二次函数知识点总结和题型总结一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调： a 0 最高次数为 2 代数式一定是整式2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项例题：例 1、已知函数 y=(m1)xm2 +1+5x3 是二次函数，求 m的值。练习、若函数 y=(m2+2m 7)x2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则 m的取值范围为。二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2yax的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页2.2yaxc的性质：上加下减。3. 2ya xh的性质：左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值00a向下00，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c0a向下0c，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值ca的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页4. 2ya xhk的性质：二次函数的对称轴、顶点、最值（技法：如果解析式为顶点式y=a(xh)2+k，则最值为 k；如果解析式为一般式y=ax2+bx+c 则最值为4ac-b24a）1抛物线 y=2x2+4x+m2m经过坐标原点，则m的值为。2抛物 y=x2+bx+c线的顶点坐标为（ 1，3） ，则 b，c .3抛物线 yx23x 的顶点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4若抛物线 yax26x 经过点 (2，0) ，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14y随x的增大而减小；xh时，y有最小值00a向下0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k0a向下hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页5若直线 yaxb 不经过二、四象限，则抛物线yax2bxc( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C. 开口向下，对称轴平行于y 轴 D. 开口向上，对称轴平行于y 轴6已知二次函数 y=mx2+(m1)x+m1 有最小值为 0，则 m 。三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax的形状不变， 将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：cbxaxy2沿 y 轴平移 : 向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k1 时，y 随 x 的增大而；当 x 2 时,y 随 x 的增大而增大；当x 2 时，y 随 x 的增大而减少；则x1 时,y 的值为。3. 已知二次函数 y=x2(m+1)x+1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，则m的取值范围是 .4. 已知二次函数y=12 x2+3x+52的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 且3x1x20,b0,c0 B.a0,b0,c=0 C.a0,b0,b0,c 0 Bb -2a C a-b+c 0 D c0；a+b+c 0 a-b+c 0 b2-4ac0 abc 0 ；其中正确的为（）ABCD4. 当 bbc，且 abc0，则它的图象可能是图所示的 ( ) 6二次函数 yax2bxc 的图象如图 5 所示，那么 abc，b24ac， 2a b， a bc 四个代数式中，值为正数的有( ) 1xAyO1xByO1xCyO1xDyO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页 A.4 个 B.3个 C.2个 D.1个7. 在同一坐标系中，函数y= ax2+c与 y= cx (a 0 时， y 随 x 的增大而增大，则二次函数 ykx2+2kx的图象大致为图中的（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页 A B C D 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式， 才能使解题简便 一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式例题：函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1已知二次函数的图象经过A（0，3） 、B（1，3） 、C（1，1）三点，求该二次函数的解析式。2已知抛物线过 A（1，0）和 B（4，0）两点，交 y 轴于 C点且 BC 5，求该二次函数的解析式。二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x h)2+k 求解。3已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6） ，且经过点（ 2，8） ，求该二精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页次函数的解析式。4已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，3） ，且经过点 P（2，0）点，求二次函数的解析式。三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(xx1)(x x2) 。5二次函数的图象经过A（1，0） ，B（3，0） ，函数有最小值 8，求该二次函数的解析式。九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页 2. 关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk； 3. 关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 5. 关于点mn，对称2ya xhk关 于 点mn，对 称 后 ， 得 到 的 解 析 式 是222ya xhmnk根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则， 选择合适的形式， 习惯上是先确定原抛物线 （或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向， 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页 当240bac时，图象与x轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa. 当0时，图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象与x轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y2. 抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛 物 线 与x轴有两个交点二次三 项 式的值 可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛 物 线 与x轴只有一个交点二次三 项 式的值 为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛 物 线 与x轴无交点二次三 项 式的值 恒为正一元二次方程无实数根 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页例题：二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）1.如果二次函数yx24xc 图象与 x 轴没有交点，其中c 为整数，则 c（写一个即可）2.二次函数 yx2-2x-3 图象与 x 轴交点之间的距离为3.抛物线 y3x22x1 的图象与 x 轴交点的个数是 ( ) A. 没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点4.如图所示，二次函数yx24x3 的图象交 x 轴于 A、B两点， 交 y 轴于点 C， 则ABC 的面积为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.1 5.已知抛物线 y5x2(m1)x m与 x 轴的两个交点在 y 轴同侧，它们的距离平方等于为4925，则 m的值为 ( ) A.2 B.12 C.24 D.48 6.已知抛物线 yx2-2x-8 ，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求 ABP的面积。十一、函数的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点 , 它们确定图象现；开口、大小由a 断,c 与 Y 轴来相见 ,b 的符号较特别，符号与 a 相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判， c 的大小 y 轴看，的符号最简便， x 轴上数交点， a、b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。例题：二次函数应用( 一）经济策略性1. 某商店购进一批单价为16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20 元的价格销售时，每月能卖 360 件若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖210 件。假定每月销售件数y( 件）是价格 X 的一次函数 . (1) 试求 y 与 x 的之间的关系式 . (2) 在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润， 每月的最大利润是多少？ （总利润 =总收入总成本）2. 有一种螃蟹， 从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内， 可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去， 假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000 千克放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1 元，但是放养一天需各种费用支出400 元，且平均每天还有10 千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20 元。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页（1）设 X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出 P关于 X的函数关系式。（2）如果放养 X天后将活蟹一次性出售， 并记 1000 千克蟹的销售额为Q元，写出 Q关于 X的函数关系式。（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润 （利润 =销售总额收购成本费用），最大利润是多少？3. 某商场批单价为 25 元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格， 在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30 元的价格销售时，每天能卖出60双； 按每双 32 元的价格销售时，每天能卖出 52双， 假定每天售出鞋的数量Y （双）是销售单位 X的一次函数。 (1)求 Y与 X之间的函数关系式； (2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下， 求出每天的销售利润W （元）与销售单价 X之间的函数关系式； (3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页