为了解估计值的精确度需要对的取值估计出一个范围为 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、置信区间和置信度一、置信区间和置信度二、单个正态总体均值和方差的置信区间二、单个正态总体均值和方差的置信区间三、两个正态总体均值差的置信区间三、两个正态总体均值差的置信区间四、两个正态总体方差比的置信区间四、两个正态总体方差比的置信区间 五、大样本场合下五、大样本场合下p p 和和的区间估计的区间估计一、置信区间和置信度一、置信区间和置信度设总体设总体X的概率密度为的概率密度为 是未知是未知参数，参数，X1,X2,Xn为为X 的样本，对于事先给定的的样本，对于事先给定的 (0 1)，若存在统计量若存在统计量和和定义：定义：使得使得 则称区间则称区间是参数是参数 的置信度为的置信度为1- 的置信区间，的置信区间，和和分别称为置信度分别称为置信度为为1- 的置信区间的置信下限和置信上限的置信区间的置信下限和置信上限， 1- 称为称为置置信度信度。1.不要把不要把理解为理解为 落在区间落在区间 真值真值真值真值的概率为的概率为1- .关于区间估计的几点说明：关于区间估计的几点说明：是统计量，即是统计量，即 是随机区间，而是随机区间，而 是一个客观存是一个客观存在的未知数在的未知数. .所以确切的理解是随机区间所以确切的理解是随机区间 包含包含内的概率为内的概率为1- ，这种理解不够确切这种理解不够确切. .因为因为 和和 都都例如：例如： 对总体取对总体取100个容量为个容量为n 的样本观察值，可得到的样本观察值，可得到100个个( ( =0.05) 应理解为：应理解为：，其中平均有，其中平均有95%个包含了未知参个包含了未知参确定的区间确定的区间数数 的真值的真值，还有大约，还有大约5%个不包含个不包含 的真值的真值.2.置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间长置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间长度越小，估计的精确度越高度越小，估计的精确度越高. . 3.3.置信度置信度1反映反映了估计的可靠度了估计的可靠度， 1 越大越可越大越可靠靠. .但是，若提高可靠度就会降低但是，若提高可靠度就会降低精确度，提高精确精确度，提高精确度度就会降低可靠度就会降低可靠度. . 先先保证保证可靠度（可靠度（置信度）置信度）1, ,再选再选置信区间中置信区间中长度长度最小的那个以提高精确度最小的那个以提高精确度. .处理原则：处理原则：求置信区间的步骤：求置信区间的步骤：1.明确问题，确定要求的是哪一个参数的置信区间，明确问题，确定要求的是哪一个参数的置信区间，置信度是多少置信度是多少.2. 构造一个有确定分布的样本的函数：构造一个有确定分布的样本的函数：它含有待估参数但不含其它未知参数它含有待估参数但不含其它未知参数.4.对不等式对不等式作等价变形，作等价变形，3.根据随机变量的分布，对给定的置信度根据随机变量的分布，对给定的置信度1 ，定定出常数出常数 a , b ,使得使得得到如下形式得到如下形式: : 得置信区间：得置信区间：二、单个正态总体均值和方差的置信区间二、单个正态总体均值和方差的置信区间1. 方差方差 2已知已知, 的置信度为的置信度为1 1-的的置信区间是：置信区间是：推导：推导：N(0, 1)对给定的置信水平对给定的置信水平1 ，查正态分布表得查正态分布表得 则则设总体设总体XN ( , 2). X1 , X2 , , Xn是取自是取自X的的样样本，本，样本均值样本均值 样本方差样本方差S2(x)x-z /2/2z /2/21 从而得从而得于是得于是得 的置信区间为：的置信区间为：也可简记为：也可简记为：当置信区间为当置信区间为时，区间的长时，区间的长度为度为 达到最短达到最短. .2. 方差方差 2未知未知, 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：推导：推导：从而得：从而得：于是得于是得 的置信区间为：的置信区间为：也可简记为：也可简记为：对给定的置信水平对给定的置信水平1 ，查查t t分布表得分布表得 则则3. 当当 已知时已知时, 方差方差 2 的置信度为的置信度为1 的的置信区间是置信区间是 标准差标准差 的置信度为的置信度为1-1- 的的置信区间是：置信区间是：推导：推导：所以所以 2 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间为：置信区间为： 标准差标准差 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：4. 当当 未知时未知时, 方差方差 2 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是置信区间是 标准差标准差 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是置信区间是推导：推导：所以，所以，方差方差 2 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：标准差标准差 的置信度为的置信度为1-的的置信区间是：置信区间是：例例1. 已知幼儿身高服从正态分布，现从已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿岁的幼儿中随机地抽查了中随机地抽查了9人，其高度分别为：人，其高度分别为：115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;假设标准差假设标准差 =7，试求，试求总体均值总体均值 的的置信度为置信度为0.95的置信区间的置信区间.解：解： 已知时，已知时， 的置信度为的置信度为0.95的置信区间是：的置信区间是：又又由给定数据算得：由给定数据算得：计算：计算：所以，总体均值所以，总体均值 的的置信度为置信度为0.95的置信区间是：的置信区间是：例例2.某工厂生产一批滚珠某工厂生产一批滚珠, , 其直径其直径 X 服从服从正态分布正态分布解：解： N( 2), 现从某天的产品中随机现从某天的产品中随机抽取抽取 6 件件, , 测得测得 (1)求求 的置信区间；的置信区间； (2) 求方差求方差 2的置信区间的置信区间.（置信度均为置信度均为0.95）直径为：直径为：15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1(1) 因为因为 2未知时未知时, 的置信度为的置信度为0.95的置信区间是：的置信区间是：由给定数据算得：由给定数据算得：又查表得：又查表得：计算计算得得 的置信度为的置信度为0.95的置信区间为：的置信区间为：查表得：查表得：（2）方差方差 2的置信度为的置信度为0.95的置信区间为：的置信区间为：又又所以，所以，方差方差 2的置信度为的置信度为0.95的置信区间是：的置信区间是：为取自总体为取自总体 N ( 1 12 ) 的样本的样本,为取自总体为取自总体 N ( 2 22 ) 的样本的样本,分别表示两样本的样本均值与样本方差分别表示两样本的样本均值与样本方差三、两个正态总体均值差的置信区间三、两个正态总体均值差的置信区间1. 方差方差 1 2 、 2 2已知时，已知时，1- 2的置信度为的置信度为1- 的的置信置信区间是：区间是： 且两总体相互独立。且两总体相互独立。推导：推导：N(0, 1)由由解得解得从而得从而得1- 2的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：也可简记为：也可简记为：(2) 未知未知 但但 时，时，12的置信度的置信度为为1 的的置信区间是：置信区间是：推导：推导：由由得得由由和和得得从而从而解得解得12的置信度的置信度为为1 的的置信区间是：置信区间是：由由四、方差比四、方差比的置信区间的置信区间( ( 1 1， 2 2未知未知) )的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：由由解得解得推导：推导：从而得从而得 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：即即 的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：例例3.3.某食品加工厂有甲、乙两条加工猪肉罐头的某食品加工厂有甲、乙两条加工猪肉罐头的生产线，设罐头质量生产线，设罐头质量 服从服从正态分布，从正态分布，从甲生产线甲生产线抽取抽取1010只罐头，测得平均质量只罐头，测得平均质量 ，已知标，已知标准差准差 1 =5(g)=5(g)；从从乙生产线抽取乙生产线抽取2020只罐头，测得平只罐头，测得平均质量均质量 ，已知标准差，已知标准差 2 =4(g)=4(g)，求甲、，求甲、乙生产线的罐头的平均质量差乙生产线的罐头的平均质量差 1- 2的的置信度为置信度为0.99的置信区间的置信区间解：解：知知1- 2的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是： 由由 1 =5(g)=5(g)， 2 =4(g)=4(g)，又又计算计算所以所以1- 2的置信度为的置信度为0.99的的置信区间是：置信区间是： 例例4.某食品处理前取样分析其含脂率为：某食品处理前取样分析其含脂率为：0.19，0.12，0.18，0.30，0.21，0.27，0.30，0.42，0.66，0.08；处理后取样分析其含脂率为：；处理后取样分析其含脂率为：0.15，0.04，0.13，0.08，0.00，0.20，0.07，0.12，0.24，0.13，0.24，假如处理前后的含脂率均假如处理前后的含脂率均 服从正态分布，且方差不服从正态分布，且方差不变，试求处理前后的含脂率期望之差变，试求处理前后的含脂率期望之差1- 2的的置信度置信度为为0.95的置信区间的置信区间.1- 2的置信度的置信度为为1-的的置信区间是：置信区间是：解：解：由由 未知，但未知，但 ，可知，可知，由给定数据算得由给定数据算得所以，所以，1- 2的置信度为的置信度为0.95的的置信区间是：置信区间是： 计算计算又又解：解：例例5.设设XN ( 1 12 )， YN ( 2 22 )，且且X和和Y相互相互独立，分别在独立，分别在X、Y中取容量为中取容量为n1=13， n2=10的样本，的样本，测得样本方差分别为测得样本方差分别为S 12 =8.41， S22 =5.29，求方差比求方差比 的的置信度为置信度为0.90的置信区间的置信区间.的置信度为的置信度为1- 的的置信区间是：置信区间是：计算计算的置信度为的置信度为0.90的的置信区间是：置信区间是：所以所以五、大样本场合下五、大样本场合下p和和的区间估计的区间估计1 1、大样本场合下概率、大样本场合下概率p的置信度为的置信度为1-1-的的置信置信区间为区间为推导：推导： 由中心极限定理知，当由中心极限定理知，当n充分大时，统计量充分大时，统计量近似近似将将 p 的估计值的估计值 代入，得代入，得 p的置信度为的置信度为1-1-的的置信置信区间为区间为2 2、大样本场合下、大样本场合下总体均值总体均值的的置信度为置信度为1-1-的的置信置信区区间为间为推导：推导：由中心极限定理知，当由中心极限定理知，当n充分大时，统计量充分大时，统计量近似近似从而得从而得的的置信度为置信度为1-1-的的置信置信区间为：区间为：解：解：例例6. 某厂对一批产品随机抽验某厂对一批产品随机抽验400件，发现件，发现60件不合格，件不合格，求这批产品的次品率求这批产品的次品率 p 的的置信度为置信度为0.99的置信区间的置信区间.p 的的置信度为置信度为0.99的置信区间为的置信区间为现知现知所以，所以，p 的的置信度为置信度为0.99的置信区间是：的置信区间是：计算计算