优秀学习资料欢迎下载四边形性质探索一、知识框架四边形由一般到特殊的演变示意图二、知识梳理1、平行四边形（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）性质平行四边形的邻角互补，对角相等；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；符号语言表达：四边形 ABCD 是平行四边形附加： 若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积；两平行线间的距离处处相等（3）判定方法判别方法 1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；符号语言表达： AB CD.BC AD四边形 ABCD 是平行四边形判定方法 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；符号语言表达： AB=CD ，BC=AD 四边形 ABCD 是平行四边形判定方法 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；符号语言表达： OA=OC，OB=OD 四边形 ABCD 是平行四边形判定方法 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形符号语言表达： AB 平行且相等 CD或 BC平行且相等 AD四边形 ABCD 是平行四边形判别方法 5：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。符号语言表达： ABC ADC ，DAB DCB四边形 ABCD 是平行四边形例 1：如图，平行四边形ABCD 中，AE BD ，CF BD ，垂足分别为E、F. 求证： BAE =DCF.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载证明：例 2：如图 2，E、F分别是 ABCD的 AD 、BC边上的点，且 AE = CF. （1）求证： ABE CDF ；（2）若 M 、N分别是 BE 、DF的中点，连结 MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论 . 解：评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论. 2、矩形（1）定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形（2）性质具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形；又是中心对称图形。（3） 、判定方法定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；判定方法 1：有三个角是直角的四边形是矩形；判定方法 2：对角线相等的平行四边形是矩形例 3 如图，矩形 ABCD 中，AC与 BD交于 O点，BE AC于 E，CF BD于 F.求证：BE = CF. 证明：CABDEFA D B C E F (图 2) M N O A B C D E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定. 例 4 四边形 ABCD 是矩形， O是它的中心， E、F 是对角线 AC上的点. （1）如果，则DEC BFA （请你填上一个能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论 . 解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一. 3、菱形（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（2）性质具有平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形（3）判定方法定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；判定方法 1：四条边都相等的四边形是菱形；判定方法 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形例 5、如图 ABCD的对角线 AC的垂直平分线与边AD 、BC分别相交于点 E、F.求证：四边形 AFCE是菱形. 证明：A B C D E F O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载4、正方形（1）定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形；（2）性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征边四边相等、邻边垂直、对边平行；角四角都是直角；对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形是轴对称图形，有4 条对称轴（3）判定方法：判定一：一组邻边相等的矩形是正方形；判定二：一个角是直角的菱形是正方形5、梯形（1）梯形的定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形（2）梯形的性质及其判定；梯形是特殊的四边形， 具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行 一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断（3）等腰梯形的性质和判定： 性质：等腰梯形在同一底边上的两个内角相等，两腰相等，两底平行，两对角线相等，是轴对称图形，只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴）判定方法：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形（4）直角梯形有一个角是直角的梯形叫做直角梯形例 6 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ，AB = DC ，点 E、F 分别在 AB 、CD上，且 BE = 2EA ，CF = 2FD. 求证： BEC = CFB.证明：例 7 如图，已知在梯形ABCD 中，AD BC ，AB = DC，对角线 AC和 BD相交于点 O ，E是 BC边上一个动点（点 E不与 B、C两点重合），EF BD交AC于点 F，EG AC交 BD于点 C. A B C D E F A B C D E G O F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载（1）求证：四边形 EFOG 的周长等于 2OB ；（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD BC ，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG 的周长等于 2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明 . 例 8 有一块梯形形状的土地， 现要平均分给两个农户种植 （即将梯形的面积两等分） ，试设计两种方案 （平分方案画在备用图上） ，并给予合理的解释 . 解析：方案二：方案三：6、多边形的内角和与外角和 n边形内角和等于（ n2） 180；任意多边形的外角和都等于3607、平面图形的密铺对于正多边形来说，只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺一般三角形、一般四边形有的也可以密铺例 9 请将四个全等直角梯形（如图） ，拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）解析：拼法有多种，现列举四例：B A D C O F E G （1）A B C D E F （2）A B C D E （3）A B C D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载8、中心对称图形 1如果一个图形绕着它的中心点旋转180后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。2图形上对称点的连线被对称中心平分；适时训练（一）精心选一选1. 下列命题正确的是（）A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形B.对角线相等的四边形一定是矩形C.两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形D.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2. 已知平行四边形 ABCD 的周长 32, 5AB=3BC, 则AC 的取值范围为 ( ) A. 6AC10； B. 6AC16； C. 10AC16； D. 4AC16 3. 两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4延长平形四边形ABCD 的一边 AB到 E，使 BE BD ，连结 DE交 BC于 F，若 DAB 120， CFE135，AB 1，则 AC 的长为（）（A）1 （B）1.2 （C）3 2（D）1.5 5若菱形 ABCD 中，AE 垂直平分 BC 于E，AE 1cm ，则BD 的长是（）（A）1cm （B）2cm （C ）3cm （D）4cm 6. 若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线( ) （A）互相垂直（B）相等（C ）互相平分（D ）互相垂直且相等7. 如图，等腰 ABC中，D是 BC边上的一点， DE AC ，DF AB ，AB=5 那么四边形 AFDE 的周长是（）（A）5 （B）10 （C）15 （D）20 8. 如图，在周长为 20cm 的ABCD 中，AB AD ， AC 、BD 相交于点 O ，OE BD 交AD 于E，则 ABE 的周长为（） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 第 7 题第 8 题第 9 题9. 如图，四边形ABCD 为矩形纸片把纸片ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD边的中点 E处，折痕为AF若 CD 6，则 AF等于 （）（A）34（B）33（C）24（D）10. 如图, 在一个 33方格纸上 , 若以格点 (即小正方形的顶点 )为顶点画正方形， 在该 33方格纸上最多可画出的正方形的个数是( )个. ABCDOEA B C D E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载（1）（2）A D B C E F O A.13 B.14 C.18 D.20 （二）细心填一填1. 如果四边形四个内角之比 1：2：3：4，则这四边形为形。2. 若正方形的对角线长为 2cm ，则正方形的面积为。3. 若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm 两部分，则这个矩形周长是4. 已知： 平行四边形 ABCD 的周长是 30cm ， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， AOB 的周长比 BOC 的周长长 5cm ，则这个平行四边形的各边长为。5. 已知：平行四边形ABCD 中， AEBC交 CB的延长线于点 E，AFCD交 CD的延长线于点 F，AB BC CD DA 32cm ，BC 35 AB，EAF 2C，则 BE长为，则 C . 6. 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC 和BD 相交于点 O ，E、F分别是边 AB 、BC 上的点，若 AE 4cm ，CF 3cm ，且OE OF ，则EF的长为。7 如图(1) 是一个等腰梯形，由6 个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2) 所示的一个菱形对于图 (1) 中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：（三）认真答一答1. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD BC,AB=CD=2, BAD=120 , 对角线 AC平分 BCD ，求等腰梯形 ABCD的周长。2. 将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C与 A重合，点 D落到 D 处，折痕为 EF （1）求证： ABE AD F；（2）连接 CF ，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论A B C D E F D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载3、如图，四边形 ABCD 是平行四边形 AD=12 、AB=13 ，BD AD ，求 BC ，CD及 OB的长。4、如图，平行四边形ABCD 中，AE BD ，CF BD ，垂足分别为 E、F。（1）写出图中每一对你认为全等的三角形；（2）选择（ 1）中的任意一对进行证明。5、在ABCD 中，E、F 分别在 DC 、AB上，且 DE=BF ，四边形 AFCE 是平行四边形吗？说说你的理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载DABCEF6、如图，在 ABCD 中，E、F 分别是 BC 、AD上的点，且 AE CF ，AE与 CF相等吗？说明理由 . 7、矩形 ABCD 的对角线相交于点O ，DE AC ，CE DB ，DE 、CE交于 E，那么四边形 DOCE 是菱形吗？请你写出说明过程8、如图，梯形 ABCD 中，AB CD ，AD BC ，延长 AB到点 E，使 BE DC ，连结 CE 。（1）试说明四边形 DBEC 是平行四边形；（2）AC与 CE长度的大小关系怎样？请说明理由。9、如图，已知 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD 、BC上，且 EF垂直平分对角线AC ，垂足为 O ，问：四边形 AECF 是菱形吗？请说明理由。ABDCEFODABEC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页