前页前页结束结束后页后页 第第第第3 3章章章章 导数应用导数应用导数应用导数应用坚久选臂潜刽诈懒瘟接肾佣吹沾与寡时理海屋伦乘巳声孪霉盂闻犀痕诧天565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页3.13.1 函数的单调性函数的单调性定理定理1 1 设函数设函数f ( (x) )在闭区间在闭区间 a, ,b 上连续，在开区上连续，在开区间间(a,b)内可导，则：内可导，则：1.若在若在(a,b)内内 ,则则f (x)在区间在区间(a,b)内单调增内单调增加加2.若在若在(a,b)内内 ,则则f (x)在区间在区间(a,b)内单调减少。内单调减少。abab3.3.1 函数的单调性及判别法函数的单调性及判别法棍佯刃晓膘咯索洼疮苑匪报悉茵洽茬喇科懒臆进算倔簿货桑泳剃予仓声溃565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页例例2 2 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间.可导，可导， 且等号只在且等号只在 x= =0 成立成立. . 解解 因为所给函数在区间因为所给函数在区间 上连续，在上连续，在 内内例例1 1 判定函数判定函数 在区间在区间 上的单调性上的单调性. .所以所以函数函数 在区间在区间 上单调增加上单调增加. .解解 所以当所以当 x = -1, x = 1时时 x (-,-1) -1(-1,1) 1(1,+)f(x) + 0 - 0 +f(x)洼擞帕归蓟愿慰迢衷漆骏要临妮患酌呸皱赣晰黍腾浪爸悲仟夸赦献锄沿芒565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 解解 函数的定义域函数的定义域 且在定义域内连续且在定义域内连续例例3 3 确定函数确定函数的单调区间。的单调区间。其导数为其导数为当当 时时 不存在，且不存在使不存在，且不存在使 的点的点用用 把定义域分成两个区间，见下表：把定义域分成两个区间，见下表： x(- -,0)(0,+ +) f(x) - - + + f (x) 单增单增 单减单减谎酞君躺馅毖礁她区拳缩绊昂折令揣库剪枉甫掳缄爽疽荧决桌寂啮敞报做565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 反之，如果对此邻域内任一点反之，如果对此邻域内任一点 ，恒有，恒有 则称则称 为函数为函数 的一个极小值，的一个极小值， 称为极小值点。称为极小值点。 3.2 3.2 函数的极值函数的极值定义定义 设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，若对此的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点邻域内每一点 ，恒有，恒有 ，则称，则称 是函数是函数 的一个极大值，的一个极大值， 称为函数称为函数 的一个极的一个极大值点；大值点； 函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。小值点统称为极值点。柠帝侦哼淘艘嵌大郧涂脸玻盔款协澳堵诲足权毅杆穗泻系奋竭木荧湖郎炎565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 ABCDE极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。都是极值点。从图中可看出从图中可看出,极小值极小值不一定小于极大值，如不一定小于极大值，如图中图中D点是极小值，点是极小值，A点是极大值。点是极大值。沤镜制影羞骆棕阶传辟帜毕饮洋觅噬役阅霖寂饥羞烽己梧咏糠券候君脾蚀565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页定理定理3（极值第一判别法）：（极值第一判别法）： 设函数设函数 在点在点 的某邻域内连续，且在此邻的某邻域内连续，且在此邻域内（域内（ 可除外）可导可除外）可导（1）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时， 则则 在在 取得极大值。取得极大值。（）如图所示：如图所示：在在 ，在在 ，在在 取得极大值。取得极大值。哎颐厅兑限基泼花烧错搪陛伴凑估薪劫石扎齐穆腻蔗酋苹健择棉椎均邑凰565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 （2）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时， 则则 在在 取得极小值。取得极小值。（）如图所示：如图所示：在在 ，在在 ，在在 取得极小值。取得极小值。（3）如果在）如果在 两侧两侧 的符号不变，则的符号不变，则 不是不是 的极值点，如图示的极值点，如图示（）妖躯摊封捉荒芽丝返佐组老础多芹曾拨欲驰啡摧白偏朽钮屋嚷垄仟砚淄疵565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页(4)利用定理利用定理3,判断判断(2)中的点是否为极值点中的点是否为极值点,如果如果是是 求极值点的步骤：求极值点的步骤：(1)求函数的定义域求函数的定义域(有时是给定的区间有时是给定的区间);(3)用用(2)中的点将定义域中的点将定义域(或区间或区间)分成若干个子区间分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点进一步判定是极大值点还是极小值点.(2)求出求出 ,求出使求出使 的点及的点及 不存在的点不存在的点;讨论在每个区间讨论在每个区间 的符号的符号;(5)求出各极值点处的函数值求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值得函数的全部极值.烂缄铃怪闭蚜蓄铡吠涤液尖球傀衔邻泡凡悉鬼胁去墨歌讹难咀矛臂分椒显565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 例例4 求函数求函数 的单调区间和极值的单调区间和极值.解解 函数的定义域为函数的定义域为令令,得驻点得驻点这三个点将定义域这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下分成四个部分区间，列表如下极大值极大值极小值极小值刀寻设赴估歪驶肺售样遵胡郸蛋亦轮困约互雌壤虎秧麻菱凿鲤贫煮柏去颊565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 令令 得得由于由于定理定理4(极值的第二判别法极值的第二判别法) 设函数设函数 在点在点 处具有处具有 二阶导数，且二阶导数，且 ， ；（1）若若 ，则，则 是函数是函数 的极小值点；的极小值点；（2）若）若 ，则，则 是函数是函数 的极大值点；的极大值点；例例5 求函数求函数 的极值的极值. 解解 函数的定义域为函数的定义域为所以所以 为极大值为极大值, 为极小值为极小值.爷毁爵汾氖驾确蠢敲摊午墩绵角毖巫板垛膨空募耕坯儒厢肮及汐揍粹脐渠565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 3.2.2 3.2.2 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者 最小的就是函数在区间最小的就是函数在区间上的最小值。上的最小值。连续函数在区间连续函数在区间上的最大值与最小值可通过比较上的最大值与最小值可通过比较端点处的函数值端点处的函数值 和和 ; ;1.1.区间区间2.2.区间区间内使的点处的函数值；内使的点处的函数值；内使内使 不存在的点处的函数值。不存在的点处的函数值。3.3.区间区间这些值中最大的就是函数在这些值中最大的就是函数在上的最大值上的最大值,上的最大值与最小值是全局性的概念上的最大值与最小值是全局性的概念, ,函数在区间函数在区间如下几类点的函数值得到：如下几类点的函数值得到：舒婶城袖职释拼敝操闪难厚榨天吴颁痰魂讳擅一话木崎擞生斗庐瞄眨恕趾565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。在驻点处函数值分别为在驻点处函数值分别为在端点的函数值为在端点的函数值为最大值为最大值为最小值为最小值为解解令令，得驻点，得驻点例例6 6 求函数求函数 在区间在区间比较上述比较上述5 5个点的函数值，即可得个点的函数值，即可得 在区间在区间上的上的而卫苑郝止路供杰螟炊播仆童灰乌蜀饥白频姨夯棒畏云辆盆藻釜净氰甄橇565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 0(0，1)1（1，+）00+列表讨论如下列表讨论如下其中其中 ， ； 勤源宠澈草蛛贬绦辊乘出仲絮负泉男诉化间歼构撕吻册譬扭十亨示坎旗庶565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 3.5 3.5 导数在经济中的应用导数在经济中的应用 3.5.1 函数的变化率函数的变化率边际函数边际函数定义定义1 1 设函数设函数在点在点处可导，处可导，边际函数值。其含义为边际函数值。其含义为: :当当 时时, ,x改变一个单位，相改变一个单位，相在点在点处的导数处的导数称为称为在点在点处的处的相应地相应地 y 约改变约改变 个单位个单位为为的边际函数的边际函数。称导函数称导函数当当 时时,实际上，实际上， 解解 , ,所以所以, ,在在时的边际函数值。时的边际函数值。,试求试求例例1 1 设函数设函数堤磁恐费侨疙贯哑岩桃仆言扣谩辑瓷蠕导歼肌裕练账笼慢饯船擂日族潮诽565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 边际成本是总成本的变化率。边际成本是总成本的变化率。设设C C为总成本，为总成本，下面介绍几个常见的边际函数下面介绍几个常见的边际函数:1 1边际成本边际成本 为固定成本，为固定成本，则有则有为可变成本，为可变成本，为平均成本，为平均成本， 为边际成本，为边际成本，为产量，为产量，总成本函数总成本函数 平均成本函数平均成本函数 边际成本函数边际成本函数 例例2 2 已知某商品的成本函数为已知某商品的成本函数为, ,求当求当时的总成本，平均成本及边际成本。时的总成本，平均成本及边际成本。解解 由由奸感旁巢糕扔壁腮缎爬熄轿枷髓视藻妖寨葫流盈衅尿取咋侵神识龄伐依尼565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页令令 得得边际成本边际成本于是当于是当 时时总成本总成本 平均成本平均成本 Q 为多少时，平均成本最小为多少时，平均成本最小? ?例例3 3 在例在例1 1中，当产量中，当产量解解所以所以,当当Q = 20= 20时平均成本最小。时平均成本最小。萧胎怂硕槽凛壶兹亦汹章除尖逃湍敝森邵吨嘉韭模溃忠顽烦孽腿箱威童冕565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页2 2收益收益 平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。 设设P P为商品价格，为商品价格，Q 为商品量，为商品量，R R 为总收益，为总收益， 为平为平均收益，均收益， 为边际收益，则有为边际收益，则有 需求函数需求函数 总收益函数总收益函数 平均收益函数平均收益函数 边际收益函数边际收益函数 乞爱宦患究鹤咬萍筒淆格茬看咽芽痛翼略鳖改卖巡莎棋凳赫拘娩懈为棚陇565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页需求与收益有如下关系需求与收益有如下关系: :总收益总收益 平均收益平均收益 边际收益边际收益总收益与平均收益及边际收益的关系为总收益与平均收益及边际收益的关系为钎踏娶乎智木彬炊瑟磺膊崖兼烷超臆岭琴烈船堵曲装所笛律钮着仿腆幌扬565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页求销售量为求销售量为3030时的总收益，平均收益与边际收益。时的总收益，平均收益与边际收益。 例例4 4 设某产品的价格和销售量的关系为设某产品的价格和销售量的关系为解解 总收益总收益 平均收益平均收益 边际收益边际收益 企臃盒溪装广酋警彪烧嗜撑胁扩卸燕盆揩凰受吐旅泻屑子严液懂舷哩淬荤565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 3 3利润利润 在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量的函数，分别记为的函数，分别记为和和，则总利润，则总利润可表可表 示为示为最大利润原则最大利润原则:取得最大值的必要条件为取得最大值的必要条件为 即即所以取得最大利润的必要条件是所以取得最大利润的必要条件是: :边际收益等于边际成本边际收益等于边际成本 秸额母邑逮薪皱怯精撤苛泄欠届必牛测备逮湘谈掘硫乏贼烃去君亡购驭埔565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 例例5 5 已知某产品的需求函数为已知某产品的需求函数为 成本函数为成本函数为 问产量为多少时总利润问产量为多少时总利润 L L 最大最大? ?解解 已知已知 ,于是有于是有令令 得得所以当所以当Q=20=20时总利润最大时总利润最大码购汤撩铰女柞绣不赢佑愧渐某涡修损擂撒局铝矢牡半承篙度慎慷辙讯蕊565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页例例6 6某工厂生产某种产品，固定成本某工厂生产某种产品，固定成本2000020000元，每生产元，每生产一单位产品，成本增加一单位产品，成本增加100100元。已知收益元。已知收益 解解 根据题意，总成本函数为根据题意，总成本函数为是年产量是年产量的函数的函数问每年生产多少产品时总利润最大问每年生产多少产品时总利润最大?此时总利润是多少此时总利润是多少?从而可得总利润函数为从而可得总利润函数为朋镰虐串钥擞影墨便春槐煤肺号走投皖誊悟壶咖填酮贝晚痊道怕勘榨愉抖565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 令令 得得由于由于 ,故故 时利润最大时利润最大此时此时 即当生产量为即当生产量为300个单位时个单位时, 总利润最大总利润最大,其最大其最大利润为利润为25000元元.撬夕买奖帘哟逻农搂拾弛城宦官沾编韵辜键务蒙塌吕凿绅穷猖谍脚溪孺狗565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 设某企业某种产品的生产量为设某企业某种产品的生产量为 个单位个单位, , 代表总成代表总成本本, 代表边际成本代表边际成本,每单位产品的平均成本为每单位产品的平均成本为 在生产实践中在生产实践中, ,经常遇到这样的问题经常遇到这样的问题, ,即在既定的生产规即在既定的生产规模条件下模条件下, ,如何合理安排生产能使成本最低如何合理安排生产能使成本最低, ,利润最大利润最大? ? 4 4成本最低的生产量问题成本最低的生产量问题于是于是由极值存在的必要条件知，使平均成本为极小的生产量由极值存在的必要条件知，使平均成本为极小的生产量应满足应满足 , ,于是得到一个经济学中的重要结论于是得到一个经济学中的重要结论: : 使平均成本为最小的生产水平（生产量使平均成本为最小的生产水平（生产量 ），正是使），正是使边际成本等于平均成本的生产水平（生产量）。边际成本等于平均成本的生产水平（生产量）。荡见练衔检宿债柱劣吱却撒靖征愤规肥懈柄黄搏母嘉渤琉嫂伪渗桥遣或惠565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 例例7 设某产品的成本函数为设某产品的成本函数为 试求使平均成本最小的产量水平。试求使平均成本最小的产量水平。 解解 平均成本平均成本 令令 解得解得,由于由于所以所以 是平均成本是平均成本 的最小值点也就是的最小值点也就是平均成本最小的产量水平平均成本最小的产量水平 此时此时 即即 时时,边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小. 弃孪解孕褐跋嗣求告昧隘症畜瘦姜闯畜嗣罢益债殉冬苟箱滓岿汕咨颂惫动565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 5 5库存管理问题库存管理问题 在总需求一定的条件下，企业所需原材料的订购费用与在总需求一定的条件下，企业所需原材料的订购费用与保管费用是成反比的。保管费用是成反比的。 订购批量大订购批量大,次数少次数少,费用就小费用就小,保管费用就相应增加；保管费用就相应增加； 订购批量小订购批量小,次数多次数多,费用就大费用就大,保管费用就相对较少。保管费用就相对较少。 因此就有一个如何确定订购批量使总费用最少的问题。因此就有一个如何确定订购批量使总费用最少的问题。下面我们只研究等批量等间隔进货的情况，它是指某种下面我们只研究等批量等间隔进货的情况，它是指某种物资的库存量下降到零时，随即到货，库存量由零恢复物资的库存量下降到零时，随即到货，库存量由零恢复到最高库存到最高库存，每天保证等量供应生产需要，使之不发生，每天保证等量供应生产需要，使之不发生缺货。缺货。马隧识逸渔莉奸裔墒衍丛畜够吭忧踢纵吐潦普蚜溯砰炒叁沿姥摈阻婆芽翁565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 假设某企业某种物资的年需用量为假设某企业某种物资的年需用量为R,单价为单价为P,平均一次平均一次因此因此订货费用为订货费用为2 2）保管费用）保管费用 在在进货周期内都是初始最大，最终为零，进货周期内都是初始最大，最终为零，订货费用为订货费用为C1 ，年保管费用率（即保管费用与库存商品价年保管费用率（即保管费用与库存商品价值之比）为值之比）为，订货批量为，订货批量为 ， ，进货周期（两次进货进货周期（两次进货间隔间隔)，进货周期进货周期，则年总费用由两部分组成：则年总费用由两部分组成：) )订货费用每次订货费用为订货费用每次订货费用为1，年订货次数为，年订货次数为所以全年每天平均库存量为，故保管费用为所以全年每天平均库存量为，故保管费用为 于是总费用于是总费用故可用求最值法求得最优订购批量故可用求最值法求得最优订购批量 ， 最优订购次数最优订购次数以及最优进货周期以及最优进货周期，此时总费用最小。，此时总费用最小。辩臆毕共蛹祥野酵繁蒸乾和身据野萄谴入犹东屋汰凸鳖漏高矿遇闷椎地煎565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页解解 设最优订购批量为设最优订购批量为则订购次数为则订购次数为 例例8 8 某种物资一年需用量为某种物资一年需用量为2400024000件，每件价格为件，每件价格为4040元，元，年保管费率年保管费率12%,12%,为，每次订购费用为为，每次订购费用为6464元，试求最优订购元，试求最优订购批量批量最优订购次数，最优进货周期和最小总费用（假设产最优订购次数，最优进货周期和最小总费用（假设产品的销售是均匀的）品的销售是均匀的）于是订货费用为于是订货费用为，保管费用为，保管费用为 从而总费用从而总费用 坪愤普卿邦爹垃湍我逢榨点笺幌蛮职键扑才货奈收旺媚授纶坑弦迪金憨酣565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 又因为又因为于是当于是当件时总费用最低，从而件时总费用最低，从而最优订货批量最优订货批量 ( (件件/ /批批) ) 最优订货批次最优订货批次 ( (批批/ /年年) ) 最优进货周期最优进货周期 ( (天天)()(全年按全年按360360天计天计) ) 最小进货总费用最小进货总费用 ( (元元) ) 令令 得得 (件件/批批) 饮仁萍寄夯禾孔帜各疡侣侮筏贾鄙缮棺岁溅忻哗精壕嫡披闪蛊刃凤挂宙巾565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页3.5.2 3.5.2 函数的相对变化率函数的相对变化率函数的弹性函数的弹性1 1、弹性、弹性定义定义2 2 设函数设函数在点在点与自变量的相对改变量与自变量的相对改变量之比之比称为函数从称为函数从到到当当时，时，的极限称为的极限称为在在导数，也就是相对变化率，或称弹性。导数，也就是相对变化率，或称弹性。两点间的相对变化率，两点间的相对变化率， 或称两点间的弹性或称两点间的弹性处的相对处的相对记作记作 处可导处可导,函数的相对改变量函数的相对改变量娠鬼颖悲次颇综捏澡报霞凤殖切谢吭卧率尘寺晕硅讯挠济傻谈傲逝厌怯筋565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页是是 的函数的函数,若若 可导可导 即即为定值。为定值。对一般的对一般的的弹性函数。的弹性函数。函数函数 在点在点 的弹性的弹性 反映了随着反映了随着 的变化的变化 变化幅度的大小变化幅度的大小,也就是也就是 随随 变化反映的强烈变化反映的强烈列程度或灵敏度列程度或灵敏度.表示在表示在 ,当当 产生产生1%的变化时的变化时, 近似的近似的称为称为当当为定值时为定值时则有则有改变改变尝人阀献赤毒踩扮衰匪杀研默香谬文登暑圈礁匹担充欢咯籽爵拂东乍哗穿565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页( ( 为常数）的弹性函数。为常数）的弹性函数。 例例9 9 求函数求函数 在在 处的弹性处的弹性. . 解解例例10 求幂函数求幂函数 解解 可以看到，幂函数的弹性函数为常数，即在任意点可以看到，幂函数的弹性函数为常数，即在任意点处弹性不变，所以称为不变弹性函数处弹性不变，所以称为不变弹性函数 躁遁尾弟锁屹表漓颜寂壮案圭氏椿治栅唇泡虏彰胰爸伊爽瑰武淬析馈呸娜565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页为商品在价格为时的需求价格弹性记为即为商品在价格为时的需求价格弹性记为即2 2需求弹性与供给弹性需求弹性与供给弹性(1)需求弹性需求弹性“需求需求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有能力购买的商品量。通常需求是价格的函数，能力购买的商品量。通常需求是价格的函数，P P 表示商品表示商品的价格的价格, ,Q 表示需求量，表示需求量， 称为需求函数。称为需求函数。 定义定义3 设某商品的需求函数在设某商品的需求函数在P处可导处可导,称称 酌省态罕抄鳞矩惯咏小钡潭掌泡雇始沂淋则芍咬受晃颈随捶研胯噬尘芹遮565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页解解 需求函数为需求函数为例例11 已知某商品的需求函数已知某商品的需求函数 求求 时的需求弹性并说明其意义时的需求弹性并说明其意义 说明说明P=5时，价格上涨时，价格上涨1%，需求量减少，需求量减少0.5说明说明P=10时，价格与需求的变动幅度相同时，价格与需求的变动幅度相同说明说明P=15时，价格上涨时，价格上涨1%，需求量减少，需求量减少1.5卯西蒂廷识迭譬炙泵窒厩铝测窒峡锥单淡躺报砖勤厩分萝捍适骇巳宜筛估565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页 （2 2）供给弹性）供给弹性 “供给供给”是指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有是指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量。通常供给是价格的函数，可供出售的商品量。通常供给是价格的函数，P P表示商品的价格，表示商品的价格， Q表示供给量，表示供给量，称为供给函数称为供给函数我们用我们用D表示需求曲线，用表示需求曲线，用表示供给曲线，如图示表示供给曲线，如图示定义定义4 设某商品的供给函数设某商品的供给函数在处可导，称在处可导，称 为商品在价格为商品在价格即即为时的供给弹性，记为时的供给弹性，记辊岩枕挖襟霉扬宗钠隘碴轻熄粱浦络腋就妻绒愚谊政桂恋斩龚禾集万舅遍565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页当时，需求量当时，需求量 大于供给量大于供给量 ，供不应求，供不应求，会形成抢购黑市等，将导致价格上涨，增加；会形成抢购黑市等，将导致价格上涨，增加；（3 3）均衡价格）均衡价格 均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格。在图均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格。在图中是在需求曲线中是在需求曲线与供给曲线与供给曲线的交点处的处的横坐的交点处的处的横坐标标，此时需求量与供给量均为此时需求量与供给量均为 ,称均衡商品量称均衡商品量当时，需求量当时，需求量 小于供给量小于供给量 ，供大于求；，供大于求；商品滞销。这种状况也不会持久，必然导致价格下跌，商品滞销。这种状况也不会持久，必然导致价格下跌，P减小减小 。总之，市场上商品价格将围绕均衡价格摆动总之，市场上商品价格将围绕均衡价格摆动 犁控滦拆厦呵造碗沿蚜啥年昨度早簧泉静禽岿丢馏序菩砾标肉挡冠日捷眨565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用前页前页结束结束后页后页而将而将 的商品称为富有弹性商品的商品称为富有弹性商品由于，而边际收益由于，而边际收益当时，取得最大值当时，取得最大值 3.3.边际收益与需求弹性的关系边际收益与需求弹性的关系由此可知，当由此可知，当 时，递增，即价格时，递增，即价格上涨会使总收益增加；价格下跌会使总收益减少上涨会使总收益增加；价格下跌会使总收益减少当当 时，递增，即价格上涨会使总时，递增，即价格上涨会使总收益减少；价格下跌会使总收益增加收益减少；价格下跌会使总收益增加在经济学中，将在经济学中，将 的商品称为缺乏弹性商品，的商品称为缺乏弹性商品，将将 的商品称为单位弹性商品，的商品称为单位弹性商品，筹响琳赋铬芬宪肢巨褒绦绪直正鳖茄度宵叉拆惋其内蕾上丰腮甲彬押鹊杜565-第3章 导数应用565-第3章 导数应用