的石块刚好可以切出10 块，每块石头的体积是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 38 页27 多少？分析：根据切出的每块石头大小相同，可以知道每块石头的体积是相等的，而大石头的体积30 立方米，一共贴出 10 块，所以每块石头的体积为：3010=3（立方米）练习：（1）将棱长为 5 厘米的 20块小正方体拼成一个长方体，其体积最大是多少？表面积最大是多少？一、根据切割组合对表面的影响来确定体积的变化例如：把一个正方体木块截成两个相同的长方体后，表面积增加了32 平方分米，原来正方体的表面积是（96）平方分米，体积是（ 64）立方分米。分析：根据正方体无论怎么切其都将增加两个完全相同的正方形面，而且每个面的大小都等于原来正方体一个面的面积。 因此，正方体一个面的面积为322=16 （平方分米）， 原来正方体的表面积为166=96（平方分米），根据原来正方体一个面的面积=棱长棱长 =棱长的平方 =16， 可知 4 的平方 =16所以原来正方体的棱长为4 分米，所以，原来正方体的体积为444=64（立方分米）练习：（3）一个长方体，如果高增加3 厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来增加了96 平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米？（4）一个长方体，把它的高增加3 厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来增加了平方厘米，求原来的体积是多少？（3）一个长方体，把它的高减少厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来减少了平方厘米，求原来的体积是多少？（4）一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体，如果切割下一个正方体，剩下的表面积比原来少了平方厘米，求原来长方体的表面积是多少？（5）一个棱长为分米的正方体木块切割成棱长是厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？（6）把一个棱长为米的正方体木块切割成棱长是分米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？（7）把一个棱长为米的正方体木块切割成棱长是厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？（8）一个长方体木箱，从里面量长0.6 米，宽 0.4 米，高 0.2 米，这个长方体木箱内能装（）个棱长 2 分米的正方体物体。（9）一个长 40 厘米的长方体，它的横截面是正方形，如果长增加5 厘米，表面积就增加80 平方厘米，原长方体的体积是多少？【知识点 4】砌墙类问题例如：养殖场需要砌一堵长为30 米，宽为 24 厘米，高位 2.5 米得墙，需要用长为30 厘米，宽为 15 厘米，厚为 5 厘米的砖大约多少块？分析：首先我们需要将墙的体积算出=3000厘米 24 厘米 250 厘米=18000000平方厘米其次我们需要将每块砖的体积算出=30厘米 15 厘米 5 厘米=2250立方厘米我们只需要计算这堵墙的体积相当于每块砖体积的多少倍即为所需要砖的数量=180000002250=8000 （块）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 38 页28 练习：（1）一块长 1.2 米, 宽 6 分米, 厚 3 分米的长方体木块 , 可以截出多少块棱长为3 分米的正方体？（2）一段围墙长为 15 米，宽为 38 厘米，高为 2.2 米，砌这样的墙每平米大约需要385块砖，修这段围墙一共需要多少块砖？（3）一块钢材体积为2.7 立方米，现在将其融化后重新铸成长为1 米，底面积为 225 平方厘米的钢锭，一共可以铸多少块？【知识点 5】填土抬高地面类问题例如：如图，已知A部分面积为 25 平方米， B部分面积为 36 平方米， A处比 B处高 2 米，如果将 A处推到与 B处同样高， B处大约可以被抬高多少米？A处大约下降多少米？ A B 练习：（6）一支修路队用 90 立方米的石子铺一段路，路宽为10 米，铺 3 厘米厚，可以铺多长？（7）一个棱长是 20分米的正方体玻璃容器装满水，然后把水倒入一个长25分米，宽 16 分米的长方体水箱内，求这时水深多少分米？（3）把一个棱长 6 分米的正方体钢锭熔铸成一个长方体钢锭，这个长方体长9 分米，宽 4 分米，求这个长方体钢锭高多少分米？【知识点 6】不规则及液面计算不规则物体体积计算方法不规则物体的体积由于无法确定其长、宽、高因此无法直接使用体积计算公式来计算其体积。一般不规则物体体积的测定方法采用排水法，也就是将物体放入盛满水的容器中，其排开水的体积就等于该物体的体积。例如：一个长方体的水槽长18厘米，宽 12厘米，高 10 厘米，里面水深 6 厘米，将一个不规则的土豆放入后，水面上升到8 厘米处，这个土豆的体积是多少？分析：根据物体排开水的体积等于物体的体积，可知在放入土豆前后水面高度分别为6 厘米和 8 厘米，可见土豆排开水的高度为2 厘米，因此土豆的体积就等于这部分水的体积=1812（86）=432平方厘米。练习：（1）水面高度为 1.5 厘米，底面积为 30 平方分米水面高度为 5 厘米水面高度为 6.5厘米求每颗大球的体积是多少？每颗小球的体积是多少？(2) 每粒玻璃球的体积是多少立方厘米？分析： 要使 A、B 两处地面高度相等，就相当于将A 处部分体积分摊至AB 两处，但分摊前后A 部分体积并没有改变只是占地面积由原来A 处面积变为AB两处的面积。A 部分体积 =252=50 立方米； 分摊到 AB 两处后体积不变仍为50 平方米 =AB处面积和 B 处抬高的高度，因此50=（ 25+36） H 解得 H 0.82 米，所以 B 处可以被抬高大约0.82 米， A 处大约下降20.82=1.18 米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 38 页29 80立方厘米 160立方厘米液面上升或下降类问题练习：（1）一个长方体鱼缸，长厘米，宽厘米，深厘米，把一块长厘米，宽厘米，高厘米的铁块浸入在水中，水面将上升多少厘米? （2）在一个长厘米，宽厘米，深厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长厘米，宽厘米，高厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面将下降多少厘米？（3）一个长方体鱼缸，长厘米，宽厘米，深厘米，把一块长厘米，宽厘米，铁块浸入在水中，水面上升厘米, 求铁块的高。（4）在一个长厘米，宽厘米，深厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长厘米，宽厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面下降厘米，求铁块的高。（5）一个长方体鱼缸，长厘米，宽厘米，深厘米，把一块底面边长为厘米，高为厘米的铁块直立在水中，水面上升多少厘米？（6）一个长方体玻璃容器，从里面量长2 分米，宽 1.5 分米，高 1.8 分米，里面盛了一半水，现在将体积为 0.6 立方分米的玻璃球全部浸入水中，这时水面高度多少分米？【知识点 7】展开图形拼长方体或正方体例如：用一张长 60 厘米，宽 40 厘米的长方形铁皮，做成一个无盖长方体盒子，做成盒子的容积是多少？思路一：从四个角上分别剪去一个边长为厘米的正方形后，观察思考做成的长方体长是（） ，宽是（） ，高是多少？求出它的容积。思路二：从左边剪下两个边长为厘米的正方形，然后把这两个正方形焊接到右边，做成一个无盖的长方体，观察思考做成的长方体长是（） ，宽是（） ，高是多少？求出它的容积。思路三：从这个长方体上先剪下一个连长为厘米的正方形做底面，然后把剩下的长方体平均分成四个长方形做前后左右面这样做成一个无盖长方体， 观察思考做成的长方体长是 （） ，宽是（） ，高是多少？求出它的容积。【知识点 9】棱长变化对体积的影响正方体正方体的棱长扩大2 倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4 倍，体积扩大 8 倍；正方体的棱长扩大3 倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9 倍，体积扩大 27 倍；正方体的棱长扩大n 倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大 n3倍。长方体精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 38 页30 长方体的长宽高同时扩大2 倍，其棱长和也扩大2 倍，表面积扩大4 倍，体积扩大 8 倍；长方体的长宽高同时扩大3 倍，其棱长和也扩大3 倍，表面积扩大9 倍，体积扩大 27 倍；长方体的长宽高同时扩大n 倍，其棱长和也扩大n 倍，表面积扩大n2倍，体积扩大 n3倍。长方体的长扩大 a 倍，宽扩大 b 倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大abc 倍。长方体的长扩大 a 倍，宽扩大 b 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大ab 倍 。长方体的宽扩大 b 倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大bc 倍 。长方体的长扩大 a 倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大ac 倍 。练习：（1）正方体棱长扩大2 倍，表面积扩大（）倍，体积扩大（）倍（2）长方体的长扩大 2 倍，宽扩大 3 倍，高扩大 4 倍，体积扩大（）倍。 5 、一个棱长 1米的大正方体能分成（）个棱长是 1 厘米的小正方体，如果把这些小正方体排成一排能排（）米。（3）一个表面积为 36 平方厘米的正方体木块，切成两个长方体，表面积增加了（）平方厘米。（4）一个正方体棱长缩小2 倍，表面积缩小（）倍，体积缩小（）倍。（5）长方体的长、宽、高各缩小为原来的一半，它的体积会缩小为原来的（）倍。（6）长方体的长扩大为原来的2 倍，宽不变，高缩小为原来的一半，体积（）。（7）一个长方体的底面积为14 立方分米，如果它的高增加5 分米，体积增加（）。（8）一个长方体的长是a 米，宽是 b 米，高是 h 米，如果把它的高增加2 米，新的长方体的体积比原来长方体的体积增加（）立方米。四、容积与体积的异同【知识点 1】容积和体积的差异相同点不同点容积计算公式相同V=sh V=abh 从容器内部测量容积指容器内部体积计量单位通常为L、ml 体积从容器外部测量体积指容器外部体积，或所容纳物体的体积计量单位通常为m 、dm 、cm 、mm 练习：（1）一个长方体鱼缸从外面量长宽高分别为5 分米、 2.5 分米、 3 分米， ，从里面量长宽高分别为4.9分米、2.4 分米、 2.9 分米，这个鱼缸的容积是（） ，体积是（） ，如果鱼缸中装满水，水的体积是（） 。（2）一个仓库能容纳150 立方米的大米，这个仓库的（） ，是 150立方米。【知识点 2】容积和体积的大小关系一般情况下视为容积等于体积，其前提条件是容器壁厚度忽略不计。在考虑容器壁厚度的情况下，容积是比体积小的。练习：（1）一个长方体水箱，从外面量长5 分 2 米，宽 1.5 米，高 1 米，水箱厚度为 5 厘米，将水箱内装满水，水的体积是多少？水箱的容积是多少？（2）一个长方体的水池，从里面量长是7.5 米，比高长 2.1 米，宽比高多 1.4 米，若水池里的水面距水池底 0.82 米，水池里蓄了多少升水？也就是说容积体积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 38 页31 四分数的意义和性质分数的产生分数的意义分数与意义：把单位 1 平均分成几份，表示其中的一份或几份分数与除法：分子（被除数），分母（除数），分数值（商）真分数真分数小于1 真分数与假分数假分数假分数大于1 或等于 1. 带分数（整数部分和真分数）假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作整数部分余数作分子）分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的基本性质分数的大小不变。通分、通分子：化成分母不同，大小不变的分数（通分）最大公因数约 分求最大公因数最简分数分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数）约分及其方法最小公倍数通 分求最小公倍数分数比大小（通分、通分子、化成小数）通分及其方法小数化分数小数化成分母是10、100、1000 的分数再化简分数和小数的互化分数化小数分子除以分母，除不尽的取近似值最简分数的分母只含有质因数2 和 5, 这个分数一定能化成有限小数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 38 页32 分数的意义和性质知识要点【分数的意义：】一个物体或是几个物体组成的一个整体都可以用自然数1 来表示，我们通常把它叫做单位“1” 。2把单位“ 1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。例如3/7 表示把单位“ 1”平均分成 7 份，取其中的 3 份。35/8 米按分数的意义，表示：把1 米平均分成 8 份，取其中的 5 份。按分数与除法的关系，表示：把5 米平均分成 8 份，取其中的 1 份。4把单位“ 1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。练习一、填空1. 把单位“ 1”平均分成 a 份，表示这样的 b 份的分数是（） ，分数单位是（） 。2. 分数单位是 1/7 的分数你能写几个？3、把（）平均分成（） ，表示这样的（）或（）的数，叫做分数。4、2/7 是把单位“ 1 ” 平均分成（）份，表示这样（）份的数。5. 把 5米长的绳子平均分成2份, 这里单位“ 1” 是 ( ),每份是 5米的( ) 6、7/11 的分数单位是（） ，有（）个这样的分数单位，再添上（）个这样的分数单位就是自然数 1 二、判断1、把单位“1” 分成几份 , 表示这样一份或几份的数叫做分数( ) 2、 把单位 “1” 平均分成若干份 , 表示其中一份或几份的数, 叫做分数单位 ( ) 3、 1 和 单位 “1” 相等 ( ) 4、把单位“ 1”平均分成 8 份，取其中的 5份，就是八分之五（）【分数与除法】分数和除法的关系是：分数的分子相当于除法中的被除数，分数的分数线相当于除法中的除号，分数的分母相当于除法中的除数，分数的分数值相当于除法中的商。练习用分数表示下列除法的商：（1）32 = （）（2）29 = （）（3）78 = （）（4）512 = （）（5）315 = （）（6）m n = （）n0815 （）/( ) 3/7（ ）（ ）6把一个整体平均分成若干份，求每份是多少，用除法。总数份数每份数。7求一个数量是另一个数量的几分之几，用除法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 38 页33 一个数量另一个数量几分之几（几倍）。例题四年级同学植树 80 棵，活了 72 棵，活的棵数是总数的几分之几？把 8 米长的绳子平均分成13 段，每段长多少米？比较一下这两道题目，为什么一题的结果要写单位，一题不要？练习工程队 13天完成一项工程，平均每天完成这项工程的几分之几？5 天可以完成这项工程的几分之几？光明小学有男教师19 人，女教师 13 人，男、女教师各占教师总人数的几分之几？【真分数与假分数】8分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。9分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1 或等于 1。练习下面的分数哪些是真分数，哪些是假分数？写出所有分母是 8 的真分数：写出所有分子是 8 的假分数：写出 4 个分母是 8 的假分数：分母是 8 的所有真分数有个；其中最大的是；最小的是；分子是 8 的所有假分数有个。分数单位是 1/5 的最大真分数是；最小假分数是。分母是 2、3、4、5 的真分数分别有几个？真分数的个数与它的分母有什么关系？分母是6 的真分数有几个？分母是 10的呢？真分数的个数总比分母小1 判断: 1、假分数都比 1 大。 （）2、1/3 、2/3 、3/3 这三个分数都是真分数。 ( ) 3、分母比分子大的分数是真分数。 （）4、假分数的分子不小于分母。（）10带分数包括整数部分和分数部分，分数部分应当是真分数。带分数大于1。11把假分数化成带分数的方法是用分子除以分母，商是整数部分，余数是分子，分母不变。把带分数化成假分数的方法是用整数部分乘分母的积加原来的分子作分子，分母不变。12整数可以看成分母是1 的假分数。例如5 可以看成是 5/1 。13分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外） ，分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。练习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 38 页34 3. 把 2/3 和 10/24 化成分母是 12，而大小不变的分数。判断，并说明理由。（1）分数的分子、分母都乘以或除以相同的数，分数的大小不变。（）（2）把 15/20 的分子缩小 5 倍，分母也同时缩小5 倍，分数的大小不变。（）（3）3/4 的分子乘以 3，分母除以 3，分数的大小不变。（）（4）（）把相等的分数写在同一个圈里【最大公因数】14几个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的公因数叫作它们的最大公因数。最小公因数一定是 1。练习找出下面每组数的最大公因数。 6 和 9 15 和 12 42 和 54 30 和 45 5 和 9 34 和 17 16 和 48 15 和 16 1. 有一张长方形纸，长 70 cm，宽 50 cm。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是几厘米 ? 2. 男、女生分别排队，男生48人，女生 36人。要使每排的人数相同，每排最多有多少人? 这时男、女生分别有几排 ? 17公因数只有 1 的两个数叫做互质数。练习按要求写出两个数，使它们的最大公因数是 1 。 (1) 两个数都是质数 : _ 和 _。 (2) 两个数都是合数 : _ 和 _。 (3) 一个质数一个合数 : _ 和 _。3243102242102410精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 38 页35 【约分】把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。约分的方法就是分子和分母同时除以它们的公因数。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分时，要把两个分母的最小公倍数作公分母，别忘了分子和分母要同时乘相同的数。约分和通分都是利用分数的基本性质。分子和分母只有公因数1 的分数，叫做最简分数。 （分子和分母是互质数的分数叫做最简分数。）最简分数不一定是真分数。18除法计算的结果可以用分数表示，比较方便。如果计算结果可以约分的话，要化简成最简分数。19如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。如果两个数是互质关系，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积。20数数它们的最大公因数它们的最小公倍数。21两个数是互质数的几种特殊情况有： 1 和任何数都是互质数；两个相邻的自然数一定是互质数；两个相邻的奇数一定是互质数；两个不同的质数一定是互质数；一个质数和一个不是它倍数的合数一定是互质数。找出最简分数，并把其余的分数约分先约分，再比较每组数的大小一本书有 60 页，晓明已经看了40页。请你用最简分数表示已看的页数占总页数的几分之几，剩下的页数占总页数的几分之几。小林带了 20 元去买学习用品，花8 元钱卖了一个铅笔盒，花了5 元钱买了一支钢笔，花了2 元钱买了一把尺子，买铅笔盒、钢笔和尺子的钱各占所带钱的几分之几。一、判断（1）最简分数的分子和分母没有公因数。 （） ；（2）分子和分母是两个不同的质数，这个分数一定是最简分数。（）（3）分子和分母都是偶数，这个分数一定不是最简分数。（）（4）最简分数的分子一定小于分母。 （）二、填空（1）一个分数约分后，分数的大小（） ；（2）分数 6/24 的分子和分母的最大公因数是（） ，化成最简分数是（） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 38 页36 （3）分母是 10 的最简真分数的和是（） ；（4）一个最简真分数，分子和分母的积是8，这个分数是（） ；三、先约分，再比大小四、综合（1）分数 5/13 的分子、分母同时加上一个数约分后得1/2 ，同时加上的这个数是多少？（2）分母是 91 的最简真分数有多少个？（3）一个分数的分母减去3 得 2/3 ，将它的分母加上1，则得 1/2 ，求这个分数是多少？15几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的公倍数叫作它们的最小公倍数。没有最大的公倍数。16求最大公因数或最小公倍数可以用列举法，也可以用短除法分解质因数。练习求下列每组数的最小公倍数。2 和 8 3和 8 6和 15 6和 9 4 和 5 1和 7 4和 10 8和 10 【通分】比较分数的大小。先看分子或分母是不是相同，分母相同的两个分数，分子大的分数比较大。分子相同的两个分数，分母大的分数比较小。分子和分母都不相同的分数，可以先通分或约分再比较分数的大小。先把下面每组中的两个分数通分，再比较大小。比较每组中两个分数的大小。张叔叔和李叔叔参加了工厂的技能比赛，张叔叔加工完了所有零件的1/2 时，李叔叔加工完了所有零件的 3/5 。在这段时间里，谁的比赛成绩更好一些? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 38 页37 填空：1. 把异分母分数 ( )化成和 ( )相等的 ( )分数, 叫做通分。2. 通分时选用的公分母一般是原来几个分母的（） 。3. 通分的方法先求出原来几个分母的（ )然后把各分数分别化成用这个( )作分母的分数4. 通分的依据（）5. 通分的目的是把 ( )分母的分数化成 ( )分母的分数。判断把下面每组中的分数按照从小到大的顺序排列起来。23把分数化成小数的一般方法是用分子除以分母；（除不尽时根据需要按“四舍五入”法保留几位小数）特殊方法：分母是10，100，1000，时，直接写成小数。分母是10，100，1000的因数时，可化成分母是10，100，1000，的分数，再写成小数。把小数化成分数的方法是直接把小数写成分母是10，100，1000，的分数，再化简。24如果一个最简分数的分母除了2 和 5 以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 38 页38 分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。21= 41= 43= 51= 52= 53= 54= 81= 83= 85= 87= 201= 251= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 38 页