恒定磁场的恒定磁场的基本方程基本方程恒定磁场的恒定磁场的辅助函数辅助函数矢量磁位函数矢量磁位函数磁场的磁场的边界条件边界条件电流回路的电流回路的电感电感磁场能量磁场能量v本章主要内容：本章主要内容：第第 5 5 章章 恒定磁场分析恒定磁场分析v恒定磁场：恒定电流所产生的磁场。恒定磁场：恒定电流所产生的磁场。第一节第一节 安培力定律安培力定律 磁感应强度磁感应强度一、安培力定律一、安培力定律v安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。律。v安培力定律内容：真空中，两电流安培力定律内容：真空中，两电流回路回路C C1 1,C,C2 2，载流分别为载流分别为I I1 1,I,I2 2，则：则：式中：式中：为真空中的磁导率。为真空中的磁导率。回路回路C C1 1上对回路上对回路C C2 2的磁场力为：的磁场力为： 可认为可认为C C1 1上电流元上电流元 对对C C2 2上电流元上电流元 的磁场力为：的磁场力为：但：但：令令: :则则: :v磁场：在电流周围形成的一种物质。磁场：在电流周围形成的一种物质。v磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷（电流）产磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷（电流）产生力的作用，称为磁场力。生力的作用，称为磁场力。v磁感应强度矢量磁感应强度矢量 : :描述空间磁场分布。描述空间磁场分布。二、磁感应强度矢量二、磁感应强度矢量定义：定义：电流元电流元 产生的磁感应强度为：产生的磁感应强度为：毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律说明：说明： 、 、 三者满足右手螺旋关系。三者满足右手螺旋关系。真空中任意电流回路产生的磁感应强度真空中任意电流回路产生的磁感应强度对场点对场点源点坐标源点坐标三、磁感应强度矢量积分公式三、磁感应强度矢量积分公式1 1、体电流体电流2 2、面电流面电流3 3、载流为、载流为I I的无限长线电流在空间中产生磁场的无限长线电流在空间中产生磁场四、例题四、例题例题一例题一例题一例题一求半径为求半径为a a的电流环在其轴线上产生的磁场。的电流环在其轴线上产生的磁场。分析：在轴线上，磁场方向沿分析：在轴线上，磁场方向沿z z向。向。电流分布呈轴对称。电流分布呈轴对称。解：建立如图柱面坐标系。解：建立如图柱面坐标系。在电流环上任取电流元在电流环上任取电流元 ，令其坐，令其坐标位置矢量为标位置矢量为 。易知：易知：由安培力定律，知电流元由安培力定律，知电流元 产生的产生的 为：为：第二节第二节 真空中真空中恒定磁场基本方程恒定磁场基本方程一、磁场的基本量一、磁场的基本量1 1、源源量：量：2 2、磁感应强度磁感应强度矢量矢量 （磁通密度矢量）（磁通密度矢量）则整个电流回路产生的则整个电流回路产生的 为：为：3 3、磁场强度磁场强度矢量矢量 定义：定义： 电流回路电流回路C C产生的产生的 为：为：本构关系：本构关系：二、真空中恒定磁场的散度二、真空中恒定磁场的散度孤立磁荷不存在孤立磁荷不存在上式表明：上式表明：恒定磁场是无发散源的场恒定磁场是无发散源的场 由矢量场的散度定理，可推得：由矢量场的散度定理，可推得： 磁通连续性定律（积分形式）磁通连续性定律（积分形式） 在恒定磁场中，磁感应强度矢量穿过任意闭合面在恒定磁场中，磁感应强度矢量穿过任意闭合面的磁通量为的磁通量为0 0，上式表明：磁力线在空间任意位置是上式表明：磁力线在空间任意位置是连续连续的。的。三、安培环路定律三、安培环路定律 在在恒定磁场中，磁场强度矢量沿任意闭合路径的环恒定磁场中，磁场强度矢量沿任意闭合路径的环流等于其与回路交链的电流之和，即：流等于其与回路交链的电流之和，即：安培环路定律安培环路定律( (积分形式积分形式) )说明说明:(1) :(1) 指回路指回路C C所所交链交链电流的代数和；电流的代数和； (2) (2) 指回路指回路C C上的总磁场强度上的总磁场强度( (由由C C内外电流共内外电流共 同产生）。同产生）。由斯托克斯定理：由斯托克斯定理：安培环路定律安培环路定律( (微分形式微分形式) )上式表明：上式表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场。恒定磁场是有旋场，是非保守场。 电流为磁场的漩涡源。电流为磁场的漩涡源。 总结：真空中恒定磁场的基本方程总结：真空中恒定磁场的基本方程 恒定磁场为恒定磁场为有旋无有旋无源场源场，非保守场，非保守场 真空中本构关系真空中本构关系 当电流呈当电流呈轴对称分布轴对称分布时，可利用安培环路定律求解时，可利用安培环路定律求解空间磁场分布。空间磁场分布。 即若存在一闭合路径即若存在一闭合路径C C， C C上上每一点的每一点的 只有切线只有切线或法线方向分量；或法线方向分量； 的切线分量大小应相等。的切线分量大小应相等。四、利用安培环路定律求解空间磁场分布四、利用安培环路定律求解空间磁场分布五、例题五、例题 例题例题一一例题例题二二例题一例题一 半径为半径为a a的无限长直导体内通有电流的无限长直导体内通有电流I I，计算空间磁计算空间磁场强度场强度 分布。分布。分析：电流均匀分布在导体截面分析：电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布。上，呈轴对称分布。解：根据安培环路定律解：根据安培环路定律 当当rara时时 当当rara时时例题二例题二 内、外半径分别为内、外半径分别为a a、b b的无限长中空导体圆柱，导的无限长中空导体圆柱，导体内沿轴向有恒定的均匀传导电流，体电流密度为体内沿轴向有恒定的均匀传导电流，体电流密度为 导导体磁导率为体磁导率为 。求空间各点的磁感应强度。求空间各点的磁感应强度分析：电流均匀分布在导体截面分析：电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布。上，呈轴对称分布。解：根据安培环路定律解：根据安培环路定律 在在rara区域：区域： 在在arbarbrb区域：区域： 所以，空间中的所以，空间中的 分布为：分布为：第二节第二节 矢量磁位矢量磁位一、矢量磁位的引入一、矢量磁位的引入式中：式中： 称为恒定磁场的称为恒定磁场的矢量磁位矢量磁位。 引入矢量磁位的意义：引入辅助函数，可通过间接引入矢量磁位的意义：引入辅助函数，可通过间接求解方法求解空间磁场分布，简化电磁问题求解。求解方法求解空间磁场分布，简化电磁问题求解。若：若： ，则对于，则对于 二、库仑规范二、库仑规范要求：要求： 与与 间满足一一对应关系。间满足一一对应关系。而：而： 式中：式中： 为任意标量场。为任意标量场。 上式表明：上式表明： 和和 为性质不同的两种矢量场。为性质不同的两种矢量场。这意味着满足这意味着满足 的的 有无限多个。有无限多个。 必须引入新的限定条件，对必须引入新的限定条件，对 取值进行限定。这取值进行限定。这种新引入的限定条件称为种新引入的限定条件称为规范条件规范条件。 在恒定磁场中，一般采用在恒定磁场中，一般采用库仑规范条件库仑规范条件，即令，即令 注意：规范条件是人为引入的限定条件，可根据问注意：规范条件是人为引入的限定条件，可根据问题设定不同的规范条件。题设定不同的规范条件。 三、矢量磁位的求解三、矢量磁位的求解矢量位的泊松方程矢量位的泊松方程当当 时时矢量位的拉普拉斯方程矢量位的拉普拉斯方程上式为体电流产生的矢量磁位表达式。上式为体电流产生的矢量磁位表达式。由由电流元电流元 产生的产生的矢量磁位分别为矢量磁位分别为说明：说明：1 1、矢量磁位、矢量磁位 的方向与电流的方向与电流 的方向相同。的方向相同。 2 2、引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算。、引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算。小结：求解磁场的方法小结：求解磁场的方法1 1、场源积分法（毕奥萨伐尔定律）、场源积分法（毕奥萨伐尔定律）2 2、安培环路定律、安培环路定律3 3、通过矢量磁位间接求解、通过矢量磁位间接求解例题：求无限长直线电流的矢量磁位例题：求无限长直线电流的矢量磁位 和磁感应强度和磁感应强度解法一：解法一：当当 时，时， 当当 时，时， 引入一个常数矢量引入一个常数矢量为为有限值有限值解法二：解法二：无限长直线电流无限长直线电流第三节第三节 磁偶极子的矢量位磁偶极子的矢量位磁偶极子：微小的电流圆环磁偶极子：微小的电流圆环磁偶极矩磁偶极矩 ：表示磁偶极子。：表示磁偶极子。式中：式中： 表示面积矢量；表示面积矢量； 为圆环的电流为圆环的电流 一、矢量位：一、矢量位：取取场点场点取取球坐标，球坐标， 为圆环，具有为圆环，具有对称性，场的分布与对称性，场的分布与 无关无关在圆环上对称于在圆环上对称于 的平面取两个电流元的平面取两个电流元在在P P点产生的合成磁矢量：点产生的合成磁矢量：uvdA总第四节第四节 物质的磁化现象物质的磁化现象在在磁场作用下，磁介质将产生磁场作用下，磁介质将产生磁化磁化现象。现象。一、磁化与磁化强度矢量一、磁化与磁化强度矢量1 1、分子电流模型、分子电流模型v电子绕核运动，形成分子电流。电子绕核运动，形成分子电流。v分子电流将产生微观磁场。分子电流将产生微观磁场。v分子电流的磁特性可用磁偶极矩表示。分子电流的磁特性可用磁偶极矩表示。式中：式中： 为电子运动形成的微观电流；为电子运动形成的微观电流； 为分子电流所围面元；为分子电流所围面元；2 2、介质的磁化现象、介质的磁化现象磁化前磁化前v当磁介质内不存在当磁介质内不存在外加磁场时，分子极外加磁场时，分子极矩取向杂乱无章，磁矩取向杂乱无章，磁介质介质宏观上无任何磁宏观上无任何磁特性特性。( (铁磁除外铁磁除外) )磁化后磁化后v磁介质内存在外加磁场时：大量分子的分子极矩取磁介质内存在外加磁场时：大量分子的分子极矩取向与外加磁场趋于一致，向与外加磁场趋于一致，宏观上表现出磁特性宏观上表现出磁特性。这一。这一过程即称为磁化。过程即称为磁化。3 3、磁化强度矢量、磁化强度矢量 磁化强度矢量描述磁介质被磁化的程度。磁化强度矢量描述磁介质被磁化的程度。物理意义：单位体积内分子物理意义：单位体积内分子磁矩的矢量和。磁矩的矢量和。一般介质被磁化的程度与外加磁场强度成正比，即：一般介质被磁化的程度与外加磁场强度成正比，即：式中：式中： 为磁介质的为磁介质的磁化率磁化率（磁化系数）（磁化系数）二、磁化电流二、磁化电流v磁介质被磁化后，内部和表面可能会出现附加电磁介质被磁化后，内部和表面可能会出现附加电流，称这种电流为磁化电流（束缚电流）。流，称这种电流为磁化电流（束缚电流）。v若若媒质的磁化强度为媒质的磁化强度为 ，则，则 体积体积 内，总内，总磁矩为磁矩为 ，其在真空中产生的磁矢位为：，其在真空中产生的磁矢位为：定义磁化电流体密度为：定义磁化电流体密度为：面磁化电流密度为：面磁化电流密度为：为为媒质表面外法向方向媒质表面外法向方向可以推导出可以推导出：说明：说明：1 1、若媒质被均匀磁化，无磁化体电流；、若媒质被均匀磁化，无磁化体电流；2 2、磁化介质表面一般存在磁化电流；、磁化介质表面一般存在磁化电流；3 3、若在磁介质内部存在自由线电流，则在自、若在磁介质内部存在自由线电流，则在自由电流处存在磁化线电流。由电流处存在磁化线电流。第四节第四节 磁介质中磁场的基本方程磁介质中磁场的基本方程一、磁介质中磁场的散度一、磁介质中磁场的散度在在磁介质中，磁力线仍然是连续的。即：磁介质中，磁力线仍然是连续的。即：二、磁介质中磁场的旋度二、磁介质中磁场的旋度真空中：真空中：磁介质中：磁介质中：定义磁场强度矢量定义磁场强度矢量 ： 称为媒质磁导率称为媒质磁导率式中：式中： 称为媒质相对磁导率称为媒质相对磁导率磁磁媒质本构关系媒质本构关系由由斯托克斯定律，可得：斯托克斯定律，可得：小结：介质中磁场基本方程为小结：介质中磁场基本方程为第五节第五节 磁场边界条件磁场边界条件v在在两种媒质分界面处，磁场将发生突变。两种媒质分界面处，磁场将发生突变。v磁场边界条件：揭示了边界面两边磁场边界条件：揭示了边界面两边磁场矢量间联系磁场矢量间联系。v磁场边界条件由磁场基本方程积分形式导出。磁场边界条件由磁场基本方程积分形式导出。一、一、 的边界条件的边界条件结论：结论：在边界面上，在边界面上， 法向连续。法向连续。二、二、 的边界条件的边界条件式中：式中： 为表面自由电流面密度。为表面自由电流面密度。说明：若表面上无自由电流，则说明：若表面上无自由电流，则结论：结论：若在分界面上无自由电流，若在分界面上无自由电流， 切向连续。切向连续。讨论：讨论：1 1、当分界面上无自由电流时、当分界面上无自由电流时上式表明：上式表明：媒质两边磁场方向与媒质特性相关媒质两边磁场方向与媒质特性相关。 2 2、若媒质、若媒质1 1为空气，媒质为空气，媒质2 2为铁磁媒质。即：为铁磁媒质。即：上式表明：上式表明：在铁磁媒质表面，磁场方向与表面垂直。在铁磁媒质表面，磁场方向与表面垂直。三、导体边界条件三、导体边界条件v在理想导体内部，磁场为在理想导体内部，磁场为0 0。若媒质若媒质2 2为理想导体，则可由边界条件一般形式推得：为理想导体，则可由边界条件一般形式推得：式中，式中， 为导体边界外法向矢量为导体边界外法向矢量。说明：可以应用边界条件计算导体边界上电流分布。说明：可以应用边界条件计算导体边界上电流分布。四、矢量磁位的边界条件四、矢量磁位的边界条件五、例题五、例题例题一例题一例题二例题二例题一例题一 无限长线电流位于无限长线电流位于z z轴，介质分轴，介质分界面为平面，求空间的界面为平面，求空间的 分布和磁化分布和磁化电流分布。电流分布。分析：电流呈轴对称分布。可用安培环分析：电流呈轴对称分布。可用安培环路定律求解。磁场方向沿路定律求解。磁场方向沿 方向。方向。解：磁场方向与边界面相切，由边界条件知，在分界面解：磁场方向与边界面相切，由边界条件知，在分界面两边，两边， 连续而连续而 不连续。不连续。由安培环路定律：由安培环路定律：求磁化电流：求磁化电流：介质磁化强度为：介质磁化强度为：磁化体电流为：磁化体电流为：磁化面电流为：磁化面电流为：在介质内在介质内r=0r=0位置，还存在磁化线电流位置，还存在磁化线电流I Im m。由。由安培环安培环路定律，有：路定律，有：分析分析: :可由电流守恒的关系求可由电流守恒的关系求例题二例题二 如图，铁心磁环尺寸和横截面如如图，铁心磁环尺寸和横截面如图，已知铁心磁导率图，已知铁心磁导率 ，磁环，磁环上绕有上绕有N N匝线圈，通有电流匝线圈，通有电流I I。求求:(1):(1)磁环中的磁环中的 ， 和和 。 (2)(2)若在铁心上开一小切口，计算若在铁心上开一小切口，计算磁环中的磁环中的 ， 和和 。解解：(1)(1)由安培环路定律，在磁环内取闭合由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得积分回路，则可得 (2)(2)开切口后，在切口位置为边界问题。开切口后，在切口位置为边界问题。在切口处，磁场垂直于边界面，由边界条件在切口处，磁场垂直于边界面，由边界条件知在分界面上知在分界面上 连续，连续， 不连续。不连续。 由安培环路定律，在磁环内由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得取闭合积分回路，则可得由于铁心很细，可近似认为磁力线均匀分布在截面上。由于铁心很细，可近似认为磁力线均匀分布在截面上。第六节第六节 电感电感电感有自感和互感之分。电感有自感和互感之分。一、互感一、互感 两个电流回路两个电流回路C C1 1和和C C2 2，回路回路C C1 1中中电流电流I I1 1产生的磁场产生的磁场交链于回路交链于回路C C2 2的磁通量为的磁通量为 ，则定义回路，则定义回路C C1 1对对C C2 2的的互互感系数为：感系数为：其中：其中：同理定义回路同理定义回路C C2 2对对C C1 1的互感系数为：的互感系数为：说明：回路互感仅与两回路的说明：回路互感仅与两回路的几何形状几何形状、尺寸尺寸、相对相对位置位置和和媒质磁导率媒质磁导率有关。有关。诺伊曼公式诺伊曼公式二、自感二、自感 若某回路若某回路C C载流为载流为I I，其产生的磁场穿过回路其产生的磁场穿过回路C C本本身所形成的磁链为身所形成的磁链为 ，则定义回路，则定义回路C C的自感系数为：的自感系数为：说明：说明：1 1、回路自感仅与回路自身的、回路自感仅与回路自身的几何形状几何形状、尺寸尺寸和和媒质磁导率媒质磁导率有关，与回路中有关，与回路中载流载流无关。无关。2 2、若回路为、若回路为N N匝线圈密绕，则回路总磁通量为匝线圈密绕，则回路总磁通量为讨论：若回路导线直径较粗，则讨论：若回路导线直径较粗，则式中：式中： 为回路为回路内自感内自感，即导体内部磁场与部分电流，即导体内部磁场与部分电流交链所形成电感。交链所形成电感。 为回路为回路外自感外自感，即导体外磁场与回路交链所形，即导体外磁场与回路交链所形成电感。成电感。五、例题五、例题 例题一例题一 例题二例题二分析：内导体为粗导体，故内导体存在分析：内导体为粗导体，故内导体存在内自感。因此同轴线自感由同轴线内自内自感。因此同轴线自感由同轴线内自感和内外导体间互感组成。感和内外导体间互感组成。解：设同轴线内导体载流为解：设同轴线内导体载流为I I，则由安培环路定律，知则由安培环路定律，知例题一例题一 求同轴线单位长度的自感。设同轴线内径为求同轴线单位长度的自感。设同轴线内径为a a，外外径为径为b b，内外导体间为真空。导体磁导率为内外导体间为真空。导体磁导率为 同轴线单位长度自感由内导体内自感和内外同轴线单位长度自感由内导体内自感和内外导体互感构成。即：导体互感构成。即： 如图，在内导体内取一长为单位长如图，在内导体内取一长为单位长度，宽为度，宽为drdr的矩形面元，则通过该面元的矩形面元，则通过该面元的磁通为：的磁通为：与与 所交链的电流为所交链的电流为I I, ,可知可知 由磁链定义，知与由磁链定义，知与 对应的磁链为：对应的磁链为： 整个内导体单位长度的磁链为整个内导体单位长度的磁链为 故内导体单位长度的内自感为故内导体单位长度的内自感为 易求得，内外导体间单位长度磁链为：易求得，内外导体间单位长度磁链为：例题二例题二 求双传输线单位长度自感。设导线半径为求双传输线单位长度自感。设导线半径为a a，导线导线间距为间距为D D。(Da)(Da)分析：导线为细导线，故只需考分析：导线为细导线，故只需考虑导体间的互感。虑导体间的互感。解：由安培环路定律，可以求解：由安培环路定律，可以求得在导体间：得在导体间： 则导体间单位长度的磁通量为则导体间单位长度的磁通量为第七节第七节 磁场能量磁场能量一、电流回路系统的磁场能量一、电流回路系统的磁场能量 N N个回路系统，个回路系统，i i回路自感为回路自感为 ，i i回路与回路与j j回路间互回路间互感为感为 ，i i回路电流为回路电流为 ，则磁回路系统的磁场能量为，则磁回路系统的磁场能量为: :讨论：讨论：1 1、若回路为单回路系统，则、若回路为单回路系统，则 若回路为双回路系统，则若回路为双回路系统，则 2 2、若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能、若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：为： 式中：式中： 为体电流为体电流 在在dVdV处产生的磁位。处产生的磁位。 V V为整个空间。为整个空间。 二、磁能密度二、磁能密度磁场能量磁场能量定义：磁能密度为定义：磁能密度为三、利用磁能求回路电感三、利用磁能求回路电感例题一例题一例题二例题二例题一例题一 求半径为求半径为a a的无限长直导线单位长度内自感。的无限长直导线单位长度内自感。解：设导体内电流为解：设导体内电流为I I，则由安培环路定律则由安培环路定律则导体内单位长度磁能为则导体内单位长度磁能为第五章作业第五章作业恒定磁场基本方程恒定磁场基本方程5.1 5.2 5.35.1 5.2 5.3矢量磁位矢量磁位5.55.5介质的磁化介质的磁化5.75.7磁场边界条件磁场边界条件5.8 5.11 5.9(5.8 5.11 5.9(思考题思考题) )