学习必备欢迎下载第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地 ,用符号“ ”(或“” )连接的式子叫做不等式 . 2. 要区别方程与不等式 : 方程表示的是相等的关系 ;不等式表示的是不相等的关系. 3. 准确“翻译”不等式 ,正确理解“非负数”、 “不小于”等数学术语 . 非负数 大于等于 0(0) 0 和正数 不小于 0 非正数 小于等于 0(0) 0 和负数 不大于 0 二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质 ,并会灵活运用 : (1) 不等式的两边加上 (或减去 )同一个整式 ,不等号的方向不变 ,即: 如果 ab,那么 a+cb+c, a-cb-c. (2) 不等式的两边都乘以 (或除以 )同一个正数 ,不等号的方向不变 ,即如果 ab,并且 c0,那么 acbc, cbca. (3) 不等式的两边都乘以 (或除以 )同一个负数 ,不等号的方向改变 ,即: 如果 ab,并且 c0,那么 acb,那么 a-b 是正数 ;反过来 ,如果 a-b 是正数 ,那么 ab; 如果 a=b,那么 a-b 等于 0;反过来 ,如果 a-b等于 0,那么 a=b; 如果 ab,那么 a-b 是负数 ;反过来 ,如果 a-b 是正数 ,那么 ab a-b0 a=b a-b=0 ab a-bb(或 ax0时,解为abx;当 a=0时,且 b0,则 x 取一切实数 ; 当 a=0时,且 b0,则无解;当 a0时, 解为abx;5. 不等式应用的探索 (利用不等式解决实际问题) 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即: 审: 认真审题 ,找出题中的不等关系 ,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、 “小于” 、 “不大于”、 “不小于”等含义 ;设: 设出适当的未知数 ;列: 根据题中的不等关系 ,列出不等式 ;解: 解出所列的不等式的解集 ; 答: 写出答案 , 并检验答案是否符合题意.课堂练习解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：（1）5x 10;（2） 3x+120;（3）21x354x;（4）27x1223x. 解： （1）两边同时除以5，得 x 2.这个不等式的解集在数轴上表示如下：（2） 移项，得 3x 12,两边都除以3， 得 x4,这个不等式的解集在数轴上表示为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载（3） ：（4）五. 一元一次不等式与一次函数六. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组 . 2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分 ,就说这个不等式组无解 . 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定 . 3. 解一元一次不等式组的步骤: (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集 . 两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b 为实数 ,且 ab ba两大取较大bxaxxa ba两小取小bxaxaxb ba大小交叉中间找bxax无解ba在大小分离没有解(是空集 ) 第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系: (1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式 ; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 把下列各式分解因式（1）8x72=8（x9）（2）a2b5ab=ab（a5）（3）4m36m2=2m2（2m3）（4）a2b5ab+9b=b（a25a+9）（5） a2+abac=（ a2 ab+ac）=a（ab+c）（6） 2x3+4x22x=（ 2x34x2+2x）=2x（x22x+1）二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式 .这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: )(cbaacab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载、做一做请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“”号，使等式成立: （1）2a=_（a2）;（2）y x=_（ xy）;（3）b+a=_（a+b）; （4） （ba）2=_（ab）2;（5） m n=_（ m+n）; （6） s2+t2=_（s2t2）. 2. 概补充练习把下列各式分解因式解： 1.5（xy）3+10（yx）2=5（xy）3+10（xy）2=5（xy）2 （xy） +2=5（xy）2（xy+2）; 2. m（ab） n（ba）=m（ab） +n（a b）=（ab） （m+n）; 3. m（mn）+n（nm）=m（mn） n（ m n）=（mn） （mn）=（mn）2; 4. m（mn） （pq） n（nm） （pq）= m（mn） （pq）+n（mn） （pq）=（mn） （ pq） （ m +n）; 概念内涵 : (1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式 ,也可能是多项式 ; (3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(cbammcmbma3. 易错点点评 : (1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净” ; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后 ,括号中这一项为 +1,不漏掉 . 三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来 ,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. 2. 主要公式 : (1)平方差公式 : )(22bababa(2)完全平方公式 : 222)(2bababa222)(2bababa例 2把下列各式分解因式: （1）9（m+n）2（ mn）22）2x38x. 解： （1）9（m +n）2（ mn）2=3（ m +n） 2（ mn）2=3（m +n）+（mn） 3（m +n）（ m n） =（3 m +3n+ mn） （3 m +3nm +n）=（4 m +2n） （2 m +4n）=4（2 m +n） （m +2n）（2）2x38x=2x（x24）=2x（x+2） （x2）五、课后作业1.（ 1）x2y22xy+1=（xy1）2;（ 2）912t+4t2=（32t）2;（3） y2+y+41=（y+21）2; （4） 25m280 m +64=（5 m8）2;（ 5）42x+xy+y2=（2x+y）2;6）a2b24ab+4=（ab2）22.（1） （x+y）2+6（x+y）+9= （x+y）+32=（x+y+3）2; （2）a22a（ b+c）+（b+c）2=a（ b+c） 2=（abc）2; （3）4xy24x2yy3=y（ 4xy4x2y2）=y（4x24xy+y2）=y（2xy）2; （ 4） a+2a2a3=（ a2a2+a3）=a（12a+a2）=a（1 a）2. 3. 易错点点评 : 因式分解要分解到底 .如)(222244yxyxyx就没有分解到底 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载4. 运用公式法 : (1)平方差公式 : 应是二项式或视作二项式的多项式; 二项式的每项 (不含符号 )都是一个单项式 (或多项式 )的平方 ; 二项是异号 . (2)完全平方公式 : 应是三项式 ; 其中两项同号 ,且各为一整式的平方 ; 还有一项可正负 ,且它是前两项幂的底数乘积的2 倍. 5. 因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式 ,若有,则先提取公因式 ; (2)再看能否使用公式法 ; (3)用分组分解法 ,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解 ; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. .活动与探究把（ a+b+c） （bc+ca+ab） abc 分解因式解： （a+b+c） （bc+ca+ab） abc=a+（b+c） bc+a（b+c） abc=abc+a2（ b+c）+bc（b+c）+a（ b+c）2abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2=（b+c） a2+bc+a（b+c） =（b+c） a2+bc+ab+ac=（b+c） a（ a+b）+c（a+b） =（b+c） （a+b） （a+c）四. 分组分解法 : 1. 分组分解法 :利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: )()()(nmbanmbnmabnbmanam2. 概念内涵 : 分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解 ,分组后是否可利用公式法继续分解因式. 3. 注意: 分组时要注意符号的变化 . 五. 十字相乘法 : 1.对于二次三项式cbxax2,将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘积,21aaa, 21ccc, 且满足1221cacab,往往写成c2a2c1a1的形式 ,将二次三项式进行分解 . 如: )(22112cxacxacbxax2. 二次三项式qpxx2的分解 : )(2bxaxqpxxabqbap3. 规律内涵 : (1)理解:把qpxx2分解因式时 ,如果常数项 q 是正数 ,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与ba11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载一次项系数 p 的符号相同 . (2)如果常数项 q 是负数 ,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同 ,对于分解的两个因数 ,还要看它们的和是不是等于一次项系数p. 4. 易错点点评 : (1)十字相乘法在对系数分解时易出错; (2)分解的结果与原式不等 ,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确. 第三章分式一. 分式1. 两个整数不能整除时 ,出现了分数 ;类似地 ,当两个整式不能整除时 ,就出现了分式 . 整式 A 除以整式 B,可以表示成BA的形式 .如果除式 B 中含有字母 ,那么称BA为分式 ,对于任意一个分式 ,分母都不能为零 . 例题讲解（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？5x7,3x21,123ab,7)(pnm,5,1222xyxyx,72,cb54. （2）当a=1， 2 时，分别求分式aa21的值 .当a为何值时，分式aa21有意义？当a为何值时，分式aa21的值为零？（ 1）中 5x7,3x21, 7)(pnm, 5, 72是整式；123ab,1222xyxyx,cb54是分式 .2. 整式和分式统称为有理式,即有: 分式整式有理式3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分 ,其主要依据是分数的基本性质: 分式的分子与分母都乘以 (或除以 )同一个不等于零的整式 ,分式的值不变 . )0(,MMBMABAMBMABA4. 一个分式的分子、 分母有公因式时 ,可以运用分式的基本性质 ,把这个分式的分子、 分母同时除以它的们的公因式 ,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分 . 二. 分式的乘除法1. 分式乘以分式 ,用分子的积做积的分子 ,分母的积做积的分母 ;分式除以以分式 ,把除式的分子、分母颠倒位置后 ,与被除式相乘 . 即: BDACDCBA, CBDACDBADCBA2. 分式乘方 ,把分子、分母分别乘方 . 即: )( 为正整数nBABAnnn逆向运用nnnBABA,当 n 为整数时 ,仍然有nnnBABA成立. 3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式 . 例 2计算：（1）3xy2xy26;（ 2）4412aaa4122aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载三. 分式的加减法1. 分式与分数类似 ,也可以通分 .根据分式的基本性质 ,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式 ,叫做分式的通分 . 2. 分式的加减法 : 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减. (1)同分母的分式相加减 ,分母不变 ,把分子相加减 ; 上述法则用式子表示是 :CBACBCA(2)异号分母的分式相加减 ,先通分 ,变为同分母的分式 ,然后再加减 ; 上述法则用式子表示是 :BDBCADBDBCBDADDCBA3. 概念内涵 : 通分的关键是确定最简分母,其方法如下 :最简公分母的系数 ,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母 ,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式 ,则首先对多项式进行因式分解. 计算：（1）xb3xb;（2）a1+a21;（3）baaaba四. 分式方程1. 解分式方程的一般步骤 : 在方程的两边都乘最简公分母,约去分母 ,化成整式方程 ; 解这个整式方程 ; 把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零 ,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去 . 2. 列分式方程解应用题的一般步骤: 审清题意 ; 设未知数 ; 根据题意找相等关系 ,列出(分式)方程; 解方程 ,并验根 ; 写出答案 . 例 2 .解方程：（1）13x=x4;（2）1210x+x215=2. 分析先总结解分式方程的几个步骤，然后解题. 解： （1）13x=x4去分母，方程两边同乘以x（x1） ，得3x=4（x1）解这个方程，得x=4 检验：把x=4 代入 x（x1）=43=120，所以原方程的根为x=4. （2）1210x+x215=2 去分母，方程两边同乘以（2x 1） ，得105=2（2x1）解这个方程，得x=47检验：把x=47代入原方程分母2x1=2471=25 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载鹏翔教图 1BCA所以原方程的根为x=47. 第四章相似图形一. 线段的比1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是 m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nmBA. 2. 四条线段 a、b、c、d 中,如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比,即dcba,那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段 ,简称比例线段 . 随堂练习1.在比例尺为18000 的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm2 cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？解：根据题意，得矩形运动场的图上长度矩形运动场的实际长度=18000 因此，矩形运动场的长是28000=16000（cm）=160（m）矩形运动场的宽是18000=8000（cm）=80（m）所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为 80 m. 3. 注意点 : a:b=k,说明 a是 b 的 k 倍;由于线段 a、b 的长度都是正数 ,所以 k 是正数 ;比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; 除了 a=b 之外,a:bb:a, ba与ab互为倒数 ; 比例的基本性质 :若dcba, 则 ad=bc; 若 ad=bc, 则dcba二. 黄金分割1. 如图 1,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果ACBCABAC,那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 ,点 C叫做线段 AB 的黄金分割点 ,AC 与 AB 的比叫做黄金比 . 1:618.0215: ABAC2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 四. 相似多边形1. 一般地 ,形状相同的图形称为相似图形. 2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 五. 相似三角形1. 在相似多边形中 ,最为简简单的就是相似三角形. 2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比. 3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于 1. 注意:证两个相似三角形 ,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 4. 相似三角形对应高的比 ,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 5. 相似三角形周长的比等于相似比. 6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 六.探索三角形相似的条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载鹏翔教图 2FEDCBAl3l2l11. 相似三角形的判定方法 : 一般三角形直角三角形基本定理 :平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线 )相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似. 两角对应相等 ; 两边对应成比例 ,且夹角相等 ; 三边对应成比例 . 一个锐角对应相等 ; 两条边对应成比例 :a. 两直角边对应成比例 ; b. 斜边和一直角边对应成比例. 2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例 . 如图 2, l1 / l2 / l3,则EFBCDEAB. 3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线 )相交,所构成的三角形与原三角形相似. 八. 相似的多边形的性质相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方 . 九. 图形的放大与缩小1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形 ; 这个点叫做位似中心 ; 这时的相似比又称为位似比. 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 3. 位似变换 : 变换后的图形 ,不仅与原图相似 ,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心 . 一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形. 利用位似的方法 ,可以把一个图形放大或缩小. 第五章数据的收集与处理一. 每周干家务活的时间1. 所要考察的对象的全体叫做总体; 把组成总体的每一个考察对象叫做个体; 从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本. 2. 为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查; 为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查. 二. 数据的收集1. 抽样调查的特点 : 调查的范围小、 节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确,它得到的只是估计值 . 而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性. 第六章证明(一) 二. 定义与命题1. 一般地 ,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义 . 定义必须是严密的 .一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、 “大概” 、 “差不多”等不能在定义中出现. 2. 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题. 正确的命题称为真命题 ,错误的命题称为假命题 . 3. 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据 ,这样的真命题叫做公理 . 4. 有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理 . 5. 根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理 ,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载三. 为什么它们平行1. 平行判定公理 : 同位角相等 ,两直线平行 .(并由此得到平行的判定定理) 2. 平行判定定理 : 同旁内互补 ,两直线平行 . 3. 平行判定定理 : 同错角相等 ,两直线平行 . 四. 如果两条直线平行1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行 ,同位角相等 ; 2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行 ,内错角相等 ; 3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行 ,同旁内角互补 . 五. 三角形和定理的证明1. 三角形内角和定理 : 三角形三个内角的和等于1802. 一个三角形中至多只有一个直角3. 一个三角形中至多只有一个钝角4. 一个三角形中至少有两个锐角六. 关注三角形的外角1. 三角形内角和定理的两个推论: 推论 1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和; 推论 2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. （注：表示重点部分；表示了解部分；表示仅供参阅部分；）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页