第六讲指数函数和对数函数指数函数和对数函数都是基本初等函数，是高中必须掌握的， 在高考中， 主要是考查基础知识。要求掌握扩充后指数的运算，对数的运算，指数函数和对数函数的图像和性质。一、指数的性质（一）整数指数幂1整数指数幂概念：annaaaa个)(Nn010aa10,nnaanNa2整数指数幂的运算性质：（1）,mnm naaam nZ（2）,nmmnaam nZ（3）nnnababnZ其中mnmnm naaaaa，1nnnnnnaaa babbb3 a的n次方根的概念一般地，如果一个数的n次方等于aNnn, 1，那么这个数叫做a的n次方根，即：若axn，则x叫做a的n次方根，Nnn, 1例如： 27 的 3 次方根3273，27的 3 次方根3273，32 的 5 次方根2325，32的 5 次方根2325说明：若n是奇数，则a的n次方根记作na； 若0a则0na，若oa则0na；若n是偶数，且0a则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：na ；（例如：8 的平方根22816 的 4 次方根2164）若n是偶数，且0a则na没意义，即负数没有偶次方根；Nnnn, 10000n；式子na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。nnaa4 a的n次方根的性质一般地，若n是奇数，则aann；若n是偶数，则00aaaaaann5例题分析：例计算：407407解：40740752)25()25(22（二）分数指数幂1分数指数幂：10510250aaaa12312430aaaa即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - 幂的运算性质nmmnaa对分数指数幂也适用，例如：若0a，则3223233aaa，4554544aaa， 2323aa4545aa规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是0,1mnmnaaam nNn；（2）正数的负分数指数幂的意义是110,1mnmnmnaam nNnaa2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：10, ,rsrsa aaar sQ20, ,srrsaaar sQ30,0,rrraba babrQ说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2） 0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没意义。3例题分析：【例 1】用分数指数幂的形式表示下列各式ao：2aa，332aa，aa. 解：2aa=11522222aaaa；332aa=211333aaa；aa=1113322224a aaa 【例 2】计算下列各式的值（式中字母都是正数）（1）211511336622263a ba ba b；（2）83184m n；解（ 1）211511336622263a ba ba b（2）83184m n=883184mn=2233mm nn=211115326236263ab=044aba；例 3计算下列各式：（1）3451255（2）2320aaaa解： （1）3451255=231324555=213134245555（2）232aaa=526562132aaaa a=5512455=512455 5；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 【例 3】已知13xx，求下列各式的值： （1）1122xx； （2）3322xx.解： （1）11222()xx1111222222()2()xx xx112xx325，11225xx，又由13xx得0x，11220xx，所以11225xx.（2） （法一）3322xx113322)()xx（11111122222222()()() xxxx xx11122()()1xxxx5(31)2 5，（法二）33222()()xx3333222222()()2xxxx332xx而33xx122()(1)xxxx112()()3xxxx23 (33)1833222()20xx，又由130xx得0x，33220xx，所以3322202 5xx. 二、指数函数1指数函数定义：一般地，函数xya（0a且1a）叫做指数函数，其中x是自变量，a叫底数，函数定义域是R2指数函数xya在底数1a及01a这两种情况下的图象和性质：1a01a图象性质（1）定义域：R（2）值域：(0,)（3）过定点(0,1)，即0x时1y（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 【例 1】求下列函数的定义域、值域：（1）1218xy（2）11( )2xy（3）3xy（4）1(0,1)1xxayaaa解： （1）210x12x原函数的定义域是1,2x xR x，令121tx则0,ttR8 (,0)tytR t得0,1yy，所以，原函数的值域是0,1 y yy（2）11( )02x0x原函数的定义域是0,，令11()2xt(0)x则01t，yt在0,1是增函数01y，所以，原函数的值域是0,1（3）原函数的定义域是R，令tx则0t，3ty在,0是增函数，01y，所以，原函数的值域是0,1（4）原函数的定义域是R，由1(0,1)1xxayaaa得11xyay，0xa101yy，11y，所以，原函数的值域是1,1说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。【例 2】当1a时，证明函数11xxaya是奇函数。证明：由10xa得，0x，故函数定义域0x x关于原点对称。1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa( )f x()( )fxf x所以，函数11xxaya是奇函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 三、对数的性质1对数定义：一般地，如果a（10aa且）的b次幂等于N, 就是Nab，那么数b 叫做 a 为底N的对数，记作bNalog，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。即baN，logaNb。aNb指数式Nab底数幂指数对数式bNalog对数的底数真数对数说明： 1在指数式中幂N 0，在对数式中，真数N 0 （负数与零没有对数）2对任意0a且1a, 都有01alog 10a，同样：log1aa3如果把baN中的b写成logaN， 则有logaNaN（对数恒等式） 2对数式与指数式的互换例如：2416，4log 162；210100，10log1002；1242，41log 22；2100.01，10log0.012。【例 1】将下列指数式写成对数式：（1）4525；（2）61264；（3）327a；（4）15.373m解： （1）5log 6254；（2）21log664； （3）3log 27a；（4）13log 5.37m3介绍两种常见的对数：常用对数：以10 作底10logN简写成lg N；自然对数：以e作底为无理数，e= 2.71828，logeN简写成ln N【例 2】 （1）计算：9log 27，345log625解：设x9log 27则927x，2333x, 32x；令x345log625，345625x, 44355x, 5x（2）求x 的值：33log4x；2221log3211xxx解：3441327x；22232121200,2xxxxxxx但必须：2222102113210xxxx，0x舍去，从而2x（3）求底数：3log 35x，7log 28x解：3535353(3)x533x；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - 77888722x, 2x4对数的运算性质：如果a 0 ， a 1， M 0 ，N 0，那么（1）log ()loglogaaaMNMN；（2）loglog-logaaaMMNN；（3）loglog()naaMnM nR【例 3】计算：（1）lg1421g18lg7lg37；（ 2）9lg243lg；（3）2 .1lg10lg38lg27lg解： （1）解法一：18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20；解法二：18lg7lg37lg214lg27lg14lg()lg 7lg183=18)37(714lg2lg10；（2）253lg23lg53lg3lg9lg243lg25；（3）2 .1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg 2 1)lg(3 )lg 23lg10323 2lg32lg 212lg105换底公式：logloglogmamNNa( a 0 , a 1 ；0,1mm) 证明：设logaNx，则xaN，两边取以m为底的对数得：loglogxmmaN，loglogmmxaN，从而得：aNxmmloglog，aNNmmalogloglog说明：两个较为常用的推论：（1）loglog1abba；（2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不为 1） 证明：（1）1lglglglgloglogbaababba；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - （2）lglglogloglglgmnnamabnbnbbamam【例 4】计算：（1）0.21 log35；（2）4492log 3 log 2log32解： （1）原式= 0.251log3log3555151553；（2） 原式= 2345412log452log213log21232【例 5】已知18log9a，185b，求36log45（用 a, b 表示）解：18log9a，a2log1218log1818，18log21a，又185b，18log5b，aba22log15log9log36log45log45log181818181836【例 6】设1643tzyx，求证：yxz2111证明：1643tzyx，6lglg4lglg3lglgtztytx，yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11四、对数函数1对数函数的定义：函数xyalog) 10(aa且叫做对数函数。2对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数xyalog) 10(aa且的定义域为),0(，值域为),(（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于xy的对称图形，即可获得。同样：也分1a与10a两种情况归纳，以xy2log（图 1）与xy21log（图 2）为例。1 1 2xy2logyxyx（图 1）1 1 1( )2xy12logyxyx（图 2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - （3）对数函数性质列表：图象1a01a性质（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）过点(1,0)，即当1x时，0y（4）在（ 0，+）上是增函数（4）在(0,)上是减函数【例 1】求下列函数的定义域：（1）2log xya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya分析：此题主要利用对数函数xyalog的定义域(0,)求解。解： （1）由2x0 得0x，函数2log xya的定义域是0x x；（2）由04x得4x，函数)4(logxya的定义域是4x x；（3）由 9-02x得-33x，函数)9(log2xya的定义域是33xx【例 2】比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（2）5log 3，6log 3，7log 3解：（1）0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71，0.91.10.7log0.81.1log0.9（2）3330log 5log 6log 7，5log 36log 37log 3【例 3】求下列函数的值域：（1）2log (3)yx； （2）22log (3)yx解： （1）令3tx，则2logyt，0t， yR，即函数值域为R（2）令23tx，则03t，2log 3y， 即函数值域为2(,log 3【例 4】判断函数22( )log (1)f xxx的奇偶性。解：21xx恒成立，故( )f x的定义域为(,)，22()log (1)fxxx(1,0)(1,0)1x1xlogayxlogayx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 221log1xx222221log(1)xxxx22log1( )xxf x，所以，( )f x为奇函数。【例 5】求函数2132log (32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx在3,)2上递增，在3(,2上递减，又2320xx，2x或1x，故232uxx在(2,)上递增，在(,1)上递减，又132logyu为减函数，所以，函数2132log (32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 课堂练习题（1）1、填空：（3）31mmxx； （4）35()()yy；（5）23()()abab； （6）43( 2) ( 2) ( 2)；2、 （ 1）若23maaa，则m； （2）若26naaa，则n；（3）若3ma，3nb，用,a b表示3m n，233mn；（2）（3）2()ma； （4）43()x；（5）32()ab； （ 6）3(2 )a；（7）3( 5 )b； （ 8）22()xy；（9）34( 2)x； （10）23(3)ab；2、判断下列式子是否正确，若不对，请纠正：(1)22()mmaa；（2）22()mmaa；（3）mnm naaa；（4）mnmnaaa. 课后巩固提高1、下列计算正确的是（）A.336xxxB.43xxxC.5510()xxD.235()x yxy2、8127 可以记为（）A.39B.63C.73D.1233、5a可以等于（）A.23()()aaB.4() ()aaC.23()aaD.32() ()aa4、计算232()bb的结果是（）A.8bB.11bC.8bD.11b5、在等式2310()aaa中，括号内的代数式应当是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - A.4aB.5aC.6aD.7a6、若n是正整数，当1a时，221()nna等于（）A.1 B.1 C.0 D.1 或 1 7、计算2113()nnxxx的结果为 ( ) A.33nxB.36nxC.nx12D.66nx8、63()a，243()a，2 3(2)ab. 9、已知2ma3na，则m na；已知342xx，则 x= . 10、计算：（1）42x； （2）32yx； （3）432aa；11、下列各式中，正确的是（）A.448mmmB.55252mmmC.339mmmD.66yy122y12、下列各式中错误的是( ) A.623yxyxB. (22a)4=816aC.363227131nmnmD.33abba3613、已知 n 是大于 1 的自然数 , 则11nncc等于 ( ) A.12ncB.nc2C.2ncD.nc214、下列运算中与44aa结果相同的是 ( ) A.28aaB.42aC.44aD.4422aa15、用简便方法计算(1)5.1)32(2000199919991 (2) 111111791( 1)91616、已知3 927mm163, 求 m 的值 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 17、若229216(2 )n，解关于x的方程42nx.18、若52m，62n，求nm 22的值2指数扩充及其运算性质1、将 b 写成分数指数幂的形式：（1）34b；（2）25b；（3）24mnb. 2、将分数指数幂写成根式的形式：（1）128；（2）1327；（3）324；（4）23125. 3、将根式写成分数指数幂的形式：（1）32x；（2）31x；（3）34()ab； （4）322mn. 4、计算：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - （1）12100；（2）2364；（3）329；（4）1481 . 5、已知103，104，求10，10，210，510. 6、已知11223aa，求1aa，22aa. 3指数函数1、已知01mn，则指数函数1.xmy，2.xny的图像为（）2、如图是指数xxxxdycybyay,函数的图像则dcba,的关系是（）A.dcba1B.cdab1C. dcba1D.cdba13、已知0ba，则2 ,2 ,3aba的大小关系是（）A223abaB232baaC223baaD232aab4、若aaaQPSa2 .0,2,2,01，则下列选项成立的是（）第 2 题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - A.QPSB.SQPC.SPQD.PQS5、设1.50.90.4812314,8,2yyy，则（）A.312yyyB.213yyyC.132yyyD.123yyy6、若xx310932，那么12x的值为（）A.1 B.2 C.5 D.1 或 5 7、已知8 . 08 .09.08.0,9 .0,8. 0cba则, ,a b c的大小关系为 .8、解方程232 330xx. 4.1 对数及其运算1、把下列指数式写成对数式：（1）328（2）1122（3）31273（4）1( )5.733m2、把下列对数式写成指数式：（1）3log 92（2）5log 1253（3）21log24（4）31log4813、求下列各式中x 的值：（1）642log3x（2）log 86x（3）lg100x（4）2ln ex4、求下列各式的值：（1）5log 125（2）21log16（3）lg1000（4）lg0.001名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - （5）15log 15（6）0.4log1（7）2log42（8）lg105105、基础练习（1）lg 2lg5（2）33log 18log 26、加强巩固（1）315151515212loglog20log4og（2）lg 2lg5lg8lg50lg 40（3）71 142lglg 7lg183g（4）lg 4lg512lg 0.5lg8（5）2lg 2lg2 lg5lg5（6）log2lg 351010log 17、已知2logax，2logby，2logcz，请分别用, ,a b c 表示式子22log ()x y，22log (9)xy，22log3x yz.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - 4.2换底公式1、求下列各式的值：(1) 13log27（2）9log 27（3）116log64（4）lg 243lg9（5）89log 9 log 32（6）932log 16 log812、加强巩固4log 1329(1)log2log 2744839(2)(log3log 3)(log 2log 2)3、综合应用（1）设lg 2a,lg3b，试用 a、b表示6lg2，3log 4，5log 12. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - （ 2）已知3436xy求21xy. 5 对数函数1、求下列函数的定义域：(1)2log (1)yx；（2）21log1yx；(3)3log1yx；（4）2logyx. 2、求下列函数的反函数：(1)2logyx；（2）12logyx；(3)3xy；（4）2yx；(5)2log (1)yx；（6）25xy. 3、比较各题中各数的大小：(1)2log 3，2log 5；（2）0.2log2，0.2log0.1；(3) 2log 3，3log 2；（4）log 2a，log 3 (0,1)aaa. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - 4、已知函数222,1( )log,1xxf xx x，则(2)ff. 5、已知函数1222,1( )log (1),1xxf xxx，且( )3f a，则(6)fa . 第三章指数函数和对数函数单元测试卷满分 150 分，考试时间120 分钟一、选择题（每小题6 分，共 60 分 ）1已知 x，y 为正实数，则() Alglglglg222xyxyBlg()lglg222xyxyClglglglg222xyxyDlg()lglg222xyxy2若函数yf(x)是函数 yax(a0，a1)的反函数且f(2)1，则 f(x)() A12xB22xC12logxD2log x3已知3( )logf xx，则函数 yf(x1)在区间 2,8上的最大值与最小值分别为() A 2与 1 B3 与 1 C9 与 3 D8 与 3 4下列说法正确的是() A0.50.5log6log4B0.90.5927C02.512.5( )2D0.50.60.6log55设函数( )log(0,1)af xx aa若122015()8f x xx，则222122015()()()f xf xf x的值等于 () A4 B 8 C16 D2loga8 6(log43log83)(log32log98)等于() A.56B.2512C.94D以上都不对7若2( )logf xx的值域为 1,1，则函数 f(x)的定义域为 () A. 1,12B 1,2C.1,22D.2,228若( )22lgxxf xa是奇函数，则实数a() A.13B.14C.12D.1109已知3log 2a，那么33log 82log6用a表示是（）A52aB.2aC.23(1)aaD.231aa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - 10设1.50.90.4812314,8,2yyy，则（）A.312yyyB.213yyyC.132yyyD.123yyy二、填空题（每小题5 分，共 15 分 ）11函数 ylg 4xx3的定义域是 _12函数321,3( )log6,3xxf xxx，则(2)(9)ff_. 13643loglog (log 81)的值为 .三、解答题 (本大题共 5 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14 (14 分 )计算下列各式:(1)10.503710(2)(2)2927；(2)2(lg 2)lg 2 lg50lg 25.15 (14 分 )求下列函数的定义域：(1)2log (21)yx；（2）2log21xyx.16 (14 分 )已知函数f(x)ax(a0，且 a1)，其反函数的图像过点(8,3)求( )f x的解析式. 17 (16 分 )已知225xx，求（1）44xx；（2）88xx.18 (17 分 )已知函数f(x)loga(1x)，g(x) loga(1x)，其中 a0，a1，设 h(x)f(x)g(x)(1)判断 h(x)的奇偶性，并说明理由；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - (2)若 f(3)2，求使 h(x)0 成立的 x 的集合名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -