金融工程金融工程主讲人：刘玉灿主讲人：刘玉灿南京理工大学经济管理学院南京理工大学经济管理学院第九章第九章 期权损益及二叉树模型期权损益及二叉树模型第九章第九章 期权损益及二叉树模型期权损益及二叉树模型第一节第一节 期权到期日的损益分析期权到期日的损益分析第二节第二节 期权定价的二叉树模型期权定价的二叉树模型第三节第三节 n期欧式期权的定价模型期欧式期权的定价模型第一节第一节 期权到期日的损益分析期权到期日的损益分析期权合约的持有者在将来某一期权合约的持有者在将来某一时间时间，以某，以某一固定的价格一固定的价格买买/卖卖一项标的资产的一项标的资产的权利权利。期权合约持有者没有义务必须执行这一权期权合约持有者没有义务必须执行这一权利，这是与一远期合约和期货合约的关键利，这是与一远期合约和期货合约的关键区别。区别。但期权合约持有者必须先支付一笔不可返但期权合约持有者必须先支付一笔不可返还的费用，来购买这项特权。即期权价格还的费用，来购买这项特权。即期权价格和期权金。和期权金。美式期权和欧式期权美式期权和欧式期权一、关于期权的一些符号规定一、关于期权的一些符号规定St 表示表示t时刻标的资产的市场价格；时刻标的资产的市场价格；T表示期表示期权的到期日（权的到期日（Maturity） ，tT；X表示期表示期权到期日的执行价格（权到期日的执行价格（strike price）；）；Ct表表示以股票为标的资产、执行价格为示以股票为标的资产、执行价格为X、执行、执行时间（时间（strike date）为）为T、在、在t时刻看涨期权时刻看涨期权（ call option，买权）或看跌期权（，买权）或看跌期权（ put option，卖权）的价格。，卖权）的价格。假设执行该期权时所交割的股票为假设执行该期权时所交割的股票为1股。股。long position，short position，delivery price， delivery date 例子例子股票价格股票价格S=21，且以，且以q=0.5的概率向上和向下波的概率向上和向下波动，无风险利率为动，无风险利率为0.15，u=1.4，d=1.1看涨期权价格为看涨期权价格为C，执行价格为，执行价格为22。uS=29.4dS=23.1S=21q=0.5(1 q )Cu=max(uS-X,0）=7.4Cd= max(uS-X,0) =1.1Cq=0.5(1 q )二、欧式期权各种头寸的损益分析二、欧式期权各种头寸的损益分析（一）看涨期权到期日损益分析（一）看涨期权到期日损益分析（1）看涨多头（）看涨多头（long position，做多方），做多方）的损益：的损益： 看涨多头损益看涨多头损益=max（STX，0）Ct（2）看涨空头（）看涨空头（short position，做空方），做空方）的损益：的损益： 看涨空头损益看涨空头损益= Ct max（STX，0）（二）看跌期权到期日损益分析（二）看跌期权到期日损益分析（1）看跌多头（）看跌多头（long position，做多方），做多方）的损益：的损益： 看跌多头损益看跌多头损益=max（XST，0）Ct（2）看跌空头（）看跌空头（short position，做空方），做空方）的损益：的损益： 看跌空头损益看跌空头损益= Ct max（ XST ，0）以上均未考虑期权的时间价值。以上均未考虑期权的时间价值。三、欧式期权各种头寸的收益图三、欧式期权各种头寸的收益图四、其他期权组合的收益四、其他期权组合的收益(一一)牛市价差买卖组合（牛市价差买卖组合（bullish vertical spread）是由购买一份执行价格为是由购买一份执行价格为X1的看涨期权、卖出一份的看涨期权、卖出一份执行价格为执行价格为X2的看涨期权组成，其中的看涨期权组成，其中X2X1。该证券组合的损益数学表达式：该证券组合的损益数学表达式：(二二)熊市价差买卖组合（熊市价差买卖组合（bearish vertical spread）是由卖出一份执行是由卖出一份执行价格价格为为X1的看涨期权、买入一份执的看涨期权、买入一份执行价格为行价格为X2的看涨期权组成，其中的看涨期权组成，其中X2X1。该证券组合的损益数学表达式：该证券组合的损益数学表达式：(三三)蝶式买卖组合（蝶式买卖组合（butterfly spread）是牛市价差买卖组合和熊市价差买卖组合的组合是牛市价差买卖组合和熊市价差买卖组合的组合而成，即购入一份执行价格为而成，即购入一份执行价格为X1和一份执行价格和一份执行价格为为X2的看涨期权，再卖出两份执行价格为的看涨期权，再卖出两份执行价格为X3的看的看涨期权。其中涨期权。其中X2X3X1。该证券组合的损益数学表达式：该证券组合的损益数学表达式：（四）底部马鞍式组合（四）底部马鞍式组合（bottom Straddle）是由购买一份看涨期权和一份看跌期权组成的证是由购买一份看涨期权和一份看跌期权组成的证券组合，期权执行价格均为券组合，期权执行价格均为X。该证券组合的损益数学表达式：该证券组合的损益数学表达式：（五）顶部马鞍式组合（五）顶部马鞍式组合（top Straddle）是由卖出一份看涨期权和一份看跌期权组成的证是由卖出一份看涨期权和一份看跌期权组成的证券组合，期权执行价格均为券组合，期权执行价格均为X。该证券组合的损益数学表达式：该证券组合的损益数学表达式：（六）底部梯形组合（六）底部梯形组合（bottom vertical combination）是由买入一份看涨期权和一份看跌期权组成的是由买入一份看涨期权和一份看跌期权组成的证券组合，期权执行价格分别为证券组合，期权执行价格分别为X1和和X2，其中，其中X2X1 。该证券组合的损益数学表达式：该证券组合的损益数学表达式：（七）顶部梯形组合（七）顶部梯形组合（top vertical combination）是由买出一份看涨期权和一份看跌期权组成是由买出一份看涨期权和一份看跌期权组成的证券组合，期权执行价格分别为的证券组合，期权执行价格分别为X1和和X2，其中其中X2X1 。该证券组合的损益数学表达式：该证券组合的损益数学表达式：（八）叠做期权（八）叠做期权（straps）由购进两个看涨期权和一个看跌期权组成由购进两个看涨期权和一个看跌期权组成的证券组合。它们的执行价格相同。的证券组合。它们的执行价格相同。该证券组合的损益数学表达式：该证券组合的损益数学表达式：（九）逆叠做期权（九）逆叠做期权（strips）由购进两个看跌期权和一个看涨期权组成由购进两个看跌期权和一个看涨期权组成的证券组合。它们的执行价格相同。的证券组合。它们的执行价格相同。该证券组合的损益数学表达式：该证券组合的损益数学表达式：（十）三明治买卖组合（十）三明治买卖组合（sandwich）由购买两份执行价格为中间值由购买两份执行价格为中间值Xm的看涨期权、的看涨期权、卖一份执行价格为较低值卖一份执行价格为较低值Xd的看涨期权、卖的看涨期权、卖一份执行价格为较高值一份执行价格为较高值Xu的看涨期权（即的看涨期权（即XuXmXd ）组成的证券组合。）组成的证券组合。该证券组合的损益数学表达式：该证券组合的损益数学表达式：（十一）（十一）W型证券组合型证券组合由卖出一份执行价格为中间值由卖出一份执行价格为中间值Xm的顶部马鞍组合的顶部马鞍组合（卖一份看涨期权和一份看跌期权，期权执行价格（卖一份看涨期权和一份看跌期权，期权执行价格相同相同 ）、买进两份执行价格为较低值）、买进两份执行价格为较低值Xd的看跌期的看跌期权、买进两份执行价格为较高值权、买进两份执行价格为较高值Xu的看涨期权（即的看涨期权（即XuXmXd ）组成的证券组合。）组成的证券组合。该证券组合的损益数学表达式：该证券组合的损益数学表达式：第二节第二节 期权定价的二叉树模型期权定价的二叉树模型一、期权定价的一期模型：一、期权定价的一期模型：Cox-Ross-Rubinstein （1979）二叉树）二叉树模型的假设：模型的假设：市场是竞争的和无摩擦的（无交易费用和市场是竞争的和无摩擦的（无交易费用和税收）；税收）；不存在无风险套利机会；不存在无风险套利机会；股票和期权是无限可分的。股票和期权是无限可分的。股票在下一期的价格只有两种状态：股票在下一期的价格只有两种状态：其中其中0q1,0d1+ru, r为无风险利率。为无风险利率。uSdSSq(1 q )为风险调整概率为风险调整概率1+r1+r1q(1 q )看涨期权价格为看涨期权价格为C，执行价格，执行价格X此期权如何定价？先构造一个无风险此期权如何定价？先构造一个无风险套期保值套期保值的的证券组合：购买一份股票，卖空证券组合：购买一份股票，卖空m份期权，证券份期权，证券组合价值：组合价值：CuCdCq(1 q )uS-mCudS-mCdS-mCq(1 q )构造的证券组合是无风险证券组合，故在构造的证券组合是无风险证券组合，故在期末时它在各个状态的损益是一样的，则期末时它在各个状态的损益是一样的，则 uS-mCu= dS-mCd则则m称为套期保值率（称为套期保值率（hedge ratio）。）。期权的价格期权的价格期权的价格期权的价格C：构造的证券组合是无风险证券组合，则构造的证券组合是无风险证券组合，则 (1r)(SmC) uSmCu将将m代入上式得代入上式得若投资者是风险中性的，则：若投资者是风险中性的，则： (1+r)S=quS+(1-q)dS 在风险中性概率下，证券价格的期望值贴在风险中性概率下，证券价格的期望值贴现就是其现值。现就是其现值。由此得由此得因此因此例子例子股票价格股票价格S=21元，元，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22元时元时uS=211.4=29.4，dS=211.1=23.1Cu=max（uS-X，0）=29.4-22=7.4Cd=max（dS-X，0）=23.1-22=1.1说明说明1，证券组合：买一份股票和卖一份看涨期权，证券组合：买一份股票和卖一份看涨期权说明说明2，套期保值证券组合的成本：，套期保值证券组合的成本：21-11.87=19.13元元说明说明3，投资的回报率，投资的回报率22/19.13=1.15=1+r二、期权定价的二期模型二、期权定价的二期模型uSqu2Sd2SudSdSS(1 q )uS=29.4qu2S=41.16d2S=25.41udS=32.23dS=23.121(1 q )CuqCuu=max(u2S-X,0)Cdd=max (d2S-X,0)Cud=max(udS-X,0)CdC(1 q )状态状态1概率概率q2，状态，状态2概率概率C21q(1-q)，状态，状态3概率概率(1-q)2C=E(Ct)/(1+r)，即期权价值等于在风险中性概，即期权价值等于在风险中性概率下二期损益的期望值贴现。率下二期损益的期望值贴现。CCuuCddCud第三节第三节 n期欧式期权的定价模型期欧式期权的定价模型一、二项式及二项式试验：一、二项式及二项式试验：n次独立贝努利试验，次独立贝努利试验，n次试验中有次试验中有k次出现正面次出现正面的概率：的概率：E（n n）=nqD（n n）= var（n n）=nq(1-q)说明期权价格与下列因素有关：说明期权价格与下列因素有关：1、股票价格、执行价格；、股票价格、执行价格；2、无风险利率、无风险利率r，主要降低执行价格的贴现值；，主要降低执行价格的贴现值；3、增加到期期限，提高看涨期权的价格；、增加到期期限，提高看涨期权的价格；4、二项分布的方差、二项分布的方差2=nq(1-q)增加，看涨期权增加，看涨期权价格增加。价格增加。