精品资料欢迎下载乐恩特教育个性化教学辅导教案课题直线的参数方程的几何意义教学目标要求与直线的参数方程有关的典型例题教学重难点分析与直线的参数方程有关的典型例题教学过程知识要点概述过定点),(000yxM、 倾斜角为的直线l的参数方程为sincos00tyytxx（ t 为参数），其中 t 表示直线l上以定点0M为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段MM0的数量，的几何意义是直线上点到M 的距离 .此时 ,若 t0,则的方向向上 ;若 t0,则的方向向上 ;当 t0,则的方向向下 ,所以 A,B中点的 M 所对应的t 的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同. 例 2已知双曲线x2-y22= 1，过点 P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段 P1P2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页精品资料欢迎下载的中点 M 的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。解：设 M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是x = x0 +t cos ，y = y0 +t sin (t 是参数 )，代入双曲线方程得：(2cos2- sin2 ) t2 +2(2x0cos- y0sin )t + (2x02- y02 - 2) = 0，由题意 t1 +t2=0，即 2x0cos - y0sin =0，得 tan = 2x0y0。又直线 P1P2的斜率k = tan = y - y0x - x0，点 P（2，1）在直线P1P2上，1 - y02 - x0= 2x0y0，即 2x2- y2- 4x +y = 0 为所求的轨迹的方程。五,求点的轨迹问题例 1已知双曲线，过点 P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点 M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。解：设 M(x0，y0)为轨迹上任一点， 则直线 P1P2的方程是 (t 是参数 )，代入双曲线方程得：(2cos2- sin2 ) t2 +2(2x0cos - y0sin )t + (2x02- y02 - 2) = 0，由题意 t1 +t2=0，即 2x0cos - y0sin =0，得。又直线 P1P2的斜率，点 P（2，1）在直线P1P2上，即 2x2-y2- 4x +y = 0为所求的轨迹的方程。六、求定点到动点的距离例 1 直线 l 过点 P(1，2)， 其参数方程为x =1 - t，y =2 +t(t 是参数 )，直线 l 与直线2x +y - 2 =0 交于点 Q，求 PQ。解：将直线l 的方程化为标准形式x =1 -22t，y=2 + 22t，代入2x +y - 2 =0 得 t = 322， PQ = | t| = 3 22。点评： 题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页精品资料欢迎下载例 2经过点 P(-1 ，2)，倾斜角为4的直线l 与圆x2 +y2 = 9 相交于 A，B 两点，求PA +PB 和 PA PB 的值。解：直线 l 的方程可写成x = -1 +22t，y=2 + 22t，代入圆的方程整理得：t2 +2t- 4=0，设点 A，B 对应的参数分别是t1 ，t2，则 t1 +t2= -2，t1 t2= -4 ，由 t1 与 t2的符号相反知P A +PB = |t1|+|t2| = | t1 - t2| = (t1 +t2)2- 4 t1 t2= 32，PA PB = | t1 t2 | = 4。点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。七、求直线与曲线相交弦的长例 1 已知抛物线y2 = 2px，过焦点 F 作倾斜角为的直线交抛物线于A，B 两点，求证：AB = 2psin2。分析：弦长AB = |t1- t2|。解：由条件可设AB 的方程为x = p2 +t cos ，y = t sin (t 是参数 )，代入抛物线方程，得 t2 sin2- 2pt cos - p2 = 0，由韦达定理：t1 +t2 = 2pcos sin2，t1 t2= -p2sin2，AB = |t1- t2| = (t1- t2)2- 4 t1 t2= 4p2cos2sin4 +4p2sin2= 2psin2。例 2已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 且倾斜角为60 的直线交椭圆于 A，B 两点，若 FA =2FB，求则椭圆的离心率。分析： FA =2FB 转化成直线参数方程中的t1= - 2t2或 |t1| =2|t2|。解：设椭圆方程为x2a2+ y2b2= 1，左焦点F1（c，0） ，直线 AB 的方程为x = - c + 12t，y = 32t，代入椭圆整理可得：(14b2 +34a2)t2- b2ct - b4 = 0，由于 t1= - 2t2，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页精品资料欢迎下载t1 +t2 = b2c14b2 +34a2= - t2，t1 t2= - b414b2 +34a2= -2 t22，2 2+得： 2c2 = 14b2 +34a2，将 b2 =a2- c2代入，8 c2 = 3 a2 + a2- c2，得e2 = c2a2=49，故 e = 23。在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量t 来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。知识巩固训练应用一：求距离例 1、直线l过点)0,4(0P，倾斜角为6，且与圆722yx相交于 A、B 两点。（1）求弦长AB. （2）求AP0和BP0的长。应用二：求点的坐标例 2、直线l过点)4 ,2(0P，倾斜角为6，求出直线l上与点)4,2(0P相距为 4 的点的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页精品资料欢迎下载应用三：解决有关弦的中点问题例 3、过点)0, 1(0P，倾斜角为4的直线l和抛物线xy22相交于 A、B 两点， 求线段AB 的中点 M 点的坐标。教师课后小结签字教学主任：教学组长：学生 / 家长：解：因为直线l过点)0 ,4(0P，倾斜角为6，所以直线l的参数方程为6sin06cos4tytx，即tytx21234， （t 为参数），代入圆方程，得7)21()234(22tt，整理得09342tt（1）设 A、 B 所对应的参数分别为21,tt，所以3421tt，921tt，所以|21ttAB.324)(21221tttt（2）解方程09342tt得，3,3321tt，所以AP033|1t，BP0.3|2t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页精品资料欢迎下载解：因为直线l过点)4,2(0P，倾斜角为6，所以直线l的参数方程为6sin46cos2tytx，即tytx214232， （t 为参数），（1）设直线l上与已知点)4,2(0P相距为 4 的点为 M 点，且 M 点对应的参数为t，则|0MP4|t，所以4t，将 t 的值代入（ 1）式，当 t4 时， M 点的坐标为)6,322(；当 t 4 时， M 点的坐标为)2,322(，综上，所求M 点的坐标为)6,322(或)2,322(. 点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较容易。解：直线l过点)0, 1(0P，倾斜角为4，所以直线l的参数方程为tytx22221， （t 为参数），因为直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程xy22中，得：)221 (2)22(2tt，整理得022212tt，06)2(214)2(2，设这个二次方程的两个根为21,tt，由韦达定理得2221tt，由 M 为线段 AB 的中点，根据t 的几何意义，得2221tttM， 易知中点M 所对应的参数为2Mt， 将此值代入直线的参数方程得，M 点的坐标为（ 2，1）点评：对于上述直线l的参数方程，A、 B 两点对应的参数为21,tt，则它们的中点所对应的参数为.221tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页