学习必备欢迎下载分数乘法一、分数乘法（一）、分数乘法的计算法则：1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分 ）2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。（二） 、规律：（乘法中比较大小时）一个数（ 0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。一个数（ 0 除外）乘小于 1 的数（ 0 除外），积小于这个数。一个数（ 0 除外）乘 1，积等于这个数。（三） 、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。（四） 、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。乘法交换律： a b = b a 乘法结合律： ( a b ) c = a ( b c ) 乘法分配律：（ a + b ）c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）c 二、分数乘法的解决问题（已知单位“ 1”的量（用乘法），求单位“ 1”的几分之几是多少）1、找单位“ 1” ：在分率句中分率的前面；或“占” 、 “是” 、 “比”的后面2、求一个数的几倍：一个数几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数几几。3、写数量关系式技巧：（1） “的”相当于“”“占” 、 “是” 、 “比”相当于“ = ”（2）分率前是“的”：单位“1”的量分率 =分率对应量（3）分率前是“多或少”的意思：单位“ 1”的量（ 1分率） =分率对应量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载三、倒数1、倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数。强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。（要说清谁是谁的倒数） 。2、求倒数的方法：（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。 （3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。（4）、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。3、1 的倒数是 1； 0 没有倒数。因为 11=1；0 乘任何数都得 0，01（分母不能为 0）4、对于任意数(0)a a，它的倒数为1a；非零整数a的倒数为1a；分数ba的倒数是ab；5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。分数除法一、分数除法1、分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。2、分数除法的计算法则：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。3、规律（分数除法比较大小时） ： （1） 、当除数大于 1，商小于被除数；（2） 、当除数小于 1（不等于 0） ，商大于被除数；（3） 、当除数等于 1，商等于被除数。4、 “”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。二、分数除法解决问题（未知单位“ 1”的量（用除法）：已知单位“ 1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 ）1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载（1）分率前是“的”：单位“ 1”的量分率 =分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思：单位“ 1”的量（ 1分率） =分率对应量2、解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。（2）算术（用除法）：分率对应量对应分率 = 单位“ 1”的量3、求一个数是另一个数的几分之几：就一个数另一个数4、求一个数比另一个数多（少）几分之几： 求多几分之几：大数小数 1 求少几分之几： 1 - 小数大数或 求多几分之几（大数 -小数）小数 求少几分之几：（大数- 小数）大数三、比和比的应用（一）、比的意义1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如 15 ：10 = 15 10= 23（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）前项比号后项比值3、比可以表示两个相同量的关系， 即倍数关系。 也可以表示两个不同量的比， 得到一个新量。例：路程速度 =时间。4、区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载6、比和除法、分数的联系：比前项比号“： ”后 项比值除 法被除数除号“”除 数商分 数分子分数线 “”分 母分数值7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。体育比赛中出现两队的分是2：0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。（二） 、比的基本性质1、根据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外） ，商不变。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 除外） ，分数值不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外) ，比值不变。2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。4. 化简比：用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。（1）两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。（2）用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。如： 1510 = 15 10 = 23 = 3 2 5按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。如：已知两个量之比为:a b，则设这两个量分别为axbx和。6、路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为 5：4）工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。（如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则是2：3）圆一、认识圆依据比的基本性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母 O表示。它到圆上任意一点的距离都相等3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径 ：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d 表示。直径是一个圆内最长的线段。5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。6、在同圆或等圆内， 有无数条半径， 有无数条直径。 所有的半径都相等， 所有的直径都相等。7在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2 倍，半径的长度是直径的21。用字母表示为： d2r 或 r 2d8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 （经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。10、只有 1 一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有 2 条对称轴的图形是：长方形只有 3 条对称轴的图形是：等边三角形只有 4 条对称轴的图形是：正方形 ; 有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。二、圆的周长1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。2、圆周率实验：在圆形纸片上做个记号，与直尺0 刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（）。3圆周率： 任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数， 我们把它叫做圆周率。用字母 （pai ） 表示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载（1）、一个圆的周长总是它直径的3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率 是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 3.14 。（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是 倍，而不是 3.14 倍。（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。4、圆的周长公式： C= d d = C 或 C=2 r r = C 2 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。6、区分周长的一半和半圆的周长：（1）周长的一半：等于圆的周长 2 计算方法： 2 r 2 即 r（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法 ：r 2r 三、圆的面积1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母 S表示。2、 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。3、圆面积公式的推导：（1） 、用逐渐逼近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。（2） 、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。（3） 、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。圆的半径 = 长方形的宽圆的周长的一半 = 长方形的长因为：长方形面积 = 长宽所以：圆的面积 = 圆周长的一半 圆的半径 S圆 = r r 圆的面积公式： S圆 = r2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载4、环形的面积：一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R r环的宽度）S环 = R2 2或环形的面积公式： S环= （R2 2）。5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如：在同一个圆里，半径扩大3 倍，那么直径和周长就都扩大3 倍，而面积扩大 9 倍。6、两个圆：半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。例如：两个圆的半径比是23，那么这两个圆的直径比和周长比都是23，而面积比是 49 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：48、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。9、确定起跑线：（1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。（2）、每条跑道直道的长度都相等， 而各圆周长决定每条跑道的总长度。 （因此起跑线不同）（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是：2跑道的宽度（4）、当一个圆的半径增加厘米时，它的周长就增加厘米；当一个圆的直径增加厘米时，它的周长就增加厘米。11、常用各 值结果： = 3.14 2 = 6.28 3 = 9.42 5 = 15.7 6 = 18.84 7 = 21.98 9 = 28.26 10 = 31.4 16 = 50.24 36 = 113.04 64 = 200.9696 = 301.44 4 = 12.56 8 = 25.12 25 = 78.5 12、常用平方数结果112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载百分数一、百分数的意义和写法1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。3、百分数和分数的主要联系与区别：（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系。（2） 区别：、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系， 不能表示具体的数量， 所以不能带单位；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；分数的分子不能是小数，只能是除0 以外的自然数。4、百分数的写法： 通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“”来表示。二、百分数和分数、小数的互化（一）百分数与小数的互化：1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。（二）百分数的和分数的互化1、百分数化成分数：先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100 的分数，能约分要约成最简分数。2、分数化成百分数： 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100 的分数，再写成百分数形式。先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载21 = 0.5 = 50% 51 = 0.2 = 20% 85 = 0.625 = 62.5% 41 = 0.25 = 25% 52 = 0.4 = 40% 81 = 0.125 = 12.5% 43 = 0.75 = 75% 53 = 0.6 = 60% 83 = 1.375 = 37.5% 161 = 0.0625 = 6.25% 54 = 0.8 = 80% 87 = 0.875 = 87.5% 251 = 0.04 = 4252 = 0.08 = 8253 = 0.12 = 12254 = 0.16 = 16三、用百分数解决问题（一）一般应用题1、常见的百分率的计算方法：合格率 = %100产品总数合格产品数发芽率 = %100种子总数发芽种子数出勤率 = %100总人数出勤人数达标率 = %100学生总人数达标学生人数成活率 = %100总数量成活的数量出粉率 = %100出粉物的重量粉的重量烘干率 = %100烘干前的重量烘干后的重量含水率 = %100烘干前的重量烘干后的重量烘干前的重量一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100% ，出米率、出油率达不到100% ，完成率、增长了百分之几等可以超过100% 。（一般出粉率在 70、80% ，出油率在 30、40% 。）2、已知单位“ 1”的量（用乘法），求单位“ 1”的百分之几是多少的问题：数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”：单位“1”的量分率 =分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思：单位“ 1”的量（ 1分率） =分率对应量3、未知单位“ 1”的量（用除法），已知单位“ 1”的百分之几是多少，求单位“1”。解法： （建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载（2）算术（用除法）：分率对应量对应分率 = 单位“ 1”的量4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：两个数的相差量单位“ 1”的量 100% 或： 求多百分之几：(大数- 小数) 小数 求少百分之几：（大数 -小数）大数（二）、折扣1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。通称“打折”。几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如八折=108=80, 六折五 =0.65=652、一成是十分之一，也就是10% 。三成五就是十分之三点五，也就是35% （三） 、纳税1、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。5、应纳税额的计算方法：应纳税额 = 总收入 税率（四）利息1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。3、本金：存入银行的钱叫做本金。4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。5、利率：利息与本金的比值叫做利率。6、利息的计算公式：利息本金利率时间7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载税后利息 =利息- 利息的应纳税额 =利息-利息利息税率 =利息（ 1- 利息税率）扇形统计图一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。二、常用统计图的优点：1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）圆柱与圆锥一、圆柱的特征：1、圆柱的两个圆面叫做底面，周围的面叫做侧面，底面是平面，侧面是曲面，。2、圆柱的高：圆柱两个底面之间的距离叫做高。圆柱的高有无数条。3、圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面沿高展开后是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高， 当底面周长和高相等时， 侧面沿高展开后是一个正方形。4、圆柱的侧面积 = 底面周长高即 S侧=Ch 或 2r h 5 、圆柱的表面积 = 圆柱的侧面积 +底面积 2 即 S 表=S侧+S底2 或 2r h + 2r26、圆柱的体积 =圆柱的底面积高，即 V=sh或 r2h 7、将一张长方形围成圆柱有两种方法，将一张长方形进行旋转一般也有两种。（进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是 4 或者比 4 小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。 ）二、圆锥的特征：1、圆锥只有一个底面，底面是个圆。圆锥的侧面是个曲面。2、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。（测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载的距离。 ）3、把圆锥的侧面展开得到一个扇形。4、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一， 即 V锥= 31 Sh 或 V锥= 31r2h5、常见的圆柱圆锥解决问题：、压路机压过路面面积（求侧面积）；、压路机压过路面长度（求底面周长） ；、水桶铁皮（求侧面积和一个底面积）；、厨师帽（求侧面积和一个底面积）；通风管（求侧面积） 。6、圆柱和圆锥的特征圆柱圆锥底面两个底面完全相同，都是圆形。一个底面，是圆形。侧面曲面，沿高剪开，展开后是长方形。曲面，沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开，展开后是扇形。高两个底面之间的距离，有无数条。顶点到底面圆心的距离，只有一条。常用单位换算长度单位换算1 千米 =1000 米 1 米=10 分米1 分米 =10 厘米1 米=100 厘米1 厘米 =10 毫米面积单位换算1 平方千米 =100 公顷1 公顷 =10000 平方米1 平方米 =100 平方分米1 平方分米 =100 平方厘米1 平方厘米 =100 平方毫米体(容)积单位换算1 立方米 =1000 立方分米1 立方分米 =1000 立方厘米1 立方分米 =1 升1 立方厘米 =1 毫升1 立方米 =1000 升重量单位换算1 吨=1000 千克1 千克 =1000 克1 千克 =1 公斤人民币单位换算1 元=10 角1 角=10 分1 元=100 分时间单位换算1 世纪 =100 年1 年=12 月大月 (31 天)有:135781012月小月 (30 天)的有 :46911 月平年 2 月 28 天, 闰年 2 月 29 天平年全年365 天, 闰年全年366 天1 日 =24 小时1 时=60 分1 分=60 秒1 时=3600 秒精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页