57 / 34 第三篇 线性代数第 1 章 行列式 (不作为考试内容 ) 第 2 章 矩 阵1 矩阵的概念我们知道，线性方程组1352yxyx的系数及常数项组成一张数表131512，线性方程组的解取决于这张数表。定义 由nm个数ija排成m行n列的矩形阵表，称为nm矩阵mnmmnnaaaaaaaaa.212222111211，记为mnijaA)(当nm时，称为方阵，如3211，111110101等；当1m时，),(11211naaa称为行矩阵；当1n时，12111maaa称为列矩阵；当0ija时，0.00.0.000.00称为零矩阵；记为o，如0000，000000000等。矩阵只是一张数表，不是一个数，因此，不能展开，不能求值，也不能比较大小。如1011=1，10112012, 10113等都是错误的。定义 设mnijaA)(，mnijbB)(是两个矩阵，若（1）、A、B同阶；（ 2）、ijijba则称BA。例 设A232221131211aaaaaa，B412503精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 34 页58 / 34 若BA，则311a，012a，513a，221a，122a，423a。例 设A7321x，B721x，且BA，则x。2 矩阵的运算设mnijaA)(，mnijbB)(是两个同阶矩阵。一、加法：mnijijbaBA)(，（对应元素相加）例 设A152403B130432则BA113502443023=022031二、减法：m nijijbaBA)(，（对应元素相减）例 设A152403B130432则BA11)3(5024430)2(3282835三、数乘：mnijkakA)(，（用k遍乘A中所有元素）例 设A062504713，则A2012410081426例 设A751213，B915457，且BXA2，求矩阵X。解 由BXA2，得X)(21ABAB915457751213244664X)(21AB21244664122332精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 34 页59 / 34 四、乘法：设mlijaA)(，nlijbB.)(,则mnijcABC)(,其中ijcA的第i行B的第j列。相乘条件：A的列数B的行数。相乘结果：AB是一个nm矩阵，即：（ ml） ()nl例 设A200112，B102321，求AB。解AB200112102321=204321540例 设A0011，B0101，求AB，BA。解AB00110101=0000BA01010011=1111从而BAAB例 设A2141，B3140，求AB，BA。解AB21413140=10284，BA31402141=10284BAAB矩阵乘法满足：（1）、结合律)()(BCACAB（2）、分配律ACABCBA)(，CABAACB)(不满足：（ 1）、交换律BAAB（2）、消去律即若BCAC，且0C，则BA（3）、若0AB，则0A或0B一般地，若A、B是同阶方阵，且BAAB，则称A与B是可交换矩阵相乘条件相乘结果AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 34 页60 / 34 五、乘幂：设A是n阶方阵，定义AAkAA.（k个）例 设A1011，则AA2A=10111011=102123AAA=10211011=1031等等 , 一般地nA=101n。例 设A、B是同阶方阵，计算2)(BA,)(BABA。解222)()()()(BBAABABABBAABABABA一般地，2222)(BABABA)(BABA2)()(ABABBAA2BBAAB一般地，22BA)(BABA六、转置：设Amnmnmmnnaaaaaaaaa.212222111211，则TAnmmnnnmmaaaaaaaaa.212221212111称为A的转置矩阵。结论： (1)、A的行变成TA的列，A的列变成TA的行；（2）、设A是nm矩阵，则TA是mn矩阵。例 设A121310211B112213，求TA，TB。解TA132211101TB121123性质： (1)、AATT)( (2)、TTTABAB)(（3）、TTTBABA)(（4）、TTkAkA)(例 设A、B都是45矩阵，则下面运算可进行的是（）。A、AB B、BA C、TBAD、TAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 34 页61 / 34 例 设A为53矩阵，B为42矩阵，且乘积ACB有意义，则TC是（）矩阵。A、52B、43C、45D、25练习 设A041021，B201141，则TTBA)(。3 几类特殊矩阵一、对角形矩阵对角矩阵：nmaaa0000002211性质：同阶对角矩阵的和差、数乘、积、转置仍为对角矩阵；数量矩阵：aaa000000性质：同阶数量矩阵的和差、数乘、积、转置仍为数量矩阵；单位矩阵：100010001记为I，如2I1001，3I100010001，等等。例 设A042160305，求IA，AI。解IA=100010001042160305=042160305=A，同样可得AAII一般地，对任意方阵A，有AAIIA（I类似于数1）对于单位矩阵，有II2，II3等等。例 下面式子是否成立？（ 1）IAAIA2)(22（ 2）IAIAIA2)(二、三角形矩阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 34 页62 / 34 上三角矩阵：nnnnaaaaaa00022211211下三角矩阵：nnnnaaaaaa21222111000性质：同阶上（下）三角矩阵的和差、数乘、积仍为上（下）三角矩阵。三、对称矩阵定义 若方阵mnijaA)(满足AAT，则称A为对称矩阵例A131352120是对称矩阵若矩阵A对称jiijaa (即主对角线对称位置上的元素必对应相等) 性质：同阶对称矩阵和、差、数乘仍为对称矩阵。注意：两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。例 设A2111，B0110都是对称矩阵。而AB21110110=1211却不是对称矩阵。例 试证对任意方阵A，TAA，TAA均是对称矩阵。证TTAA)(TTTTTAAAAAA)(TAA是对称矩阵；TTTTTTAAAAAA)()(TAA是对称矩阵。例 若A、B均为n阶对称矩阵，则BAAB也是对称矩阵。（自己证明）例 设A、B均为方阵，则下列结论正确的有（）。A、TTTBAAB)(B、若AAT，则22)(AATC、AAAATTD、若AAT,BBT,则ABABT)(4 矩阵的初等行变换一、矩阵的初等行变换（1）、非齐次线性方程bAX；（2）、齐次线性方程0AX，现讨论方程组的的解法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 34 页63 / 34 例 求解方程组)2(1)1(1212121xxxx设11121A称为系数矩阵，1111121A称为增广矩阵，11,21bxxX。则线性方程组的矩阵形式为：bAX现讨论方程组的的解法。解 方程组2)1(1222121xxxx)1)(1()2(3022221xxx)1)(2(322221xxx)2)(2()1(3421xx即方程组的解为41x,32x另解增广矩阵A11111212)1(111221)1)(1()2(310221)1)(2(310221)2)(2()1(310401方程组的解为41x,32x矩阵的初等行变换：（1）、用一个非零数乘矩阵某行,记为ki)(（2）、把某行的倍数加到另一行中去,记为kij)()(（3）、互换任意两行的位置,记为)(),(ji定义 若距阵A满足：（ 1）、零行在矩阵最下方；（ 2）、首非零元的列标随行标的增大而增大，则称A是阶梯矩阵。例300740011、00000370002145053102都是阶梯矩阵，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 34 页64 / 34 300703011、300700011不是阶梯矩阵。定义若阶梯矩阵A满足：（1）、非零行的首非零元都是1；（ 2）、首非零元所在列的其余元素都是0，则称A是行简化阶梯矩阵。例000110101、010000201100402031是行简化阶梯矩阵，200110101、101200010001不是行简化阶梯矩阵。定理：矩阵A初等行变换阶梯矩阵初等行变换行简化阶梯矩阵二、矩阵的秩定义 矩阵A的阶梯矩阵中非零行的行数称为A的秩，记为秩（A）。求法A初等行变换阶梯矩阵， 则秩（A）=阶梯矩阵中非零行的行数例 求矩阵A5341112332122131的秩。解A)1)(1()4()3)(1()3()2()1()2(7470747074702131)1)(2()4()1)(2()3(0000000074702131秩（A）2例 求矩阵A5222321120117033的秩。解：A)2()1(5222321170332011)2)(1()4()1)(1()3()3)(1()2(1200120010002011)1)(3()4(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 34 页65 / 34 0000120010002011)3()2(0000100012002011秩（A）3练习 1 矩阵111111111的秩是；矩阵444222111的秩是；矩阵101101101的秩是；n阶单位矩阵I的秩是。练习 2 矩阵330204212的秩是。定义：设A的n阶方阵，若秩nA)(，则称A为满秩矩阵；若秩nA)(，则称A为降秩矩阵；定理：（）、对任何方阵A，有秩（A）秩（AT）（）、设A为满秩矩阵，则A初等行变换I5逆矩阵大家知道，数的运算，除法是乘法的逆运算，那么，矩阵是否也有除法运算呢？例 求(53)115335(53)1=35或13553(53)1=35定义： 对于方阵A，若存在同阶方阵B，使得IAB，则称B是A的逆矩阵，记为A1，A可称为可逆矩阵。一般地，若IAB，则A1=B，B1=A例 设A2312，B2312AB23122312=1001=I，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 34 页66 / 34 A，B均可逆，且A1=B，B1=A定理：矩阵A可逆的充分必要条件是A是满秩矩阵，并且逆矩阵是唯一的。例 矩阵A0001不可逆矩阵A1111不可逆矩阵A3002可逆例 设矩阵A300010002，求A1。解30001000231000100021=100010001=I，A1=31000100021一般地，1210000000naaa=naaa100001000121（其中0ia）10000000aaa=aaa1000010001 (其中0a) II1性 质 ： （ 1 ） 、 (A1)1=A（ 2 ） 、 (AB)1=B11A(3) 、(AT)1=( A1)T例 试证若A2=I，且AAT=I，则I为对称矩阵。证AAT=I，A可逆，即A1存在又A2=IA2= AAT，即AA=ATA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 34 页67 / 34 用A1左乘上式得：A1AA= A1AATIA=IATAT=A A是对称矩阵例 设A为n阶方阵，且A2=I2，证明AI可逆，并求1)(AI。证A2=I2，IIA2即IIA2从而IIAIA)(IA可逆，且IAIA1)(6 逆矩阵的求法例 设AdcbaBacbdbcad1（其中0bcad）则 有ABacbddcbabcad1bcadbcadbcad001=1001I。于是有下面公式：公式：设Adcba，若0bcad,则A可逆，且A1=acbdbcad1例 设A4151，求A1解bcad0154A可逆，A11154=1154例 设A11875，则A1=。一般地，设A是可逆矩阵，对A施行若干次初等行变换化为I，可以证明对I施行同样的初等行变换化为A1，于是可以得到求逆矩阵方法如下：逆矩阵求法：作一个nn2矩阵),(IA,则),(IA初等行变换),(1AI例 设A223112011，求A1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 34 页68 / 34 解),(IA1002230101120010113)1()3()2)(1()2(1032500121300010112)2()3(121010012130001011)3()2(012130121010001011)3)(2()3()2()1(351100121010120001)1)(3(351100121010120001),(1AIA1=351121120例 解矩阵方程（ 1）、BAX，其中A3152，1264B（2）、BXA，其中A8553，B4321解 （1）、),(IA10310152)2(),1()2)(1()2(01521031211053012110530121101031)1)(2(3)2()1(),(1AI，21531ABAX1=21531264=80232（2）、12524bcadA1=acbd=3558=3558BAX1=43213558=3412精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 34 页69 / 34 一般地：若（ 1）、BAX（A可逆），则BAX1（2）、BXA（A可逆），则1BAX第 2 章 综合练习题一、填空题1、设A212121，B212234，则BA2，TAB。、设A21，B132，则BAT。、当a时，矩阵Aa131可逆。、设A1320201ba，当a，b时，A是对称矩阵。、设500030002，则1。、设A321321321，则秩（A）。、设矩阵方程XBXA，如果IA可逆，则X。、若A101a，且A1AT，则a=。二、单项选择题、设A、B是两个n阶方阵，下列结论正确的是（）。A、0AB，则0A，0BB、2222)(BABABAC、若秩0)(A，秩0)(B，则秩0)(AB、D、若秩nA)(，秩nB)(，则秩nAB)(、设A是nm矩阵 ,B是ns矩阵，则下列运算有意义的是（）。A、TABB、AB C、BATD、TTBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 34 页70 / 34 、下列矩阵中，可逆的矩阵是因为（）。A、0011B、0110C、2211D、10104、设矩阵A314231001021，则)(Ar（）A、4 B、3 C、2 D、1 5、设A、B是同阶方阵，若满足条件（），则可逆。A、0ABB、IABC、0AD、BAAB6、设A、B是同阶对称矩阵，则BA2T是（）。A、零矩阵B、对角矩阵C、可逆矩阵D、对称矩阵7、设下面矩阵CBA,能进行乘法运算，那么（）成立。A、设ACAB，且0A，则CBB、设ACAB，且A可逆，则CBC、A可逆，则BAABD、0AB，则有0A，或0B三、计算题1、设矩阵021201A，210321B，计算TBAI。2、 设矩阵021201A，142136B，计算1)(AB。3 、设矩阵011120A，110012B，计算1)(TAB。4、设矩阵301111010A，求1)(AI。5、设矩阵5321A，3221B，求解矩阵方程BXA。四、证明题1、若A为n阶方阵，且02A，试证AI可逆，并且AIAI1)(。2、设n阶矩阵A、B满足ABBA，证明IA可逆，并求其逆。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 34 页71 / 34 第 3 章 线性方程组1 线性方程组的求解方法（消元法）线性方程组有如下二种类型：、非齐次线性方程组322112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxanmnmmnnnn矩阵形式：bAX ( 其中A为系数矩阵 )、齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa矩阵形式：0AX( 其中A为系数矩阵 )解法：对于非齐次线性方程组：bAX（1）、先写出方程组的增广矩阵A；（2）、A初等行变换阶梯矩阵初等行变换行简化阶梯矩阵；（3）、写出方程组之解。对于齐次线性方程组：0AX（1）、先写出方程组的增广矩阵A；（2）、A初等行变换阶梯矩阵初等行变换行简化阶梯矩阵；（3）、写出方程组之解。例 解方程组1222121xxxx解增广矩阵A=310221310221111221)1)(2()1)(1()2(310401)2)(2()1(，故方程组的解为3421xx例 解方程组25323232321321xxxxxxxx解增广矩阵A=211053213211)1)(1()2(211021103211)1)(2()3(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 34 页72 / 34 000021103211)1)(2()1(000021101101原方程变为213231xxxx，故方程组的一般解为323121xxxx（其中 x3为自由未知量）例 解方程组488239324432143214321xxxxxxxxxxxx解增广矩阵 A=4882391132411113)1()3()2)(1()2(855501111041111)5)(2()3()1)(2()1(300001111032201从A中最后一行可以得到300004321xxxx，是一个矛盾方程，故原方程组无解。2 线性方程组解的情况的判定设有：非齐次线性方程组bAX (m个方程，n个未知量，A为系数矩阵，A),(bA为增广矩阵）齐次线性方程组0AX(m个方程，n个未知量，A为系数矩阵 ) 解的情况判定定理1：（ 1）、非齐次线性方程组bAX有解的充要条件是：秩（ A）秩)(A；（2）、齐次线性方程组0AX一定有解。解的情况判定定理2：若非齐次线性方程组bAX有解，则（1）、当秩)(An时，方程组有唯一解；（2）、当秩)(An时，方程组有无穷多组解。对于齐次线性方程组0AX, 则（1）、当秩)(An时，方程组只有零解（唯一解）；（2）、当秩)(An时，方程组有非零解（无穷多组解）。例 讨论为何值时，方程组0032121xxxx有非零解？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 34 页73 / 34 解A113)2()1(311)3)(1()2(3011当03即3时，秩21)(A (未知量个数)从而方程组有非零解。例 当k时，方程组2422121kxxxx有无穷多组解？解增广矩阵A=21412k)2()1(41221k)2)(1()2(021021kk当k21时，秩（A）=秩21)(A (未知量个数 ), 从而有无穷多组解。例 判断方程组32143232321321321xxxxxxxxx是否有解？解增广矩阵A=32114312312)2()1(32123121431)1()3()2)(1()(2(24100550143151)2(241001101431)2()3(3)2()1(230001101101故当3时，秩（A）=秩3)(A方程组有唯一解当3时，秩（A）3，秩2)(A，秩（A）秩)(A方程组无解例为何值时，下列方程组有解？有解时，求出它的解。122323212321321321321xxxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 34 页74 / 34 解增广矩阵A=121121321321121)1()4()3)(1()3(2)1()2(0330355001101121)3)(2()4(5)2()3(0000300001101121当03，即3时，秩2)(A, 秩（A）3, 秩)(A秩（A）方程组无解；当03,即3时，秩)(A秩32)(A(未知量个数 ) 方程组有无穷多组解；当3时,增广矩阵A0000000001101121)2)(2()1(0000000001101101方程组的一般解为32311xxxx (其中3x为自由未知量 )。第3章综合练习题一、填空填1、方程组bAX有解的充要条件是。2、设n元齐次方程组0AX只有零解，则秩)(A。3、若线性方程组bAX)0(b有唯一解，则0AX。4、设方程组bAX的增广矩阵A700023100111t则当t时，方程组有解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 34 页75 / 34 5、 方程组bAX的增广矩阵A010023106111则当时，方程组有唯一解。6、 线性方程组002121xxxx有非零解，则=。7、 当=时，线性方程组3422121xxxx无解？8、 齐次方程组0AX的系数矩阵A000020103211，此方程组的一般解为。二、单项选择题 1、非齐次方程组bXAmn有无穷多解的充要条件是（）。A、nmB、秩 (A)nC、秩)(A秩(A)mD、秩)(A秩(A)n 2、若非齐次方程组bXAmn有唯一解，那么有（）。A、秩 (A)nB、秩mA)(C、秩)(A秩(A) D、秩)(A秩(A)n3、齐次方程组0XAmn有非零解的充分必要条件是（）。A、秩mA)(B、秩)(AmC、秩nA)(D、秩nA)(4、齐次方程组0AX（）。A、一定有非零解B、一定只有零解C、一定有解D、可能有解5、若线性方程组0AX只有零解，则bAX)0(b ( )。A、有唯一解B、可能有解C、有无穷多解D、无解6、线性方程组012121xxxx解的情况是（）。A、无解B、只有零解C、有唯一解D、有无穷多解三、计算题 1、解方程组11432143214321xxxxaxxxxxxxx其中参数a为何值时无解？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 34 页76 / 34 为何值时有无穷多组解？并求其一般解。 2、线性方程组bAX的增广矩阵A经过初等行变换后得到如下阶梯形矩阵：A20000131031221aa（1）、当a为何值时，方程组有解？（2）、在有解的情况下，求其一般解。3、解下列线性方程组653254231132432133214321xxxxxxxxxxxx经济数学基础期末复习提要现将本课程的主要知识点小结如下：1、求函数定义域记住： 若xy1则0x；若xy则0x；若xy1则0x；若xyalog则0x；若xyalog1则0x且1x例 1 函数)1lg()(xxxf的定义域是。例 2 函数xxxf21)5ln()(的定义域是。例 3 函数)(xf20 , 105, 22xxxx的定义域是。2、求函数值对于0xx，则)(0xf称为函数值。例 1 设函数0,0,)(2xxxexfx，则)2().0(ff（）。A、4 B、0 C、2e D、1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 34 页77 / 34 例 2 设,1)(,1)(2xxuuuf则)2(uf。3、复合函数的运算己知复合函数，求原来的函数，则用变量代换；己知单个函数，求其复合函数，则直接代入即可；例 1 若函数52) 1(2xxxf，则)(xf。例 2 若函数42) 1(2xxxf，则)(xf。例 3 设11)(xxf，则)(xff（）。A、11xx B、xx1 C、111x D、x11例 4 若函数1)(xefx，则)(xf（）。A、1xe B、1x C、1ln x D 、)1ln( x4、判断两个函数是否相同如果两个函数的定义域和对应关系都相同，则这两个函数相同；如果两个函数的定义域和对应关系有一不同，则这两个函数不同。例 1 下列各函数对中，（）中的两个函数相等。A、1)(,cossin)(22xgxxxf B、xxgxxfln2)(,ln)(2C、xxgxxf)(,)()(2 D、1)(,11)(2xxgxxxf5、判断函数的奇偶性若)()(xfxf，则)(xf是偶函数，其图象关于y轴对称；若)()(xfxf，则)(xf是奇函数，其图象关于原点对称。常见的偶函数是：xxaaxxxxxc,cos|,| ,642等；常 见 的 奇 函 数 是 ：,cot,tan,sin,53xxaaxxxxxx11lnxx，)1ln(2xx等。运算规律：偶偶=偶，奇奇=奇，奇偶=非奇非偶偶偶=偶， 奇奇=偶， 奇偶=奇例1 下列函数中为奇函数是（）。A、xxsin B、xln C、)1ln(2xx D、2xx例2 下列函数中为奇函数是（）。 A、xx2 B、xxee C、11lnxx D、xxsin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 34 页78 / 34 例 3 函数21010)(xxxf的图形关于对称。6、极限概念若Axfxx)(lim0（常量），则称极限存在；若Axfxx)(lim0，则称极限不存在；若)(lim)(lim00xfxfxxxx，则称极限存在；若)(lim)(lim00xfxfxxxx，则称极限不存在；若0)(lim0xfxx，则称)(xf为无穷小；若)(lim0xfxx（或），则称)(xf为无穷大。注意：（ 1）、有界量（或常量）无穷小 =无穷小；（2）、01，01例如：当0x时，1sin1,01sinxxxx；当x时，0sin1, 11sinxxxx。例 1 当0x时，下列变量中（）是无穷大量。 A、x1 B、xxsin C、x2 D、)1ln( x例 2 当0x时，下列变量中（）是无穷小量。 A、001.0x B、xx21 C、x D、x2例 3 已知1tan)(xxxf，当（）时，)(xf是无穷小量。A、0x B、1x C、x D、x例 4 下列极限存在的是（）。A、1lim22xxx B、121lim0xx C、xxe10lim D、xxsinlim7、极限计算（ 1）、对于00)()(lim0xgxfxx，则先分解因式；（ 2）、对于)()(limxgxfx， 则先提取公因式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 34 页79 / 34 （ 3）、对于含有根式的极限，则先进行有理化；（ 4）、对于)()(lim0xgxfxx，则先进行通分；（ 5）、重要极限：1sinlim0xxx例 1 xxx21sinlim0；11sin)1(lim1xxx。例 2 求下列极限1）、423lim222xxxx 4）、112sinlim0xxx 5）、) 3sin(34lim23xxxx8、连续概念函数)(xf在点0x处连续性的判别方法：若)()(lim00xfxfxx则)(xf在点0x处连续；若)()(lim00xfxfxx则)(xf在点0x处间断。例 1 函数0,0,sin)(xkxxxxf在0x处连续，则k（）。 A、2 B、1 C、1 D、2例 2 函数0, 10, 1)(xxxf在0x处（）。 A、左连续 B、右连续 C、连续 D、左右皆不连续例 3 已知函数1,1,11)(2xaxxxxf，若)(xf在),(内连续，则a。例 4 函数3322xxxy的间断点是。9、导数概念定义 1：xxfxxfxfx)()(lim)(0000定义 2：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx记住：可导连续极限存在；极限不存在不连续不可导。可导可微例 1 设2)(xxf，则2)2()(lim2xfxfx（）。A、x2 B、2 C、1 D、4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 34 页80 / 34 例 2 若)(xf在点0x处有极限，则结论（）正确。 A、)(xf在点0x处可导 B、)(xf在点0x处连续 C、)(xf在点0x处有定义 D、)(xf在点0x处可能没有定义10、求切线斜率及切线方程曲线)(xfy在点0x处的切线斜率为)(0xf；曲线)(xfy在点),(00yx处的切线方程为)(000xxxfyy注意：（ 1）、直线bkxy的斜率为k；（ 2）、两直线平行，则斜率相等。例 1 曲线xysin在点)0 ,0(处的切线方程是（）。 A、xy B、xy2 C、xy21 D、xy例 2 曲线11xy在点（ 0， 1）处的切线斜率是（）。 A、21 B、21C、2) 1(21x D、3) 1(21x例 3 曲线122xxy在点 ( )处的切线平行于直线xy4。 A、)2, 1( B、)1,2( C、)2, 1 ( D、)3,2(11、导数计算（1）、记住12 个导数基本公式及导数运算法则；（2）、熟练掌握： 1）、复合函数求导法：设)(xfy，则)()(xxfy2）、隐函数求导法：两边同时对x求导（把y看成是复合函数）3）、二阶导数：)(yy4）、微分：dxydy例 1 若,cosln2xy求)4(y。例 2 函数xxxfcos)(，则)(xf。例 3 设xexy222cos，求dy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 34 页81 / 34 例 4 已知xxyx1cos2，求)(xy。12、单调性及极值单调性：先求驻点，分割区间，然后判断（)0;,0yy。极值：先求出函数的可疑极值点ix，若函数在ix附近先升后降，则)(ixf为极大：先降后升，则)(ixf为极小。例 1 下列函数在区间),(上单调增加的是（）。 A、xsin B、xe C、2x D、x3例 2 函数2)1(3 xy的驻点是。例 3 函数44)(2xxxf在区间)0 ,(内（）。 A单调增加 B。单调减少 C。先增加后减少 D。先减少后增加例 4 下列结论中正确的有（）。A、0x是)(xf的极值点，且)(0xf存在，则必有0)(0xf；B、0x是)(xf的极值点，则0x必是)(xf的驻点，；C、若0)(0xf，则0x必是)(xf的极值点； D 、使)(xf不存在的点0x，一定是)(xf的极值点。例 5 下列结论中（）不正确。A、)(xf在点0x处连续，则一定在点0x处可微；B、)(xf在点0x处不连续，则一定在点0x处不可导；C、可导函数的极值点一定发生在其驻点上； D、若)(xf在区间,ba内恒有)(xf0，则在,ba内函数是单调减少的。13、需求函数设需求函数为)( pqq，则需求弹性qqpEP设需求函数为bpaeq，则需求弹性bpEP经济意义：当价格为p时，再提价1%，则需求量将变动pE%。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 34 页82 / 34 例1 若需求量q对价格p的函数为2100)(pepq，则需求弹性PE。例2 已知需求函数为pq2100，当5p时，需求弹性为（）。 A、2ln5 B、2ln5 C、2ln500 D、2ln500例3 若需求量q对价格p的函数为ppq23)(，则需求弹性PE（）。 A、pp23 B、pp23 C、pp23 D、pp2314、极值应用题记住：若需求函数为：bpaq， 则价格函数为：qbbap1成本函数为：qccqC10)(（0)0(cC），平均成本函数为：qqCqC)()(收入函数为：pqqR)(（)0)0(R，平均收入函数为：qqRqR)()(利润函数为：)()()(qCqRqL，平均利润函数为：qqRqR)()(注意：由需求函数可求出价格函数，从而可求出收入函数。例 1 设某商品的需求函数为pq4180，则其收入函数为)(qR。例 2 某厂生产某产品q件的成本函数qqC280)(，则生产20 件该产品时，每件产品的平均成本为。例 3 某厂生产一批产品的固定成本为2000 元，每生产一吨产品的成本增加60 元。对这种产品需求规律为pq101000，其中p为价格，q为需求量，试求：（1）、成本函数，收入函数；（2）、产量为多少吨时利润最大？例 4 某厂生产某种产品q件时的总成本函数201.0420)(qqqC（元），单位销售价格为qp01.014（元 /件），问产量为多少时利润最大？并求最大利润。例 5 某厂每天生产某种产品q件时的成本函数9800365. 0)(2qqqC（元），为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？15、不定积分与定积分的概念记住：（ 1）、若)()(xfxF，则)(xF称为)(xf的一个原函数（原函数有无穷多个，一般记为cxF)(）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 34 页83 / 34 （2）、若)()(xfxF，则cxFdxxf)()(称为不定积分，不定积分与导数是互逆运算，于是有)()(xfdxxfdxxfdxxfd)()(cxfdxxf)()(例 1 设)(xf的一个原函数是2xe，则)(xf。例 2 函数xxf2sin)(的原函数是。例 3 若cxdxxf2)1()(，则)(xf。例 4 若cedxxfx2)(，则)(xf（）。 A、2xe B、221xe C、241xe D、241xe例 5 dxadx2；)(xdf。例 6 dxexx)(3，（3）、定积分)()()()(aFbFabxFdxxfba是一个常数。于是有0)(badxxfabbadxxfdxxf)()(badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)()(bca例 8 edxxdxd12)1ln(。例 9 计算： 1）21|1|dxx 2）22|sin|dxx16、积分计算（1）、凑微分法若cxFdxxf)()(，则cxFxdxfdxxxf)()()()()(例 1 若cxFdxxf)()(，则dxefexx)(（）。A、ceFx)( B、ceFx)( C、cxeFx)( D、cxeFx)(例 2 )(xexd（）。 A、cxex B、cexexx C、cxex D、cexexx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 34 页84 / 34 例 3 下列等式成立的是（）。A、xxdedxe B、)(cossinxdxdx C、xddxx21D、)1(lnxdxdx例 4 计算： 1）、dxxx24 2）、20ln11dxxx 3) 、dxeexx3ln02)1(（ 2）、分部积分法记住分部积分公式：不定积分vduuvudv定积分babavduabuvudv)(应 用 ： 对 于 形 如axdxxaxdxxdxexnnaxncos,sin,的 积 分 ， 分 别 用axaxeaxcos,sin,凑微分；对于形如axdxxnln的积分，则用nx凑微分。例 5 计算： 1）、dxxx)1sin( 2）、xdxxln)1( 3）、202cos xdxx 4）、10) 1ln(edxx（ 3）、利用对称性求积分若)(xf是偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(若)(xf是奇函数，则aadxxf0)(例 1 1122)1(dxxx。例 2 下列积分中的定积分值为0 的是（）。 A、112dxeexx B、112dxeexx C、dxxx)cos(3 D、dxxx)sin(217、广义积分记住：（ 1）、babadxxfdxxf)(lim)(；baabdxxfdxxf)(lim)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 34 页85 / 34 （ 2）、广义积分apdxx1)0(p：当1p时收敛；当1p时发散。（ 3）、广义积分0dxekx：当0k时发散；当0k时收敛。 (4) 、广义积分0dxekx：当0k时发散；当0k时收敛。例 1 若210dxekx，则k。例 2 广义积分02)1(1dxx是（判断其敛散性）。例 3 下列广义积分中，（）是收敛的。A、1ln xdx B、0dxex C、121dxx D、131dxx18、已知切线斜率，求曲线方程设所求的曲线方程为)(xfy，则有y已知切线斜率，然后两边积分并把已知点代入即可。例 1 在切线斜率为x2的积分曲线族中，通过点)4 , 1(的曲线方程为（）。 A、32xy B、42xy C、22xy D、xy419、已知边际经济函数，求经济函数成本函数00)()(cdqqCqCq当产量从1q增至2q时，成本的增量为C21)(qqdqqC收入函数qdqqRqR0)()(当产量从1q增至2q时，收入的增量为R21)(qqdqqR利润函数00)()()()()(cdqqCqRqCqRqLq当产量从1q增至2q时，利润的增量为L21)(qqdqqL例1 投产某产品的固定成本为36 万元，且边际成本为402)(xxC（万元 /百台），试求产量由4 百台增至6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最大？例 2 已知某产品的边际成本为xxC3)(（万元），其中x为产量，单位为百吨，边际收入为xxR215)(（万元 /百吨），求：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 34 页86 / 34 （1）、利润最大时的产量；（2）、从利润最大时的产量的基础上再增产1 百吨，利润会发生什么变化？例 3 设边际收入函数为qqR32)(，则平均收入函数为。20、矩阵的概念及运算（1）、矩阵运算设4321aaaaA，4321bbbbB则加减；44332211babababaBA；数乘：4321kakakakakA乘积：4423331342213211babababababababaAB可乘条件：A列数 =B的行数注意以下式子不成立：1）、BAAB 2）、BCAC且BAC0；00AAB或0B 3）、2222)(BABABA；22)(BABABA转置：设333231232221131211aaaaaaaaaA，则TA332313322212312111aaaaaaaaa注意： 1）、若A是nm矩阵，则B是mn矩阵。 2）、AATT)(，TTTABAB)(，TTTBABA)(（2）、特殊矩阵对角矩阵：naaa00000021，11211121000000000000nnaaaaaa数量矩阵：aaa000000，1111000000000000aaaaaa单位矩阵：I注意：IIIIIIAIAAIT,12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 34 页87 / 34 对称矩阵：若AAT，则称A是对称矩阵。（3）、初等变换矩阵的初等行变换：（1）、用一个非零数乘矩阵某行；（ 2）、把某行的倍数加到另一行中去；（ 3）、互换任意两行的位置。矩阵A初等行变换阶梯矩阵初等行变换行简化阶梯矩阵矩阵求秩：定义：矩阵A的阶梯矩阵中非零行的行数称为A的秩，记为秩（A）。求法：A初等行变换阶梯矩阵， 则秩（A）=阶梯矩阵中非零行的行数矩阵求逆；定义：若IAB，则ABBA11,性 质 ： （ 1 ） 、 (A1)1=A（ 2 ） 、 (AB)1=B11A(3) 、(AT)1=( A1)T求法：（ 1）、acbdbcaddcba11（2）、),(IA初等行变换),(1AI（4）、矩阵方程 1）、若BAX（A可逆），则BAX1 2）、若BXA（A可逆），则1BAX重点掌握：矩阵求逆、矩阵乘积、矩阵转置、矩阵求秩。例 1 设矩阵021201A，200010212B，242216C，计算CBAT。例 2 设矩阵022011A，210321B，计算1)(BA。例 3 设矩阵1121243613A，求1A。例4解矩阵方程214332X精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 34 页88 / 34 例 5 设矩阵5321A，0211B，求解矩阵方程BXA。例 6 设A是23矩阵，B是32矩阵，则下列运算有意义的是（）。 A、AB B、TAB C、BA D、TTAB例 7 设A，B是同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）。 A、若IAB，则必有IA或IB B、TTTBAAB)(C、秩)(BA秩)(A秩)(B D、111)(ABAB例 8 设A，B均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（）。 A、BAB B、BAAB C、IAA D、IA1例 9 设31,21BA，I是单位矩阵，则(IBAT）。 A、6231 B、6321 C、5322 D、5232例 10 计算矩阵乘积10211000321。例 11 设13230201aA，当a时，A是对称矩阵。例 12 设A为n阶可逆矩阵，则)(Ar。例 13 若矩阵330204212A，则)(Ar。21、线性方程组解的情况判定设有非齐次线性方程组bAX (m个方程，n个未知量，A为系数矩阵，A),(bA为增广矩阵）齐次线性方程组0AX(m个方程，n个未知量，A为系数矩阵 ) 解的情况判定定理1：（ 1）、非齐次线性方程组bAX有解的充要条件是：秩（A）秩)(A；（2）、齐次线性方程组0AX一定有解。解的情况判定定理2：若非齐次线性方程组bAX有解，则（1）、当秩)(An时，方程组有唯一解；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 34 页89 / 34 （2）、当秩)(An时，方程组有无穷多组解。对于齐次线性方程组0AX, 则（1）、当秩)(An时，方程组只有零解（唯一解）；（2）、当秩)(An时，方程组有非零解（无穷多组解）。注：方程组01nnmXA有m个方程，n个未知量，且秩)(Am。例 1 若线性方程组002121xxxx有非零解，则。例 2 设齐次线性方程组01nnmXA，且秩rA)(n，则其一般解中自由未知量的个数等于。例 3 齐次线性方程组0AX的系数矩阵为A000020103211则此方程组一般解为。例5 已知线性方程组bAX的增广矩阵经初等行变换化为A100001124001021d， 则当d时 ，方程组bAX有无穷多组解。例 5 若线性方程组的增广矩阵为A01221，则当（）时线性方程组无解。 A、21 B、0 C、1 D、2例 6 设线性方程组bAX中，若3)(,4),(ArbAr，则该线性方程组（）。 A、有唯一解 B、无解 C、有非零解 D、有无穷多组解例 7设线性方程组bAX有唯一解，则相应的齐次方程组0AX（）。 A、无解 B 、有非零解 C、只有零解 D、解不能确定例 8 设线性方程组bAX的增广矩阵经初等行变换化为00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（）。A、1 B、2 C、3 D、422、解线性方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 34 页90 / 34 线性方程组有如下二种类型：（1）、非齐次线性方程组：bAX (其中A为系数矩阵，A),(bA为增广矩阵 ) 解法： 1）、先写出方程组的增广矩阵A； 2）、A初等行变换阶梯矩阵初等行变换行简化阶梯矩阵； 3）、在行简化阶梯矩阵中直接写出方程组之解。（2）、齐次线性方程组：0AX( 其中A为系数矩阵 ) 解法： 1）、先写出方程组的系数矩阵A； 2）、A初等行变换阶梯矩阵初等行变换行简化阶梯矩阵； 3）、在行简化阶梯矩阵中直接写出方程组之解。例 1 求下列线性方程组的一般解：03520230243214321431xxxxxxxxxxx例 2 设齐次线性方程组0830352023321321321xxxxxxxxx，问为何值时方程组有非零解？并求一般解。例 3 当为何值时，线性方程组1542131321321xxxxxxxx有解？并求一般解。例 4 已知线性方程组bAX的增广矩阵经初等行变换化为A300000331013611问为何值时，方程组bAX有解？当方程组有解时，求方程组bAX一般解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 34 页