问问题题: :如如图图有有一一池池塘塘。要要测测池池塘塘两两端端A A、B B的的距距离离，可可无无法法直直接接达达到到，因因此此这这两两点点的的距距离离无无法法直直接接量量出出。你你能能想想出出办办法来吗？法来吗？ABABCED在平地上取一个可直接到达在平地上取一个可直接到达A A和和B B的点的点C C，连结连结ACAC并延长至并延长至D D使使CD=CACD=CA延长延长BCBC并延长至并延长至E E使使CE=CBCE=CB连结连结EDED，那么量出那么量出DEDE的长，就是的长，就是A A、B B的距离的距离. .你知道你知道为什么为什么吗吗？1. 画画MA N = AABCMNA B C3. 连接连接 B C ，得，得 A B C .已知已知ABC是任意一个三角形，画是任意一个三角形，画A BC 使使A = A， A B =AB， A C =AC.画法：画法：2、在射在射线线 A M ，A N 上分上分别别取取 A B = AB ，A C = AC .由此看来，三角形可以通过一个角和这个角相邻的两条边来确定。边角边公理 有两边和它们的有两边和它们的夹角夹角对应相等的对应相等的 两个三角形全等两个三角形全等. .可以简写成可以简写成 “边角边边角边” 或或“ SAS ” S 边边 A角角试一试试一试在下列图中找出全等三角形，并把它们用符号写出来.308 cm9 cm308 cm8 cm8 cm5 cm308 cm5 cm308 cm5 cm8 cm5 cm308 cm9 cm308 cm8 cmCABDO在下列推理中填写需要补充的条在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：件，使结论成立：(1)如图，在如图，在 AOB和和 DOC中中已知已知AO=DO，BO=CO，求证：求证： AOBDOCAO=DO(已知已知)_=_( )BO=CO(已知已知) AOBDOC（ ） AOB DOC对顶角相等对顶角相等SAS(2).如图，在AEC和ADB中，_=_(已知已知)A= A( 公共角公共角)_=_(已知已知) AECADB（ ）AEBDCAEADACABSAS例例1 1已知已知: 如图如图,AC=AD ,CAB=DAB. 求证求证: ACB ADB.ABCD证明证明:ACB ADB这两个条件够吗这两个条件够吗?还要什么条件呢还要什么条件呢?还要一条边还要一条边例例1 1已知已知: 如图如图,AC=AD ,CAB=DAB. 求证求证: ACB ADB.ABCD它既是ACBACB的一条边的一条边, ,看看线段ABABABAB又 是 ADBADB的一条边的一条边ACB 和和ADB的的公共边公共边例例1 1已知已知: 如图如图,AC=AD ,CAB=DAB. 求证求证: ACB ADB.ABCD证明证明:在在ACB 和和 ADB中中 AC = A D CAB=DAB A B = A B (公共边）公共边）ACBADB（SAS）证明三角形全等的步骤：证明三角形全等的步骤：1.1.写出在哪两个三角形中证明全等。写出在哪两个三角形中证明全等。（注意把（注意把表示对应顶点的字母写在对应表示对应顶点的字母写在对应的位置上的位置上）. .2.2.按按边、角、边的顺序边、角、边的顺序列出三个条件，列出三个条件，用大括号合在一起用大括号合在一起. .3.3.写出结论写出结论. .每步每步要有推理的依据要有推理的依据. .在应用时，怎样寻找已知条件：在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，已知条件包含两部分，一是一是已知中给出已知中给出的，二是的，二是图形中隐含图形中隐含的的（如公共边，公（如公共边，公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归所以找条件归结成两句话：结成两句话：已知中找，图形中看已知中找，图形中看. .平面几何中常要说明角相等和线段相等，其说明常用方法：平面几何中常要说明角相等和线段相等，其说明常用方法：角相等角相等对顶角相等对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补同角（或等角）的余角（或补角）相等角）相等；两直线平行，同位角相等，内错角相等两直线平行，同位角相等，内错角相等；角角平分线定义平分线定义；等式性质等式性质；全等三角形的；全等三角形的对应角相等对应角相等. .线段相等的方法线段相等的方法中点定义；全等三角形的对应边相中点定义；全等三角形的对应边相等；等式性质等；等式性质. . 1 1、已知：在已知：在 ABE和和 ACD中中，AB = AC AB = AC ，AD = AE .AD = AE . 求证：求证： ABE ACD ABE ACD. .证明证明: 在在ABE ABE 和和ACD ACD 中中AB = ACAE = AD A = A（公共（公共角）角） ABE ACD（SAS）练习：练习：ABCDE2.若若AB=AC，则添加什么条件可得，则添加什么条件可得ABD ACD?ABD ACDAD=ADAB=ACABDCBAD= CADSAS练习练习图中隐含图中隐含已知条件已知条件3.已知如图，点已知如图，点D 在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE与与CD交于点交于点O，ABE ACDSASAB=ACA= AAD=AE要证要证ABE ACD需添加什么条件需添加什么条件?BEA ACDO隐含条件隐含条件已知角，缺少两已知角，缺少两边，而且是与角边，而且是与角相邻的两条边！相邻的两条边！2.已知如图，点已知如图，点D 在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE与与CD交于点交于点O，SASOB=OC BOD= COE OD=OE要证要证BOD COE需添加什么条件需添加什么条件?BEA ACDOBOD COE隐含条件（对顶角）隐含条件（对顶角）3.如图，要证如图，要证ACB ADB ，至少选用，至少选用哪些条件可哪些条件可ABCDACB ADBSAS证得证得ACB ADBAB=AB CAB= DAB AC=AD能使用现有条件就应使用现能使用现有条件就应使用现有条件！挖掘隐含条件。有条件！挖掘隐含条件。4.如图，要证如图，要证ACB ADB ，至少选用，至少选用哪些条件可哪些条件可ABCDACB ADBSAS证得证得ACB ADBAB=AB CBA= DBA BC=BD问问题题: :如如图图有有一一池池塘塘。要要测测池池塘塘两两端端A A、B B的的距距离离，可可无无法法直直接接达达到到，因因此此这这两两点点的的距距离离无无法法直直接接量量出出。你你能能想想出办法来吗？出办法来吗？ABCED在平地上取一个可直接到达在平地上取一个可直接到达A和和B的点的点C， 连结连结AC并延长至并延长至D使使CD=CA延长延长BC并延长至并延长至E使使CE=CB连结连结ED，那么量出那么量出DE的长，就是的长，就是A、B的距离的距离.为什么？为什么？按图写出按图写出“已知已知”“求证求证”，并加以，并加以证明证明已知：已知：AD与与BE交于点交于点C，CA=CD，CB=CE.求证：求证：AB=DE 已知：如图，MANB， MCND，MN求证：ABCD M N MC ND (SAS） 全等三角形的对应边相等 等量减等量差相等 填空题：填空题： AMCBNDAC=BDAC-BC=BD-BC AB=CD证明题：证明题：1已知:如图，ADBC，ADCB. 求证:ABCD. 【提示】连结AC， 由 ABCCDA，故 ABCD. 2已知: 如图，12，BDCA. 求证:AD. 【提示】 先证ABC ADC两两直线平行，直线平行，内错角相等内错角相等 F FA AB BD DC CE E3 3、点、点E E、F F在在ACAC上，上，AD/BCAD/BC，AD=CBAD=CB，AE=CFAE=CF 求证求证（1 1）AFDCEBAFDCEB 分析分析：证三角形全等的三个条件证三角形全等的三个条件A=A=C C边边 角角 边边AD / BCAD / BCAD = CBAD = CBAE = CFAE = CFAF = CEAF = CE？（已知）已知）求证:(1)AECF； (2)AECF； (3)AFECEF. 3已知: 如图，B、F、E、D在一条直线上， ABCD，BFED，BD. 【提示】 先证ABE DCF4已知：如图，ABC为直线，EBAC， BDBC，ABBE. 求证：AFEC. ABCDEF【提示】求证ABDEBC， 得AE， 因为ADBEDF， AADB90， 所以EEDF90， AFEC. 小结小结1.1.边角边公理：边角边公理：有两边和它们的有两边和它们的_对应相等的对应相等的 两个三角形全等（两个三角形全等（SASSAS）夹角2.边角边公理的应用中所用到的数学方法边角边公理的应用中所用到的数学方法: 证明线段（或角相等）证明线段（或角相等） 证明线段（或证明线段（或角）所在的两个三角形全等角）所在的两个三角形全等.转化转化1. 证明两个三角形全等所需的条件应证明两个三角形全等所需的条件应按按对应边、对应边、对应角、对应角、对应边顺序书写对应边顺序书写. .2. 公理中所出现的边与角必须在所证明的公理中所出现的边与角必须在所证明的两个三角形中两个三角形中. 3. 公理中涉及的角必须是公理中涉及的角必须是两边的夹角两边的夹角.用公理证明两个三角形全等需注意用公理证明两个三角形全等需注意课堂练习1 1、已已知知：如如图图，ABAD，ACAE，112. 2. 求证：求证：ABCADE. .122、已已知知：如如图图，AE是是ABC的的中中线线，D是是 BC延延长长线线上上一一点点，且且CDAB，BCABAC.求证：求证：AD2AE. ABCDE【点评】这里这里1和和2不是所证三角形中的角，不是所证三角形中的角，BAC和和DAE才是三角形的内角才是三角形的内角.所以须证所以须证BACDAE，才能满足，才能满足、三个条三个条件件. 【分析】通过添加辅助线，构造全等三角通过添加辅助线，构造全等三角形是一种常用的思考方法形是一种常用的思考方法.若已知条件中有若已知条件中有中线，常延长中线成两倍关系，构成全等中线，常延长中线成两倍关系，构成全等三角形三角形. F 【小结】证明一条线段(或一个角)是另一条线段(或另一个角)的两倍，常用方法是: (1)加倍法.作出等于短线段(或小角)两倍的线段(或角)，然后证它与较长线段(或较大角)相等； (2)折半法.作出较长线段(或较大角)的一半证明它与较短线段(或较小角)相等.