学习必备欢迎下载二次函数【知识点八：二次函数解析式的表示方法】1一般式：2yaxbxc （ a，b， c 为常数，0a）；2顶点式：2()ya xhk （ a，h，k为常数，0a）；3两点式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）【注意】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；4已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式【典型例题】1、根据下面条件求二次函数的解析式：（1）抛物线过（1， 6）、（ 1， 2）和（ 2，3）三点；（2）抛物线的顶点坐标为（1， 1），且与y 轴交点的纵坐标为3；（3）抛物线过（1，0），（ 3，0），（ 1， 5）三点；（4）抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3， 2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页学习必备欢迎下载2、把抛物线y=x2+2x3 向左平移3 个单位，然后向下平移2 个单位，则所得的抛物线的解析式为3、二次函数有最小值为1-，当0x =时，1y =，它的图象的对称轴为1x =，则函数的关系式为4、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式为y112x223x53，求小明这次试掷的成绩及铅球出手时的高度【变式练习】1、抛物线y=ax2+bx+c经过 A(1，0)，B(3，0)，C(0，1)三点，则 a= ， b= ，c= 2、抛物线2yxbxc的图象如图6 所示，则此抛物线的解析式为3、已知二次函数2yaxbxc中的xy，满足下表：x210 1 2 y4 0 220 求这个二次函数关系式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页学习必备欢迎下载A O P x y 图 12 3 3 4、如图，已知抛物线与x交于A(1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0， 3)求抛物线的解析式5、已知二次函数的图象与x 轴交于 A（ 2，0）、 B（3，0）两点，且函数有最大值是2（1）求二次函数的图象的解析式；（2）设次二次函数的顶点为P，求 ABP 的面积6已知抛物线2yaxbx 经过点( 33)A，和点 P（t，0），且 t 0（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图 12，请通过观察图象， 指出此时y 的最小值， 并写出 t 的值；（2）若4t，求 a、b 的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页学习必备欢迎下载x y O 7、（ 1）请在坐标系中画出二次函数22yxx的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出22yxx的图象向上平移两个单位后的图象；（3）直接写出平移后的图象的解析式注：图中小正方形网格的边长为 18如图所示， 一个运动员推铅球，铅球在点A 处出手， 出手时球离地面约123铅球落地点在B 处，铅球运行中在运动员前4m 处（即 OC=4）达到最高点，最高点高为3m已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗? 9、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d 表示 h 的函数关系式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页学习必备欢迎下载A B P x y O C（5，4）10、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为25 米时，达到最大高度35 米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为305 米（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式（2）该运动员身高18 米，在这次跳投中，球在头顶上方025 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少? 【提高练习】1、已知二次函数的图象经过()1,1-、()2,1两点，且与x轴仅有一个交点，求二次函数的解析式2、如图，抛物线254yaxaxa与x轴相交于点A、B，且过点(5 4)C，（1）求a的值和该抛物线顶点P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页学习必备欢迎下载0 x y A B C 3、抛物线 y=ax2+bx+c 过点 (0，1)与点 (3，2)，顶点在直线y=3x3 上， a0，抛物线开口向上又当0y时，2230xx，解得1213xx，由此得抛物线223yxx的大致图象如图所示观察函数图象可知：当1x或3x时，0y2230xx的解集是：1x或3x（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：2230xx的解集是 _；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：210x（大致图象画在答题卡上）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页学习必备欢迎下载6、已知关于x的函数21yaxx（a为常数）（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围7、已知抛物线22yxmxm=-+-（1）求证此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）若m是整数，抛物线22yxmxm=-+-与x轴交于整数点，求m的值；（3）在（ 2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B若 M 为坐标轴上一点，且MA=MB，求点 M 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页学习必备欢迎下载【知识点十：二次函数最值与实际问题】1、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当2bxa时，244acbya最值2、 如果自变量的取值范围是12xxx， 那么，首先要看2ba是否在自变量取值范围12xxx内，若在此范围内， 则当2bxa时，244acbya最值； 若不在此范围内， 则需要考虑函数在12xxx范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当2xx时，222yaxbxc最大，当1xx时，211yaxbxc最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1xx时，211yaxbxc最大，当2xx时，222yaxbxc最小3、二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少【典型例题】1、出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出6x个，则当x元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大2、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm23已知抛物线2yaxbxc（a0）的对称轴为直线1x，且经过点212yy1， ，试比较1y和2y的大小：1y_2y（填 “ ”， “ ”或“ =”）4、用6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大? 最大透光面积是多少? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页学习必备欢迎下载5、如图14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为x米（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 米如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是57，花坛其余部分的绿化费用为每平方米002 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少? 最少费用是多少万元? 6、某商品的进价为每件40 元，售价为每件50 元，每个月可卖出210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖10 件（每件售价不能高于65 元）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润? 最大的月利润是多少元? （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200 元? 根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200 元? 图 14 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页学习必备欢迎下载xy(12,36)O 7、如图 1，Rt ABC中，90A，3tan4B，点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC、AC上，且使得四边形APQR是矩形设AP的长为x，矩形APQR的面积为y，已知y是x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2 所示）（1）求AB的长；（2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：张明：图2 中的抛物线过点（12，36）在图 1 中表示什么呢? 图 1 李明：因为抛物线上的点( ,)x y是表示图1 中AP的长与矩形APQR面积的对应关系， 那么 (12，36)表示当12AP时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系赵明：对，我知道纵坐标36 是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了请根据上述对话，帮他们解答这个问题图 2 【变式练习】1、某商品的进价为每件40 元当售价为每件60 元时，每星期可卖出300 件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1 元，每星期可多卖出20 件在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大? 最大利润是多少? （3）请画出上述函数的大致图象RQPCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页学习必备欢迎下载B C N M A 2、如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点 （点M与点AB、不重合） ，过点M作MNBC，交AC于点N，在AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h（1）请你用含x的代数式表示h（2） 将A M N沿MN折叠，使AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为1A，1A MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少? 3、凯里市某大型酒店有包房100 间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100 元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20 元，则减少10 间包房租出，若每间包房收费再提高20 元，则再减少 10 间包房租出，以每次提高20 元的这种方法变化下去（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与 x 之间的函数关系式（2） 为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出 y 与 x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页学习必备欢迎下载E A B G N D M C 【提高练习】1、如图所示某校计划将一块形状为锐角三角形ABC 的空地进行生态环境改造已知ABC 的边BC 长 120 米，高 AD 长 80 米学校计划将它分割成AHG、 BHE、 GFC 和矩形 EFGH 四部分(如图 )其中矩形EFGH 的一边 EF 在边 BC 上其余两个顶点H、G 分别在边AB、AC 上现计划在 AHG 上种草，每平方米投资6 元；在 BHE、 FCG 上都种花，每平方米投资10 元；在矩形EFGH 上兴建爱心鱼池，每平方米投资4 元(1)当 FG 长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等? (2)当矩形 EFGH 的边 FG 为多少米时，ABC 空地改造总投资最小? 最小值为多少? 2、某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD 是矩形， 其中 AB=2 米，BC=1 米；上部 CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点 EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（1）当 MN 和 AB 之间的距离为0 5米时，求此时EMN 的面积；（2）设 MN 与 AB 之间的距离为x米，试将 EMN 的面积 S（平方米）表示成关于x 的函数；（3）请你探究 EMN 的面积 S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页学习必备欢迎下载3、某商场试销一种成本为每件60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现， 销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数ykxb，且65x时，55y；75x时，45y（1）求一次函数ykxb的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元? （3）若该商场获得利润不低于500 元，试确定销售单价x的范围4、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查调查发现这种水产品的每千克售价1y（元）与销售月份x（月）满足关系式3368yx，而其每千克成本2y（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示（1）试确定bc、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（3）“ 五 一” 之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大? 最大利润是多少? 25 24 y2（元）x（月）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122218yxbxcO 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页学习必备欢迎下载5、如图 17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 米，底部宽度OM 为 12 米 现以 O 点为原点， OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“ 支撑架 ” ADDCCB，使 C、D 点在抛物线上， A、B 点在地面OM 上，则这个 “ 支撑架 ” 总长的最大值是多少?6、某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y甲（万元） 与进货量x（吨）近似满足函数关系0.3yx甲；乙种水果的销售利润y乙（万元）与进货量x（吨） 近似满足函数关系2yaxbx乙（其中0aab， ，为常数），且进货量x为1 吨时，销售利润y乙为 14 万元；进货量x为 2 吨时，销售利润y乙为 26 万元（1）求y乙（万元）与x（吨）之间的函数关系式（2）如果市场准备进甲、乙两种水果共10 吨，设乙种水果的进货量为t吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W（万元）与t（吨）之间的函数关系式并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页学习必备欢迎下载7、茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题：出厂价成本价排污处理费甲种塑料2100（元 /吨）800（元 /吨）200（元 /吨）乙种塑料2400（元 /吨）1100（元 /吨）100（元 /吨）每月还需支付设备管理、维护费 20000 元（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨，利润分别为1y元和2y元，分别求1y和2y与x的函数关系式（注：利润=总收入总支出）；（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400 吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700 吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大? 最大利润是多少? 价目品种精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页学习必备欢迎下载1200 800 0 400 y(台) x(元) z(元) x(元 ) 200 160 200 0 图图8为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z与x之间也大致满足如图所示的一次函数关系（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元? （2） 在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益Z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少 ?并求出总收益w的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页