1 / 18 整式的乘法与因式分解复习学案一、整式的乘法（一）幂的乘法运算一、知识点讲解：1、同底数幂相乘：nmaa推广：nnnnnnnnnnaaaaa3213211（nnnnn,321都是正整数）2、幂的乘方：nma推广：321321)(nnnnnnaa（321,nnn都是正整数）3、积的乘方：nab推广：nmnnnnmaaaaaaaa321321)(二、典型例题：例 1、（同底数幂相乘）计算：（1）52xx（2）389)2()2()2(（3）mmaa11（ 4）523)()()(xyxyyx变式练习：1、a16可以写成（） Aa8+a8 Ba8a2 C a8a8 Da4a42、已知, 32x那么32x的值是。3、计算： (1) a ? a3?a5（2）52)(xx（3）2233xxxx（ 4）(x+y)n (x+y)m+1 （5）（ nm ）（ m n）2（ nm ）4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页2 / 18 例 2、（幂的乘方）计算：（1）（ 103）5 （2）23)(ma（3）522yx (4) 532)()(mnnm变式练习：1、计算（ x5）7+（ x7）5的结果是（） A 2x12 B 2x35 C 2x70 D0 2、在下列各式的括号内，应填入b4的是（） A b12=（）8 Bb12=（）6 Cb12=（ ）3 Db12=（ ）23、计算：（ 1）43)( m（2）3224aa（ 3）5342)()(ppp (4)（ m3）4+m10m2+m m3m8 例 3、（积的乘方）计算：（1）（ ab）2 （2）（ 3x）2 （ 3）332)3(cba（4）32)(3yx（5）20082009)3()31(变式练习：1、如果（ ambn）3=a9b12，那么 m ，n 的值等于（）A m=9 ，n=4 Bm=3 ， n=4 Cm=4 ，n=3 D m=9 ，n=6 2、下列运算正确的是（）(A)22xxx (B)22)(xyxy (C)632)(xx (D)422xxx3、已知 xn=5，yn=3，则（ xy）3n=。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页3 / 18 4、计算：（ 1）（ a）3（2）（ 2x4）3 （3）24104(4)3233yx（5）32222)2()2(baba (6) 1054125. 0(7)333)31()32()9( (8)4244aaa243x（二）整式的乘法一、知识点讲解：1、单项式单项式（1）系数相乘作为积的系数（2）相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为一个因式（3）单独出现的字母，连同它的指数，作为一个因式注意点：单项式与单项式相乘，积仍然是一个单项式2、单项式多项式单项式分别乘以多项式的各项；将所得的积相加注意：单项式与多项式相乘，积仍是一个多项式，项数与多项式的项数相同3、多项式多项式先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。注意：运算的结果一般按某一字母的降幂或升幂排列。二、典型例题：例 1、计算：（ 1）abcbaab2)31(322（2）)34432()23(22yxyyxxy（3）(x-3y)(x+7y) （ 4）) 1)(1)(1(2xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页4 / 18 变式练习：1、计算：（ 1）(4xm 1z3) ( 2x2yz2) (2) (2a2b)2(ab2a2ba2) （ 3）(x+5)(x-7) (4).12)(5(21aa (5)5ab3? （ a3b）（ ab4c）（6）)3()43(822mmmmm2、先化简，后求值：(x 4)(x 2) (x 1)(x 3) ，其中25x。3、一个长80cm，宽 60cm的铁皮，将四个角各裁去边长为bcm的正方形，做成一个没有盖的盒子，则这个盒子的底面积是多少？当b=10 时，求它的底面积。（三）乘法公式一、知识点讲解：1、平方差公式：baba；变式：（ 1）)(abba； （2）)(baba；（3）)(baba=； （4）)(baba=。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页5 / 18 2、完全平方公式：2)(ba=。公式变形：（1）abbaabbaba2)(2)(2222（2）abbaba4)()(22； （3）abbaba4)()(22（4）abbaba4)()(22； （5）)(2)()(2222bababa二、典型例题：例 2、计算：（ 1）(x2)(x2) （2）(5a)(-5 a) （3）)52)(52(yxyx（4）222233xyyx (5)20021998（6）4222xxx变式练习：1、直接写出结果：（1）(xab)(xab)= ； （2）(2x5y)(2x5y)= ；（3）( xy)( xy)= ；（ 4）(12 b2)(b212) _； (5)(-2x+3)(3+2x)=；（ 6）（ a5-b2）（ a5+b2）=。2、在括号中填上适当的整式：（1）（mn）（）n2m2； （2）（ 13x）（）19x23、如图，边长为a的正方形中有一个边长为b 的小正方形，若将图1 的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1 和图 2的阴影部分的面积，你能得到的公式是。4、计算：（ 1）baba5252（2）).23)(23(22baba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页6 / 18 （3）7697110（4）(m2n2)( m2n2) （5）22225252baba（6）（ abc）（ abc）5、已知02,622yxyx，求5yx的值。例 3、填空： (1)x210x_( 5)2；(2)x2_16(_ 4)2；(3)x2x_ (x_ )2； (4)4x2 _9(_ 3)2例 4、计算：（ 1）222)2(yxyx（2）(x+)2（3）22)121(x（4）2999例 5、已知xx13，求( )1122xx；( )()212xx例 6、化简求值2232323232babababa，其中：31,2 ba。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页7 / 18 变式练习：1、设pnmnm22)23()23(，则 P的值是（） A 、mn12 B、mn24 C、mn6 D、mn482、若kxx6-2是完全平方式，则k= 3、若 a+b=5，ab=3，则22ba=. 4、若2) 1(2x，则代数式522xx的值为。5、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：2222)(bababa, 你根据图乙能得到的数学公式是。6、已知：_1,5122aaaa7、计算：（ 1）（ 3a+b）2（ 2）( 3x2 5y)2 （3）(5x-3y)2（4） ( 4x37y2)2 （5）（ 3mn5ab）2（ 6）(abc)2(7)28 .79（8）22)()(yxyx8、化简求值：22)2()2()2)(12(xxxx， 其中211x9、已知49)(2yx，1)(2yx，求下列各式的值：（1）22yx；（ 2）xy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页8 / 18 三、巩固练习：A 组一、选择题1、下列各式运算正确的是（）A.532aaa B.532aaa C.632)(abab D.5210aaa2、计算232( 3)xx的结果是（）A.56x B.56x C.62x D.62x3、计算32)21(ba的结果正确的是（）A. 2441ba B.3681ba C.3681ba D.5318a b4、如图，阴影部分的面积是( ) Axy27 Bxy29 C xy4 D xy25、22xaxaxa的计算结果是 ( ) A.3232xaxaB.33xaC.3232xa xa D.222322xaxaa6、28a4b27a3b 的结果是 ( ) (A)4ab2 (B)4a4b (C)4a2b2 (D)4ab 7、下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（） A 、)(baba B、)(4444yxyx C 、)(yxyx D 、)(3333baba8、下列计算正确的是（） A 、2222)(yxyxyx B、9432)332(22xxx C 、4116)214(22xx D、222141)21(aaa二、填空题1、如果4ma，12na，那么nma=。2、已知2216xax是一个完全平方式，则a=。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页9 / 18 3、若1522ba，且5ba，则ba的值是 _4、若 a+b=m ，ab=-4 化简 (a-2)(b-2)=。5、已知：_1,5122aaaa则。6、一个正方形的边长增加了cm2，面积相应增加了232cm，则这个正方形的边长为。三、解答题1、计算：（ 1）232425()()()aaa（2）（ 3xy2）3（61x3y）2（3）)32(323xyxyyx（ 4）（)7()71423mmmm（5）)7)(6(xx（6）20082007)311()43( (7) (15x)2(5x 1)2（8）22)2(ba2、先化简，后求值：)2()()(2baabababa，其中a=32，b21。3、方体游泳池的长为,)94(22mba，宽为,)32(mba高为,)32(mba那么这个游泳池的容积是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页10 / 18 4、已知cba、是 ABC 的三边的长，且满足0)(22222cabcba，试判断此三角形的形状B 组一、选择题1、下面是某同学在一次测验中的计算摘录325abab；33345m nmnm n；5236)2(3xxx；324( 2)2a ba ba； 235aa；32aaa其中正确的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4个2、如)(mx与)3(x的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A. 1 B. 0 C. -3 D. 3 3、若1443)(xxxxmm，则m的平方根为（）A.5B. 5C.2.5 D. 54、n 为正整数时，3n281n3的计算结果为（）A 32n5 B 33n5 C 35n14 D 35n125、如图2，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（ a b）,将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b 的恒等式为A.2222abaabb B.2222abaabbC.22()()abab abD.2()aaba ab图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页11 / 18 6、若 x2+y2=(x-y)2+p=(x+y)2-Q, 则 P，Q分别为（） A.P=2xy,Q=-2xy B. P=-2xy,Q=2xy C. P=2xy,Q=2xy D. P=-2xy,Q=2xy 二、填空题1、当21ab，5m，3n，则nmmba)(的值为。2、 如果21xy，6n，那么nnyx=。3、 比较大小：10027534 已知22131aaaa则,的值等于5、已知522ba，223232abab 48，则ab_6、15,aa则4221aaa= 三、解答题1、计算：（ 1）20092007200815132)(.)(（2） )22)1)2)(2(xxxxx（ (3)(a b)m 3(b a)2(ab)m (4)()()(111142xxxx (5)zyxzyx3232 (6)1)14)(14)(14(3422、已知x(x1) (x2y) 2求xyyx222的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页12 / 18 3、已知2410aa，求（ 1）1aa。(2)21()aa4、化简求值 :22224412212122121ababbababa（其中2, 1 ba）5、如图，矩形ABCD 被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形面积为4，其他正方形的边长 分 别 为dcba、. 求 矩 形ABCD中 最 大 正 方 形 与 最 小 正 方 形 的 面 积 之 差 . 6、三、因式分解一、知识点讲解：1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解。2、因式分解的方法：（1）提公因式法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页13 / 18 （2）公式法：平方差公式：22()()ababab完全平方公式：2222)(bababa（3）十字相乘法：pqxqpx)(2=。3、因式分解一般思路：先看有无公因式，在看能否套公式首先提取公因式，无论如何要试试，提取无比全提出，特别注意公约数公因提出后计算，因式不含同类项同类合并后看看，是否再有公因现无公考虑第二关，套用公式看项数项数多少算一算，选准公式是关键二项式，平方差，底数相加乘以差无差交换前后项奇迹可能就出现三项式，无定法，完全平方先比划前平方，后平方，还有两倍在中央。二、典型例题：例 1、分解因式：（1）x22x3（ 2）3y36y23y（3）)(3)(2baybax（ 4）3x（ m n） 2（m n）变式练习：1、分解因式：（1）12ab6b （2） x2x（3）5x2y10xy215xy （4）2236a bab（ 5）y（xy）2（yx）3 （6）23(3)(3 )aaa2、应用简便方法计算：（1）2012201 （2） 4.3 199.8 7.6 199.8 1.9 199.8 例 2、分解因式：（1）4a29b2（2）269aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页14 / 18 （3）22) 1(16)2(xx（4）1)25(2)25(2yxyx变式练习：分解因式：（1）162x（2）25a24 （ 3）241a (4) 224129xxyy(5) a22abb2(6)1+t+42t（7）（ 2x1）2（ x2）2 (8) m481n4例 3、分解因式：（1）a3ab2 （2）abbaba232变式练习：分解因式：（1）m34m（ 2）aax2（3）xx823(4)aa5463 (5)mmxmx2422（ 6）2a2 4a + 2 (7)xxx232（8）2336xx (9) 3（xy）227 (10) x（x4） 4例 4、在实数范围内分解因式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页15 / 18 （1）52a（2）322a例 5、给出三个整式2a，2b和ab2（1）当 a=3，b=4 时，求abba222的值；（ 2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解请写出你所选的式子及因式分解的过程变式练习：现有三个多项式：，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解三、巩固练习：A 组一、选择题1、下列各式变形中，是因式分解的是（）Aa22abb21（ab）21 )11(22222xxxxC（x2）（x 2）x24 Dx41（x21）（x1）（x1）2、将多项式6x3y23x2y2 12x2y3分解因式时，应提取的公因式是（）A 3xyB 3x2y C 3x2y2D 3x3y33、把多项式111xxx提取公因式1x后，余下的部分是（）A1x B1x Cx D2x4、下列多项式能用平方差公式分解因式的是（） A 、22ba B、22ba C、22ba D、ba5、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）（ A）xyx2（B）xyx2（C）22yx（D）22yx6、把代数式322363xx yxy分解因式，结果正确的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页16 / 18 A(3)(3 )xxyxyB 223 (2)x xxyyC2(3)xxyD23 ()x xy7、将a210a16 因式分解，结果是（）A（a2）（a8） B（a2）（a8） C（a2）（a8） D （a 2）（a8）8、下列分解因式正确的是( ) A.32(1)xxx xB.26(3)(2)mmmm. C.2(4)(4)16aaa.D.22()()xyxyxy. 二、填空题1、把下列各式进行因式分解：（1）x4x3y=； （2）a2b（ab） 3ab（ab）=；（3）21a3b-35a2b3=_；（ 4）)2()2(6xxx=；（5）m216=；（ 6）49a2 4=；（ 7）22)(4)(9baba=；（8）a216a 64=；（ 9）122244baba=；（ 10）2832xx=。2、若0122aa，则aa422=。3、已知46xyyx，则22xyyx的值为 _。4、如果kaaka则),21)(21(312三、解答题1、分解因式：（1）3164xx（2）xx933 (3)xxx232 (4)2222xxyyz2、在三个整式xyx22，xyy22，2x中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页17 / 18 因式分解，并进行因式分解B 组一、选择题1、下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）Ay249x2B4491x Cm4n2D9)(412qp2、如果多项式x2mxn可因式分解为（x1）（x2），则m、n的值为（）Am1，n2 Bm 1，n2 Cm1，n 2 Dm 1，n 2 3、下列因式分解正确的是（）Aa29b2（ 2a3b）（ 2a 3b） Ba581ab4a（a29b2）（a29b2）C)21)(21 (212212aaaDx24y23x6y（x2y）（x2y3）4、如果 x22axb 是一个完全平方公式，那么a 与 b 满足的关系是（）Aba Ba2b Cb2a D ba25、将（xy）2 5（xy6 因式分解的结果是（）A（xy2）（xy3） B（xy2）（xy3）C（xy6）（xy1） D（xy6）（xy1）二、填空题1、现规定一种运算ababa2，则把yx2的结果进行因式分解。2、边长为a，b 的矩形，它的周长为14，面积为10，则22abba的值为。3、填空：（ 1）x（x21）x21_ (2)x（x20） 64 _ （3）25（pq）210（pq） 1_ (4) m2（xy）n2（yx）=. 三、解答题1、分解因式：(1) 2 2m4 (2) x22x1y2（3）229nmnm（422)(16)(4baba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页18 / 18 2、试猜想139792781能被 45 整除吗？3、分解因式：nxxxxxxxxx)1()1()1 ()1 (1324、下面是某同学对多项式（x24x+2）（x2 4x+6）+4 进行因式分解的过程解：设x24x=y原式 =（y+2）（y+6）+4 （第一步） =y2+8y+16 （第二步） =（y+4）2（第三步） =（x24x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_A提取公因式 B平方差公式C两数和的完全平方公式 D 两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？_（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x）（x22x+2）+1 进行因式分解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页