. . 1 相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA BCBC ADk BCk A DSkSBCA DBCA D要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用1. 测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 . 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页. . 2 平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2. 测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。1如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2 如乙图所示，可先测 AC 、DC及 DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释：1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离 / 实际距离; 2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. ABC DEF ，若ABC 的边长分别为 5cm 、6cm 、7cm ，而 4cm是DEF中一边的长度，你能求出DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 【答案】设另两边长是 xcm ，ycm ，且 xy. (1) 当DEF中长 4cm线段与 ABC 中长 5cm线段是对应边时，有，从而 x=cm ，y=cm. (2) 当DEF中长 4cm线段与 ABC 中长 6cm线段是对应边时，有，从而 x=cm ，y=cm. (3) 当DEF中长 4cm线段与 ABC 中长 7cm线段是对应边时，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页. . 3 ，从而 x=cm ，y=cm. 综上所述， DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm ，cm 或cm ，cm三种可能 . 2. 如图所示，已知 ABC 中，AD是高，矩形 EFGH 内接于 ABC中， 且长边 FG 在 BC上， 矩形相邻两边的比为 1： 2， 若BC=30cm ， AD=10cm.求矩形 EFGH 的面积 . 【答案】四边形 EFGH 是矩形， EHBC ， AEH ABC. ADBC ， ADEH ，MD=EF. 矩形两邻边之比为1：2，设 EF=xcm ，则 EH=2xcm. 由相似三角形对应高的比等于相似比，得，. EF=6cm ，EH=12cm. 举一反三1、如图，在和中，的周长是 24，面积是 48，求的周长和面积 . 【答案】在和中，. 又，相似比为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页. . 4 的周长为，的面积是. 2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1200 和 1500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比. 【答案】设原地块为 ABC ，地块在甲图上为 A1B1C1，在乙图上为 A2B2C2. ABC A1B1C1A2B2C2且，. 3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点 B重合，折痕为 DE ，则 SBCE：SBDE等于（）A. 2 ：5 B14:25 C16:25 D. 4:21 【答案】 B. 【解析】由已知可得AB=10 ，AD=BD=5 ，设 AE=BE=x, 则 CE=8-x, 在 RtBCE 中，x2-(8-x)2=62,x=, 由ADE ACB得，SBCE：SBDE=（64-25-25 ） ：25=14:25，所以选 B. 4、在锐角 ABC中，AD,CE分别为 BC,AB边上的高， ABC和BDE 的面积分别等于 18和 2，DE=2,求 AC边上的高 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页. . 5 【答案】过点 B做 BF AC,垂足为点 F，AD,CE分别为 BC,AB边上的高，ADB= CEB=90 ，又 B=B，RtADB RtCEB, ,BDABBDBEBECBABCB即, 且B=B，EBD CBA, 221189BEDBCADEACSS, 13DEAC, 又DE=2 ，AC=6 ，11862ABCAC BFS， BF= .5、已知：如图，在 ABC与CAD 中，DA BC ，CD与 AB相交于 E点，且 AE EB=1 2，EFBC交 AC于 F点，ADE的面积为 1，求 BCE和AEF的面积【答案】 DA BC ，ADE BCE SADE:SBCE=AE2:BE2AE BE=1:2， SADE:SBCE=1:4SADE=1，SBCE=4SABC:SBCE=AB:BE=3:2，SABC=6EFBC ，AEF ABC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页. . 6 AE:AB=1:3，SAEF:SABC=AE2:AB2=1:9SAEF=6、如图，已知中，点在上，( 与点不重合 )，点在上. (1) 当的面积与四边形的面积相等时，求的长. (2) 当的周长与四边形的周长相等时，求的长. 【答案】 (1)，. (2) 的周长与四边形的周长相等 . =6，. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页. . 7 类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离 ( 即河宽 ) ，你有什么方法？【答案】如上图，先从 B点出发与 AB成 90角方向走 50m到 O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到 C处，在 C处转 90，沿 CD方向再走17m到达 D处，使得 A、O 、D在同一条直线上那么A、B之间的距离是多少？AB BC ，CD BC ABO= DCO=90 又 AOB= DOC AOB DOC. BO=50m，CO=10m，CD=17m AB=85m 即河宽为 85m 4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是 1.6 m ，他的影长是 2 m(1) 图中 ABC 与ADE是否相似 ?为什么 ? (2) 求古塔的高度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页. . 8 【答案】 (1) ABC ADE BC AE ，DE AE ， ACB= AED=90 A=A， ABC ADE (2)由(1) 得ABC ADE AC=2m ，AE=2+18=20m ，BC=1.6m ，DE=16m 即古塔的高度为 16m 。举一反三1、小明把一个排球打在离他2 米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8 米，排球落地点离墙的距离是7 米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？【答案】如图， AB=1.8 米，AP=2米，PC=7米，作 PQ AC, 根据物理学原理知 BPQ= QPD, 则APB= CPD ，BAP= DCP=90 ， ABP CDP, ABAPDCPC, 即1.827DC, DC=6.3米. 即球能碰到墙上离地6.3 米高的地方 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页. . 9 2、在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B是 CD的中点， CD是水平的，在阳光的照射下，塔影 DE留在坡面上。 已知铁塔底座宽 CD=12m ，塔影长 DE=18m ，小明和小华的身高都是 1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和 1m ，那么塔高 AB为（）A.24m B.22m C.20m D.18m 【答案】 A. 【解析】过点 D做 DN CD交光线 AE于点 N，则1.60.82DNDE,DN=14.4，又AM:MN=1.6:1 ，AM=1.6MN=1.6BD=1.6 6=9.6 塔高 AB=AM+DN=14.4+9.6=24，所以选 A. 3、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区 DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m ，窗口高 AB=1.8m ，求窗口底边离地面的高度 BC. 【答案】作 EF DC交 AD于 F. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页. . 10 AD BE ，又，. AB EF， ADBE ，四边形 ABEF 是平行四边形，EF=AB=1.8m. m. 【巩固练习一】一、选择题1 如图 1 所示， ABC 中 DE BC ， 若 AD DB 12， 则下列结论中正确的是 ( ) A BCD（图 1）（图 2）2. 如图 2, 在ABC 中, D、E两点分别在 AB 、AC边上, DE BC. 若 AD:DB = 2:1, 则 SADE: SABC为 ( ) A. 9:4 B. 4:9 C. 1:4 D. 3:2 3某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为94，其中一块草坪的周长是 36 米，则另一块草坪的周长是（） A24 米 B54 米C24 米或 54 米D 36米或 54 米4. 图为ABC与DEC 重叠的情形，其中E在 BC上，AC交 DE于 F 点，且AB/ DE. 若ABC与DEC 的面积相等，且 EF=9 ，AB=12 ，则 DF=( ) A3 B7 C12 D 15 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页. . 11 5如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端 C处，已知 AB BD ，CD BD ，且测得 AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（） A6 米 B8 米 C18 米D24 米6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8 倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍. A.2 B.4 C.2D.64 二、填空题7. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高 CD 2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶 C与树顶 A在同一条直线上，如果测得BD20m ，FD 4m ，EF 1.8m，则树 AB的高度为 _m 8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为 25，则较大三角形的面积为 _. 9如图，小明为了测量一座楼MN的高，在离点 N为 20m的 A处放了一个平面镜，小明沿 NA后退到点 C，正好从镜中看到楼顶M ，若 AC 1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度是_.（精确到 0.1m）10. 梯形 ABCD 中，AD BC,AC ，BD交于点 O , 若AODS=4，OCSB=9，S梯形 ABCD=_. 11. 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 点 E为 CD上一点， DE:CE=2:3， 连接 AE,BE,BD,且 AE,BD交于点 F，则:DEFEFBAFSSS B_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页. . 12 12. 把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的 _倍. 三、解答题13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上， 如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长 2.7m，他求得树高是多少？14. 如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB ，PQ ，并且 AB PQ ，建筑物的一端 DE所在的直线 MN AB于点 M ，交 PQ于点 N，小亮从胜利街的 A处，沿着 AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮（1）请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置（用点 C标出） （2）已知： MN=30m，MD=12m，PN=36m 求（ 1）中的点 C到胜利街口的距离15. 在正方形中，是上一动点， (与不重合 ) ，使为直角，交正方形一边所在直线于点. (1) 找出与相似的三角形 . (2) 当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页. . 13 【答案与解析】一选择题1 【答案】 D 【解析】提示：相似比为1:3 2 【答案】 B【解析】提示：面积比等于相似比的平方3 【答案】 C. 4 【答案】 B. 5 【答案】 B. 【解析】提示：入射角等于反射角，所以ABP CDP 6 【答案】 C 【解析】提示：面积比等于相似比的平方二填空题7 【答案】 3. 8 【答案】 45cm2. 9 【答案】 21.3m10 【答案】 25. 【解析】 ADBC ，AOD COB ，2AODBOC49SAOCOS， AO:CO2:3 ，又AODDOC23SAOSOC，COD6S，又CODAOBSS，ABCD492625S梯形11. 【答案】 4:10:25 【解析】平行四边形 ABCD ， DEF BAF,2DEFAEBSDESAB， DE:EC=2:3,DE:DC=2:5,即 DE:AB=2:5，DEFBAFSSDEF与BEF是同高的三角形，DEFBEFSS24.510精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页. . 14 12 【答案】22. 三. 综合题13 【解析】作 CE DA交 AB于 E，设树高是 xm ，长为 1m的竹竿影长 0.9m 11.20.92.7x即 x 4.2m 14 【解析】 (1) 如图 1 所示， CP为视线，点 C为所求位置 (2) AB PQ ，MN AB于 M ，CMD PND 90又CDM PDN ，CDM PDN ，CMDMPNDN MN30m ，MD 12m ， ND18m 123618CM CM24(m)点 C到胜利街口的距离CM 为 24m 15 【解析】 (1) 与BPC相似的图形可以是图 (1) ，(2) 两种情况：PDE BCP ，PCE BCP ，BPE BCP (2)如图 (1) ，当点 P位于 CD的中点时，若另一直角边与AD交于点 E，则12PDBCPDE BCP PDE与BCP 的周长比是 1:2 BCP的周长是 2a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页. . 15 如图 (2) ，当点 P位于 CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点 E时，则12PCBC，PCE BCP PCE与BCP 的周长比是 1:2 BCP的周长是 2a如图 (2) ，当点 P位于 CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点 E时，52BPBCBPE BCP BPE与BCP 的周长比是5:2 ，BCP的周长是2 55a【巩固练习二】一、选择题1如果一个直角三角形的两条边长分别是6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（）A只有 1 个 B 可以有 2 个C 有 2 个以上，但有限 D有无数个2. 若平行四边形 ABCD 中，AB 10，AD 6，E是 AD的中点，在 AB上取一点 F，使CBF CDE ，则 BF的长为（）A1.8 B5 C 6 或 4 D8 或 2 3. 如图，已知 D、E分别是的 AB 、 AC 边上的点，且那么等于（）A1：9 B1：3 C1：8 D1：2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页. . 16 4 如图 G是ABC的重心，直线 过 A点与 BC平行. 若直线 CG分别与 AB 、 交于 D 、E两点，直线 BG与 AC交于 F 点，则 AED 的面积 ：四边形 ADGF 的面积=( ) A1：2 B2：1 C 2：3 D3：2 5. 如图，将 ABC的高 AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则 S1S2S3S4等于（） A.1 234 B.2345 C.1 357 D.3 579 6. 如图，在 ABCD 中，E为 CD上一点， DE ：CE=2 ：3，连结 AE 、BE 、BD ，且AE 、BD交于点 F，则SDEF：SEBF：SABF等于( ) A.4：10：25 B.4 ：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25 二、填空题7. 如图，梯形 ABCD 中，AB CD,AC 、BD相交于点 E，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页. . 17 1,2DECSSCEBDECSSAEB=_. 8. 如图， ABC中，点 D在边 AB上，满足 ADC= ACB,若 AC=2 ，AD=1 ，则DB=_. 9. 如图，在PAB中，M 、N是 AB上两点，且PMN 是等边三角形， BPM PAN ，则APB的度数是_. 10. 如图， ABC中，DE BC,BE,CD交于点 F，且SEFC=3SEFD，则SADE：SABC=_. 11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯 BD ，当他走到点 P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达 Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页. . 18 12. 如图，锐角 ABC中，AD,CE分别为 BC,AB边上的高， ABC和BDE的面积分别等于 18 和 2，DE=2 ，则 AC边上的高为 _. 三、解答题13. 为了测量图（ 1）和图（ 2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：图（1） ：测得竹竿 CD的长为 0.8 米，其影 CE长 1 米，树影 AE长 2.4 米图（2） ：测得落在地面的树影长2.8 米，落在墙上的树影高1.2 米，请问图（1）和图（ 2）中的树高各是多少？14. （1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD相交于点 O ，OE BC于 E，连结 DE交OC于点 F，作 FG BC于 G 求证：点 G是线段 BC的一个三等分点证明：在矩形 ABCD 中，OE BC ，DC BC ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页. . 19 OE DC ，（2）请你仿照（ 1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程） 15. 已知如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点 E自 A点出发，以每秒1cm的速度向 D点前进，同时点 F 从 D点以每秒 2cm的速度向 C点前进，若移动的时间为 t ，且 0t 6（1）当 t 为多少时， DE=2DF ；（2）四边形 DEBF 的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由（3）以点 D、E、F 为顶点的三角形能否与 BCD 相似？若能，请求出所有可能的 t 的值；若不能，请说明理由【答案与解析】一选择题1. 【答案】 B. 【解析】 x 可能是斜边，也可能是直角边. 2. 【答案】 A. 3. 【答案】 B. 4. 【答案】 D. 5. 【答案】 C. 【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由，所以，又由，可得，下略6. 【答案】 A. 【解析】ABCD 中，AB DC ，DEF ABF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页. . 20 ( DEF与EBF等高，面积比等于对应底边的比) ，所以答案选 A. 二、填空题7. 【答案】14. 【解析】1,2DECECBSS且DEC 与CEB 是同高不同底的两个三角形，即1.2DEEB因为 AB CD, 所以 DEC BEA,所以DECAEBSS=221124DEEB8. 【答案】 3. 【解析】ADC= ACB ，DAC= BAC,ACD ABC,ACADABACAB=22241ACAD，BD=AB-AD=4-1=3. 9. 【答案】 120. 【解析】BPM PAN ，BPM A，PMN 是等边三角形，A+APN 60，即 APN+ BPM 60，APB BPM+ MPN+ APN 60+60=12010. 【答案】 1:9 【解析】EFCS=3EFDS，FC:DF=3:1，又DE BC,BFC EFD,即 BC ：DE=FC:FD=3:1 ，由ADE ABC ，即ADES：ABCS=1:9. 11. 【答案】 30m. 12. 【答案】 6. 【解析】 AD,CE分别为 BC,AB边上的高 , ADB= BEC=90 ， ABD= EBC RtABD RtCBE ABBDBCBE，ABC DBE 相似三角形面积比为相似比的平方，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页. . 21 2182ACDE= 9, ACDE=3 , AC=3DE=3 2=6h=2S ABC/AC=2 18/6=6即 AC边上的高是 6 . 三、解答题13. 【解析】 （1） CDE ABE ，CECDAEAB，又竹竿 CD的长为 0.8 米，其影 CE长 1 米，树影 AE长 2.4 米， AB=1.92 米即图 1 的树高为 1.92 米（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为 h，竹竿 CD的长为 0.8 米，其影 CE长 1 米，1=0.81.2x解得 x=1.5 （m ） ，树的影长为： 1.5+2.8=4.3 （m ） ，14.3=0.8h解得 h=3.44（m ） 14. 【解析】 （1）补全证明过程 : FG BC ，DC BC ，FG DC AB DC ，又FG AB ，点 G是 BC的一个三等分点（2）如图，连结 DG交 AC于点 H，作 HIBC于 I ，则点 I 是线段BC的一个四等分点 . 15. 【解析】 （1）由题意得： DE=AD-t=6-t ，DF=2t，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页. . 22 6-t=2 2t ，解得 t=65，故当 t=65时，DE=2DF ；（2）矩形 ABCD 的面积为： 126=72，SABE=1212t=6t ，SBCF=126（12-2t ）=36-6t ，四边形 DEBF 的面积 =矩形的面积 -SABE-SBCF=72-6t-36+6t=36 ，故四边形 DEBF 的面积为定值 . （3）设以点 D 、E、F为顶点的三角形能与 BCD 相似，则EDDFBCDC或EDDFDCBC，由 ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6 ，代入解得： t=12（舍去）或 t=6（舍去）或 t=32，故当 t=32时，以点 D、E、F为顶点的三角形与 BCD 相似精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页