二次函数的实际应用面积最大( 小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“ 最 ” 字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1运用配方法求最值；2构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3建立函数模型求最值；4利用基本不等式或不等分析法求最值例 1：在矩形ABCD 中， AB=6cm ，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿AB 边向点 B 以 1cms的速度移动，同时点Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cms 的速度移动，如果P、Q 两点同时出发，分别到达B、C 两点后就停止移动（1）运动第t 秒时， PBQ 的面积 y(cm2)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm2 )，写出 S与 t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围（3） t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621) 1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（SttStttttStttty例 2：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1 米宽的门（木质）花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x米，面积为S平方米则长为：xx4342432(米) 则：)434(xxSx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页xx3 4424289)417(42x104340x2176x6417，S与x的二次函数的顶点不在自变量x的范围内，而当2176x内，S随x的增大而减小，当6x时，604289)4176(42maxS(平方米 ) 答：可设计成宽6米，长 10 米的矩形花圃，这样的花圃面积最大例 3：已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中 AF=2 ，BF=1 试在 AB 上求一点P，使矩形PNDM 有最大面积解：设矩形PNDM 的边 DN=x ， NP=y，则矩形 PNDM 的面积 S=xy（2x4 ）易知 CN=4-x ，EM=4-y 过点 B 作 BH PN 于点 H 则有 AFB BHP PHBHBFAF，即3412yx，521xy，xxxyS5212)42(x，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，当 x5时，函数值y随x的增大而增大，对于42x来说，当x=4 时，12454212最大S【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例 4：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4 米的正方形ABCD，点 E、F 分别在边 BC 和 CD 上， CFE、 ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成， 制成 CFE、 ABE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30 元、 20 元、 10 元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH (1)判断图 (2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解： (1) 四边形 EFGH 是正方形图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺 (逆)时针方向旋转90 后得到的，故 CE=CF =CG CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形(2)设 CE=x, 则 BE=0.4 x，每块地砖的费用为y 元那么： y=x 30+ 0.4 (0.4-x) 20+0.16-x- 0.4 (0.4-x) 10 )24.02.0(102xx3.2)1.0(102x)4.00(x当 x=0.1 时， y 有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1答：当 CE=CF=0.1 米时，总费用最省作业布置：1(2008 浙江台州 )某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：米 )与小球运动时间t(单位：秒 )的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度最大h4.9 米 2(2008 庆阳市 )兰州市 “ 安居工程 ” 新建成的一批楼房都是8 层高，房子的价格y(元/平方米 )随楼层数 x(楼)的变化而变化 (x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点 (x，y)都在一个二次函数的图像上， (如图所示 )，则 6楼房子的价格为元/平方米5m12mABCD提示：利用对称性，答案：20803如图所示，在一个直角MBN 的内部作一个长方形ABCD，其中 AB 和 BC 分别在两直角边上，设 AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为 ( D ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页A424m B6 m C15 m D25m 解： AB=x m， AD=b，长方形的面积为y m2AD BC MAD MBN MBMABNAD，即5512xb，)5(512xb)5(512)5(5122xxxxxby, 当5.2x时，y有最大值4(2008 湖北恩施 )将一张边长为30 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体当取下面哪个数值时，长方体的体积最大（C ）A7 B6 C5 D45如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是：35321212xxy，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) A6 m B12 m C8 m D10m 解：令0y，则：02082xx0)10)(2(xxx yOA B MO（图 5）（图 6）（图 7）6某幢建筑物，从10 m 高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙 1 m，离地面340m，则水流落地点B离墙的距离OB 是 ( B ) A2 m B3 m C4 m D5 m 解：顶点为)340, 1(，设340)1(2xay，将点)10,0(代入，310a令0340)1(3102xy，得：4)1(2x，所以 OB=3 7(2007 乌兰察布 )小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55yx的一部分，如图 7 所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（B ）A4.6m B4.5m C4m D3.5m 8某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m2)(1)求 y 与 x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页（2）根据（ 1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(xxy)20(22xx200)10(22x152400x205.12x二次函数的顶点不在自变量x的范围内，而当205.12x内，y随x的增大而减小，当5.12x时，5.187200)105.12(22maxy(平方米 ) 答：当5.12x米时花园的面积最大，最大面积是187.5 平方米9如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n 是大于 1 的整数 )道篱笆隔墙， 要使鸡场面积最大， 鸡场的长应为多少米？比较 (1)(2)的结果，你能得到什么结论？x解： (1)长为 x 米，则宽为350x米，设面积为S平方米)50(313502xxxxS3625)25(312x当25x时，3625maxS(平方米 ) 即：鸡场的长度为25 米时，面积最大(2) 中间有n道篱笆，则宽为250nx米，设面积为S平方米则：)50(212502xxnnxxS2625)25(212nxn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页当25x时，2625maxnS(平方米 ) 由 (1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25 米即：使面积最大的x值与中间有多少道隔墙无关10如图，矩形ABCD 的边 AB=6 cm ，BC=8cm ，在 BC 上取一点P，在 CD 边上取一点Q，使 APQ 成直角，设BP=x cm， CQ=y cm ，试以 x 为自变量，写出y 与 x 的函数关系式ABCD PQ 解： APQ=90 , APB+ QPC=90 . APB+ BAP=90 , QPC=BAP， B=C=90 . ABP PCQ. ,86,yxxCQBPPCABxxy3461211 (2006 年南京市 )如图，在矩形ABCD 中， AB=2AD ，线段 EF=10在 EF 上取一点M，?分别以 EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形 MFGN ，使矩形 MFGN 矩形 ABCD 令 MN=x ，当 x 为何值时，矩形EMNH 的面积 S 有最大值？最大值是多少？解：矩形MFGN 矩形 ABCD MF=2MN =2x EM=10-2x S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 1020x，50x当 x=2.5 时， S 有最大值12.5 12(2008 四川内江 )如图，小明的父亲在相距2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 米的小明距较近的那棵树0.5 米时， 头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为0.5 米答案：如图所示建立直角坐标系则：设caxy2将点)1 ,5.0(，)5.2, 1 (代入，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页caca5 .2)5.0(12，解得5.02ca5.022xy顶点)5.0, 0(，最低点距地面0.5 米13(2008 黑龙江哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为60 米的矩形场地， 矩形面积S(单位： 平方米 )随矩形一边长x(单位：米 )的变化而变化（1）求 S与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当 x 是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？解： （1）根据题意，得xxxxS3022602自变量的取值范围是（ 2）01a，S有最大值当时，答：当为 15 米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225 平方米14(2008 年南宁市 )随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测， 种植树木的利润与投资量成正比例关系， 如图 12-所示； 种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图 12-所示(注：利润与投资量的单位：万元) （1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页的最大利润是多少？解： （1）设=,由图 12-所示，函数=的图像过（ 1，2） ，所以 2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y=，由图 12-所示， 函数2y=的图像过 （2，2） ，所以，故利润2y关于投资量的函数关系式是2221xy；（2）设这位专业户投入种植花卉万元（） ，则投入种植树木(x8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得=21yy+=021a当时，的最小值是14；他至少获得14 万元的利润因为，所以在对称轴2x的右侧，z随x的增大而增大所以，当8x时，z的最大值为3215(08 山东聊城 )如图， 把一张长 10cm，宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2 个同样大小的正方形和2 个同样形状、 同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由解： （1）设正方形的边长为cm，则即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页解得（不合题意，舍去） ，剪去的正方形的边长为1cm（ 2）有侧面积最大的情况设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：即改写为当时，即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2（ 3）有侧面积最大的情况设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2若按图 1 所示的方法剪折，则与的函数关系式为：xxxxy22102)28(2即当时，若按图 2 所示的方法剪折，则与的函数关系式为：xxxxy2282)210(2即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页当时，比较以上两种剪折方法可以看出，按图2 所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm216(08 兰州 )一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图 16 所示 )，拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 17 所示 )，求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带 )，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高 3m 的三辆汽车 (汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由解： （1）根据题目条件，的坐标分别是设抛物线的解析式为，将的坐标代入，得解得所以抛物线的表达式是（ 2）可设，于是从而支柱的长度是米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页（ 3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是过点作垂直交抛物线于，则根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页