第第2 2节命题、充分条件与必要条件节命题、充分条件与必要条件最新考纲最新考纲题题, ,会分析四种命题的相互关系会分析四种命题的相互关系. .3.3.理解充分条件、必要条件与充要理解充分条件、必要条件与充要条件的含义条件的含义. .1.1.理解命题的概念理解命题的概念. .2.2.了解了解“若若p,p,则则q q”形式的命题及形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命其逆命题、否命题与逆否命知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读【教材导读】1.1.在四种命题中在四种命题中, ,会有会有1 1个或个或3 3个命题为真命题吗个命题为真命题吗? ?提示提示: :不会不会, ,由原命题与逆否命题由原命题与逆否命题, ,逆命题与否命题是两对互为逆否的命逆命题与否命题是两对互为逆否的命题、真假性相同题、真假性相同, ,则四种命题为真命题的可能个数为则四种命题为真命题的可能个数为0,2,4.0,2,4.2.2.写一个命题的其他三种命题时需要注意什么写一个命题的其他三种命题时需要注意什么? ?提示提示: :(1)(1)对于不是对于不是“若若p,p,则则q q”形式的命题形式的命题, ,需先改写需先改写. .(2)(2)当命题有大前提时当命题有大前提时, ,写其他三种命题时需保留大前提写其他三种命题时需保留大前提. .3.3.“p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件”与与“p p的充分不必要条件是的充分不必要条件是q q”表达的意表达的意义相同吗义相同吗? ?知识梳理知识梳理1.1.命题的概念命题的概念可以判断真假、用文字或可以判断真假、用文字或 表述的语句叫作命题表述的语句叫作命题, ,其中判断为真其中判断为真的语句叫作真命题的语句叫作真命题, ,判断为假的语句叫作假命题判断为假的语句叫作假命题. .符号符号互逆、互否、互为逆否互逆、互否、互为逆否都是相对的！都是相对的！2.2.四种命题及其关系四种命题及其关系(1)(1)四种命题间的逆否关系四种命题间的逆否关系(2)(2)四种命题的真假关系四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题两个命题互为逆否命题, ,它们有它们有 的真假性的真假性; ;两个命题互为逆命题或互为否命题两个命题互为逆命题或互为否命题, ,它们的真假性它们的真假性 确定的关系确定的关系. .相同相同没有没有充分充分 必要必要 充分不必要充分不必要 必要不充分必要不充分 充要充要 既不充分也不必要既不充分也不必要 (2)(2)充分、必要条件与定理的关系充分、必要条件与定理的关系判定定理阐述了结论成立的依据判定定理阐述了结论成立的依据, ,给出了结论成立的充分条件给出了结论成立的充分条件; ;性质定理阐性质定理阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质述了一个数学研究对象所具有的重要性质, ,给出了结论成立的必要条件给出了结论成立的必要条件. .【重要结论【重要结论】1.1.四种命题中的等价关系四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题原命题等价于逆否命题, ,否命题等价于逆命题否命题等价于逆命题, ,所以在命题不容易证明所以在命题不容易证明时时, ,往往找等价命题进行证明往往找等价命题进行证明. .2.2.等价转化法判断充分条件、必要条件等价转化法判断充分条件、必要条件p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件, ,等价于等价于q q是是p p的充分不必要条件的充分不必要条件. .其他情况其他情况以此类推以此类推. .夯基自测夯基自测1.1.给出命题给出命题: :“若实数若实数x,yx,y满足满足x x2 2+y+y2 2=0,=0,则则x=y=0x=y=0”, ,在它的逆命题、否命在它的逆命题、否命题、逆否命题中题、逆否命题中, ,真命题的个数是真命题的个数是( ( ) )(A)0(A)0个个 (B)1(B)1个个 (C)2(C)2个个 (D)3(D)3个个D D解析解析: :原命题显然正确原命题显然正确, ,其逆命题为其逆命题为: :若若x=y=0,x=y=0,则则x x2 2+y+y2 2=0,=0,显然也是真显然也是真命题命题, ,由四种命题之间的关系知由四种命题之间的关系知, ,其否命题、逆否命题也都是真命题其否命题、逆否命题也都是真命题. .故选故选D.D.2.(20152.(2015高考山东卷高考山东卷) )设设mmR R, ,命题命题“若若m0,m0,则方程则方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有实根有实根”的的逆否命题是逆否命题是( ( ) )(A)(A)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有实根有实根, ,则则m0m0(B)(B)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有实根有实根, ,则则m0m0(C)(C)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0没有实根没有实根, ,则则m0m0(D)(D)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0没有实根没有实根, ,则则m0m0D D解析解析: :由原命题和逆否命题的关系可知由原命题和逆否命题的关系可知D D正确正确. .C C4.(20154.(2015高考重庆卷高考重庆卷) )“x=1x=1”是是“x x2 2-2x+1=0-2x+1=0”的的( ( ) )(A)(A)充要条件充要条件 (B)(B)充分而不必要条件充分而不必要条件(C)(C)必要而不充分条件必要而不充分条件 (D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析: :由由x x2 2-2x+1=0,-2x+1=0,解得解得x=1,x=1,所以所以“x=1x=1”是是“x x2 2-2x+1=0-2x+1=0”的充要条的充要条件件, ,故选故选A.A.A A5.5.若若“mama”是是“方程方程x x2 2+x+m=0+x+m=0有实数根有实数根”的必要不充分条件的必要不充分条件, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是. .考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识四种命题及真假判断四种命题及真假判断考点一考点一先表示再判先表示再判断真假断真假反思归纳反思归纳 (1)(1)四种命题的书写时四种命题的书写时, ,要注意词语的否定形式要注意词语的否定形式, ,如如“都是都是”的否定应为的否定应为“不都是不都是”, ,“大于大于”的否定为的否定为“不大于不大于”等等. .(2)(2)命题真假的判断方法命题真假的判断方法联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. .利用原命题与逆否命题利用原命题与逆否命题, ,逆命题与否命题的等价关系进行判断逆命题与否命题的等价关系进行判断. .【即时训练】【即时训练】 (2016(2016合肥模拟合肥模拟) )已知命题已知命题“若函数若函数f(xf(x)=e)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上上是增函数是增函数, ,则则m1m1”, ,则下列结论正确的是则下列结论正确的是( () )(A)(A)否命题是否命题是“若函数若函数f(xf(x)=e)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数, ,则则m1m1”是真命题是真命题(B)(B)逆命题是逆命题是“若若m1,m1,则函数则函数f(xf(x)=e)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数”是假命是假命题题(C)(C)逆否命题是逆否命题是“若若m1,m1,则函数则函数f(xf(x)=e)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数”是真命是真命题题(D)(D)逆否命题是逆否命题是“若若m1,m1,则函数则函数f(xf(x)=e)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上不是增函数上不是增函数”是真是真命题命题解析解析: :f(xf(x)=e)=ex x-m,-m,由由f(xf(x) )在在(0,+)(0,+)上是增函数知上是增函数知f(x)0,f(x)0,即即memex x在在x(0,+)x(0,+)上恒成立上恒成立, ,又又e ex x1,1,从而从而m1,m1,则原命题是真命题则原命题是真命题. .对于对于A,A,否命题写错否命题写错, ,故选项故选项A A错错; ;对于对于B,B,逆命题写对逆命题写对, ,但逆命题是真命题但逆命题是真命题, ,故选项故选项B B错错; ;对于对于C,C,逆否命题写错逆否命题写错, ,故选项故选项C C错错; ;对于对于D,D,逆否命题写对逆否命题写对, ,且为真命题且为真命题. .故选故选D.D.充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断考点二考点二【例【例2 2】 (1)(2015(1)(2015高考浙江卷高考浙江卷) )设设a,ba,b是实数是实数, ,则则“a+ba+b00”是是“abab00”的的( () )(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件(B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充分必要条件充分必要条件 (D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件(2)(2015(2)(2015高考陕西卷高考陕西卷) )“sin =cossin =cos ”是是“coscos 2=0 2=0”的的( () )(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件(B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充分必要条件充分必要条件(D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析: :(1)(1)若若a+ba+b0,0,取取a=3,b=-2,a=3,b=-2,则则abab00不成立不成立; ;反之反之, ,若若a=-2,b=-3,a=-2,b=-3,则则a+ba+b00不成立不成立, ,因此因此“a+ba+b00”是是“abab00”的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件. .故选故选D.D.(2)(2)因为因为coscos 2=cos 2=cos2 2 -sin -sin2 2 , ,所以当所以当sin =cossin =cos 时时,cos,cos 2=0, 2=0,充分性成立充分性成立, ,当当coscos 2=0 2=0时时, ,因为因为coscos2 2 -sin -sin2 2 =0, =0,所以所以cos =sincos =sin或或coscos =-sin , =-sin ,必要性不成立必要性不成立, ,故选故选A.A.反思归纳反思归纳 (1)(1)在求解这类问题时应注意以下三点在求解这类问题时应注意以下三点: :一要分清条件与一要分清条件与结论分别是什么结论分别是什么; ;二要从充分性、必要性两个方面进行判断二要从充分性、必要性两个方面进行判断; ;三直接判三直接判断比较困难时断比较困难时, ,可举出反例说明可举出反例说明. .(2)(2)判断充分、必要条件的两个常用方法判断充分、必要条件的两个常用方法: :一是定义法一是定义法, ,判断判断p p是是q q的什么的什么条件条件, ,实际上就是判断实际上就是判断p pq q或或q qp p是否成立是否成立. .二是集合法二是集合法, ,把条件和结论把条件和结论转化为集合转化为集合, ,借助集合关系进行判定借助集合关系进行判定. .【即时训练】【即时训练】 (1)(2015(1)(2015沈阳高三一模沈阳高三一模) )设设xxR R, ,则则“x=2x=2”是是“复数复数(x(x2 2-4)+(x+2)i-4)+(x+2)i为纯虚数为纯虚数”的的( () )(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件 (B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充分必要条件充分必要条件 (D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件(2)(2015(2)(2015江西上饶三模江西上饶三模) )已知直线已知直线l l1 1:ax+y=1:ax+y=1和直线和直线l l2 2:9x+ay=1,:9x+ay=1,则则“a+3=0a+3=0”是是“l l1 1ll2 2”的的( () )(A)(A)充要条件充要条件 (B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充分不必要条件充分不必要条件(D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件充分条件、必要条件的探求与应用充分条件、必要条件的探求与应用考点三考点三【例【例3 3】 (1)(2015(1)(2015龙岩模拟龙岩模拟) )命题命题“对任意对任意x1,2),xx1,2),x2 2-a0-a0”为真命题为真命题的一个充分不必要条件可以是的一个充分不必要条件可以是( () )(A)a4(A)a4(B)a4(B)a4 (C)a1(C)a1(D)a(D)a11解析解析: :(1)(1)由题意知由题意知axax2 2对对x1,2)x1,2)恒成立恒成立, ,当当x1,2)x1,2)时时,1x,1x2 24,4a4是命题为真命题的一个充分不必要条件是命题为真命题的一个充分不必要条件. .故选故选B.B.(2)(2)设命题设命题p:p:实数实数x x满足满足x x2 2-4ax+3a-4ax+3a2 20,0,其中其中a0;a0,80,且且q q是是p p的必要不充分条件的必要不充分条件, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是. .思路点拨思路点拨: :(1)(1)要寻找的是充分不必要条件要寻找的是充分不必要条件, ,即从选项可以推得结论即从选项可以推得结论, ,反之反之不成立不成立; ;(2)(2)用集合的观点处理用集合的观点处理q q是是p p的必要不充分条件的必要不充分条件, ,命题命题p p对应的集合应是命对应的集合应是命题题q q对应集合的真子集对应集合的真子集. .答案答案: :(1)B(1)B(2)(-,-4(2)(-,-4反思归纳反思归纳 充分条件、必要条件的应用充分条件、必要条件的应用, ,一般表现在参数问题的求解一般表现在参数问题的求解上上. .解题时需注意解题时需注意: :(1)(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系, ,然后根然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式据集合之间的关系列出关于参数的不等式( (或不等式组或不等式组) )求解求解. .(2)(2)要注意区间端点值的检验要注意区间端点值的检验. .【即时训练【即时训练】 (1)(1)下面四个条件中下面四个条件中, ,使使abab成立的充分而不必要的条件成立的充分而不必要的条件是是( () )(A)ab+1(A)ab+1(B)a(B)ab-1b-1(C)a(C)a2 2bb2 2 (D)a(D)a3 3bb3 3解析解析: :(1)ab+1 (1)ab+1 ab;ab;反之反之, ,例如例如a=2,b=1a=2,b=1满足满足ab,ab,但但a=b+1a=b+1即即abab推不出推不出ab+1,ab+1,故故ab+1ab+1是是abab成立的充分而不必要条件成立的充分而不必要条件. .故选故选A.A.备选例题备选例题【例【例1 1】 (2015(2015高考湖北卷高考湖北卷) )l l1 1,l,l2 2表示空间中的两条直线表示空间中的两条直线, ,若若p:lp:l1 1,l,l2 2是是异面直线异面直线,q:l,q:l1 1,l,l2 2不相交不相交, ,则则( () )(A)p(A)p是是q q的充分条件的充分条件, ,但不是但不是q q的必要条件的必要条件(B)p(B)p是是q q的必要条件的必要条件, ,但不是但不是q q的充分条件的充分条件(C)p(C)p是是q q的充分必要条件的充分必要条件(D)p(D)p既不是既不是q q的充分条件的充分条件, ,也不是也不是q q的必要条件的必要条件解析解析: :两直线异面两直线异面, ,则两直线一定无交点则两直线一定无交点, ,即两直线一定不相交即两直线一定不相交; ;而两直而两直线不相交线不相交, ,有可能是平行有可能是平行, ,不一定异面不一定异面, ,故两直线异面是两直线不相交故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件的充分不必要条件, ,故选故选A.A.【例【例3 3】 若若xm-1xm+1xm+1是是x x2 2-2x-30-2x-30的必要不充分条件的必要不充分条件, ,则实数则实数m m的取的取值范围是值范围是. .【例【例4 4】 已知集合已知集合M=x|xM=x|x-35,P=x|(x-a)x5,P=x|(x-a)(x-8)0.(x-8)0.(1)(1)求实数求实数a a的取值范围的取值范围, ,使它成为使它成为MP=x|5x8MP=x|5x8的充要条件的充要条件; ;(2)(2)求实数求实数a a的一个值的一个值, ,使它成为使它成为MP=x|5x8MP=x|5x8的一个充分不必要条件的一个充分不必要条件. .解解: :(1)(1)由由MP=x|5x8,MP=x|5x8,结合集合结合集合M,PM,P可得可得-3a5.-3a5.故故-3a5-3a5是是MP=x|5x8MP=x|5x8的必要条件的必要条件. .下面证明这个条件也是充分的下面证明这个条件也是充分的. .证明证明: :当当-3a5-3a5时时, ,集合集合P=x|ax8,P=x|ax8,集合集合M=x|xM=x|x-35,x5,故故MP=x|5x8.MP=x|5x8.综上可知综上可知,-3a5,-3a5是是MP=x|5x8MP=x|5x8的充要条件的充要条件. .(2)(2)求实数求实数a a的一个值的一个值, ,使它成为使它成为MP=x|5x8MP=x|5x8的一个充分不必要条件的一个充分不必要条件, ,就是在集合就是在集合a|-3a5a|-3a5中取一个值中取一个值, ,如取如取a=0,a=0,此时必有此时必有MP=x|5xMP=x|5x8;8;反之反之,MP=x|5x8,MP=x|5x8未必有未必有a=0,a=0,故故a=0a=0是是MP=x|5x8MP=x|5x8的一个充的一个充分不必要条件分不必要条件. .易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼充分条件、必要条件判断的误区充分条件、必要条件判断的误区【典例】【典例】 (2016(2016厦门模拟厦门模拟) )设设a,ba,bR R, ,且且a0,a0,则则“(a-b)a(a-b)a2 200”是是“aba0.0.由由(a-b)a(a-b)a2 200知知a-b0,a-b0,即即ab.ab.所以所以“(a-b)a(a-b)a2 200”是是“aba0.0.因为因为ab,ab,即即a-b0,a-b0,所以所以(a-b)a(a-b)a2 20.0.所以所以“(a-b)a(a-b)a2 200”是是“abab”的必要条件的必要条件. .综上综上, ,应选应选C.C.(2)(2)判断充分条件、必要条件必须从正、反两个方面进行推理论证判断充分条件、必要条件必须从正、反两个方面进行推理论证, ,缺缺一不可一不可, ,最后根据充分条件、必要条件的定义进行判断最后根据充分条件、必要条件的定义进行判断. .