第第1616讲讲等腰三角形等腰三角形20112015年中考试题统计与命题展望考点一考点二考点三考点一等腰三角形考点一考点二考点三考点二等边三角形定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形. 性质 (1)三边相等; (2)三角相等而且每一个角都等于60; (3)是轴对称图形,有三条对称轴 判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形 ; (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 ; (3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 考点一考点二考点三考点三线段垂直平分线考法1考法2考法3考法4考法1等腰三角形的概念和性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形具有性质:等腰三角形的两腰相等;等腰三角形的两个底角相等;等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.注意:在等腰、底边上的高、底边上的中线、顶角平分线四个元素中,任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素作为结论.考法1考法2考法3考法4例1已知:如图所示,在ABC中,AB=AC,BD=DC,CAF是ABC的外角,AEBC.求证:(1)AE平分FAC;(2)AEAD.分析:(1)利用“等边对等角”和平行线的性质可证明1=2;(2)要证AEAD,由等腰三角形的“三线合一”,得ADBC.再由AEBC,得到AEAD.考法1考法2考法3考法4证明:(1)AB=AC,B=C.又AEBC,1=B,2=C,1=2,AE平分FAC.(2)AB=AC,BD=DC,ADBC.又AEBC,AEAD.规律总结等腰三角形“三线合一”的性质,既涉及角相等又涉及线段相等和垂直,为证明线段和角的关系增添了又一理论根据.考法1考法2考法3考法4考法2等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.注意:等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既可作为性质,又可作为判定办法.等腰三角形的判定和性质互逆.判定定理在同一个三角形中才能适用.例2已知:如图,在RtABC中,C=90,过点B作BDAC,且BD=2AC,连接AD.试判断ABD的形状,并说明理由.考法1考法2考法3考法4解:ABD是等腰三角形.理由:如图,在BD上取点E,使BE=DE,连接AE,则BE= BD.BD=2AC,BE=AC.BDAC,四边形ACBE是平行四边形.C=90,四边形ACBE是矩形,AEB=90,即AEBD.AB=AD,ABD是等腰三角形.考法1考法2考法3考法4考法3等边三角形的判定和性质(1)等边三角形是一种非常特殊的几何图形,它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同时等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线合一的性质,解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.(2)等边三角形的特性如下:三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.(3)等边三角形的判定较复杂,在应用时要抓住已知条件的特点,选取恰当的判定方法,一般地,若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定;若从等腰三角形出发,则想办法获取一个60的角判定.考法1考法2考法3考法4例3已知:如图所示,点C为线段AB上一点,ACD,CBE是等边三角形,AE与CD交于点M,BD与CE交于点N,AE交BD于点O.求证:(1)AE=DB;(2)CMN是等边三角形.分析:(1)因为线段AE和DB不在同一个三角形内,所以要证AE=DB,可把这两条线段分别放到两个全等的三角形中;(2)要证明CMN是等边三角形可利用“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”来证明.考法1考法2考法3考法4证明:(1)ACD,CBE是等边三角形,AC=DC,BC=EC,ACD=BCE=60.又点C为线段AB上一点,ACE=180-BCE=120.同理,DCB=120,ACE=DCB,DCE=180-60-60=60.ACEDCB(SAS),AE=DB.考法1考法2考法3考法4(2)ACEDCB,EAC=BDC,即MAC=NDC.ACMDCN(ASA),CM=CN.又MCN=DCE=60,CMN是等边三角形.规律总结解决与等边三角形有关的问题时应注意挖掘等边三角形所隐含的相等的边和角的关系.考法1考法2考法3考法4考法4线段垂直平分线的性质和判定定义:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,简称“中垂线”.性质:线段的垂直平分线垂直且平分线段.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫三角形的外心,并且这一点到三个顶点的距离相等.判定:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.考法1考法2考法3考法4例4如图,在四边形ABCD中,ADBC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂线分别与AD,BC相交于点E,F,连接AF.求证:AE=AF.分析:由ADBC,可证EAC=ACF,AEO=OFC.又EF垂直平分AC,得AO=OC,由“AAS”证明AOECOF,得AE=FC.再由EF是AC的垂直平分线,可以证明AF=FC,即可得AE=AF.考法1考法2考法3考法4证明:ADBC,EAO=FCO,AEO=CFO.EF垂直平分AC,AO=CO,FA=FC.AOECOF(AAS),AE=CF,AE=AF.规律总结线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,因此,解决有关线段垂直平分线的题目时,常连接线段的端点和线段垂直平分线上的点,构造等腰三角形得到线段或角相等.