初一数学竞赛系列讲座 (4) 相交线、平行线一、知识要点：1 平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。2 两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。3 垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。4 在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理。5 利用平行公理及其推论证明或求解。二、例题精讲例 1如图 (1)，直线 a 与 b 平行， 1(3x+70) , 2=(5x+22) , 求 3 的度数。解：ab，3 4（两直线平行，内错角相等）1+3 2+ 4180( 平角的定义 ) 1 2 (等式性质 ) 则3x+705x+22解得 x=24 即 1 1423180- 138图(1)评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。例 2已知：如图 (2)， AB EFCD，EG 平分 BEF， B+BED+ D =192 ，B- D=24，求 GEF 的度数。解： ABEFCD B=BEF， DEF=D（两直线平行，内错角相等） B+BED+ D =192（已知）即 B+BEF+DEF+ D=192 2（ B+D）=192（等量代换）则 B+D=96（等式性质） B- D=24（已知）图(2) B=60（等式性质）即 BEF=60（等量代换）EG 平分 BEF（已知） GEF=21BEF=30 （角平分线定义）例 3如图（ 3） ，已知 AB CD，且 B=40， D=70，求 DEB 的度数。ABCDEFG32lab4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页ABCDEF解：过 E 作 EFAB ABCD（已知）EFCD（平行公理）BEF=B=40 DEF=D=70（两直线平行，内错角相等）DEB= DEF- BEF DEB = D- B=30评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。图（ 3）例 4已知锐角三角形ABC 的三边长为a，b，c，而 ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，求证： ha+hb+hca+b+c 分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段证明：由垂线段最短知，hac ，hba，hcb 以上三式相加得ha+hb+hca+b+c 研究垂直关系应掌握好垂线的性质。1 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。2 垂线段最短。例 5如图（ 4） ，直线 AB 与 CD 相交于 O，EF AB 于 F，GHCD 于 H，求证 EF 与 GH 必相交。分析：欲证EF 与 GH 相交，直接证很困难，可考虑用反证法。证明：假设EF 与 GH 不相交。EF、GH 是两条不同的直线EFGH EF ABGHAB 又因 GHCD故 ABCD ( 垂直于同一直线的两直线平行)图（ 4）这与已知AB 和 CD 相交矛盾。所以 EF 与 GH 不平行，即EF 与 GH 必相交评注：本题应用结论：(1) 垂直于同一条直线的两直线平行。(2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；例 6平面上n 条直线两两相交且无3 条或 3 条以上直线共点，有多少个不同交点？解： 2 条直线产生1个交点，第 3 条直线与前面2 条均相交，增加2 个交点，这时平面上3 条直线共有1+2=3 个交点；第 4 条直线与前面3 条均相交，增加3 个交点，这时平面上4 条直线共有1+2+3=6 个交点；则n 条直线共有交点个数：1+2+3+ (n-1)=21n(n-1) ABCDEFGHObacha精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页评注：此题是平面上n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例 7 6 个不同的点，其中只有3 点在同一条直线上，2 点确定一条直线，问能确定多少条直线？解： 6 条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15 条直线，除去共线的3 点中重合多算的2 条直线，即能确定的直线为15-2=13 条。另法： 3 点所在的直线外的3 点间最多能确定3 条直线，这3 点与直线上的3 点最多有33=9 条直线，加上3 点所在的直线共有：3+9+1=13 条评注：一般地，平面上n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+(n-1)=21n(n-1) 例 810 条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解： 2 条直线最多将平面分成2+2=4 个不同区域；3 条直线中的第3 条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3 段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3 个，即最多分成2+2+3=7 个不同区域；同理： 4 条直线最多分成2+2+3+4=11 个不同区域；10 条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域推广： n 条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+ +n=1+21n(n+1)=21(n2+n+2)块不同的区域思考：平面内n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？例 9平面上n 条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于n0180证明：平面上n 条直线两两相交最多得对顶角2) 1(nn2n(n-1)对，即 2n(n-1)个角平面上任取一点O，将这 n 条直线均平行移动过点O，成为交于一点O 的 n 条直线，这 n 条直线将以O 为顶点的圆周角分为2n 个 （共 n 对）互不重叠的角：1、2、3、2n由平行线的性质知，这2n 个角中每一个都和原来n 条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n 个角均是原 2n(n-1)个角中的角。若这 2n 个角均大于n0180，则1+2+3+2n2nn0180=360, 而1+2+3+2n =360, 产生矛盾Ol3l2ln精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页故1、2、3、2n中至少有一个小于n0180，即原来的 2n(n-1) 中至少有一个角不小于n0180评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。例 10 （a）请你在平面上画出6 条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3 条直线相交，并简单说明画法。（b）能否在平面上画出7 条直线（任意3 条都不共点） ，使得它们中的每条直线都恰与另 3 条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。解： （a）在平面上任取一点A。过 A 作两直线m1与 n1。在 n1上取两点B，C，在m1上取两点D，G。过 B 作 m2m1，过 C 作 m3m1，过D 作 n2n1，过 G 作 n3n1，这时 m2、m3、n2、n3交得 E、F、H、I 四点，如图所示。由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交。（b）在平面上不能画出没有3 线共点的7 条直线，使得其中每条直线都恰与另外3 条直线相交。理由如下：假设平面上可以画出7 条直线， 其中每一条都恰与其它3 条相交， 因两直线相交只有一个交点，又没有3 条直线共点，所以每条直线上恰有与另3 条直线交得的3 个不同的交点。根据直线去计数这些交点，共有3721 个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7 条直线交点总数为22110.5 个，因为交点个数应为整数，矛盾。所以，满足题设条件的7 条直线是画不出来的。三、巩固练习选择题1平面上有5 个点，其中 仅有 3 点在同一直线上，过每2 点作一条直线，一共可以作直线（）条A6B 7C8D92平面上三条直线相互间的交点个数是（）A3B1 或 3C1 或 2 或 3D不一定是1，2，3 3平面上6 条直线两两相交，其中仅有3 条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）A36 条B33 条C24 条D21 条4已知平面中有n个点CBA,三个点在一条直线上，EFDA,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出38 条不同的直线，这时n等于（）（ A）9 （ B ）10 （C）11 （ D）125若平行直线AB、CD 与相交直线EF、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角 （）A4 对B8 对C12 对D 16 对6如图，已知FDBE，则 1+2-3=( )A90B135C150D180m1n1m2m3n2n3ABCDEFGHI精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页21ABCDEFABCDEABCDEFGH第 5 题312ABCDEFG第 6 题第 7 题7如图，已知AB CD， 1=2，则 E 与 F 的大小关系；8平面上有5 个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5 点之外这些直线最多还有交点9平面上3 条直线最多可分平面为个部分。10如图， 已知 AB CDEF，PS GH 于 P，FRG=110，则 PSQ。11已知 A、B 是直线 L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是。12平面内有4 条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。13已知：如图，DECB ，求证： AED= A+ B 14已知：如图，AB CD，求证： B+ D+F=E+G 第 13 题第 14 题15如图，已知CBAB， CE 平分 BCD ，DE 平分 CDA ，EDC+ECD =90，求证： DAAB 16平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？17平面上 5 个圆两两相交， 最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？18一直线上5 点与直线外3 点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？19平面上有8 条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23。20平面上有10 条直线， 无任何三条交于一点，欲使它们出现31 个交点，怎样安排才能办到？画出图形。ABCDEFGlABCDEFGHPQRS第10题ABCDE第 15 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页