学习必备欢迎下载初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10% 左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式：中， 、 叫外项，、 叫内项，、 叫前项，abcdabcdadbcac()b、d 叫后项， d 叫第四比例项，如果b=c，那么 b 叫做 a、 d的比例中项。把线段 AB分成两条线段AC和 BC ，使 AC2=ABBC ，叫做把线段AB黄金分割， C叫做线段 AB的黄金分割点。 2. 比例性质：基本性质：abcdadbc合比性质：abcdabbcdd等比性质：abcdmnbdnacmbdnab()0 3. 平行线分线段成比例定理：定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1l2l3。则，ABBCDEEFABACDEDFBCACEFDF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例 1. （1）在比例尺是1：8000000 的中国行政区地图上，量得A、B 两城市的距离是 7.5 厘米，那么A 、B两城市的实际距离是_千米。（2）小芳的身高是1.6m，在某一时刻，她的影子长2m ，此刻测得某建筑物的影长是18 米，则此建筑物的高是_米。解： 这是两道与比例有关的题目，都比较简单。（1）应填 600 （2）应填 14.4 。例 2. 如图，已知DE BC ，EF AB ，则下列比例式错误的是：_ AADABAEACBCECFEAFB.CDEBCADBDDEFABCFCB.分析：由，可知，、都正确。而不能得到，DEBCEFABABDDEBCADBD故应选 C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载线，中很显然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比CDEBC例这一性质来写结论，即DEBCADABAEAC例 3. 如图，在等边ABC中， P为 BC上一点， D为 AC上一点，且APD=60 ，BPCDABC123，求的边长解： ABC是等边三角形 C= B=60又 PDC= 1+APD= 1+60APB= 1+ C= 1+60 PDC= APB PDC APB PCABCDPB设 PC=x ，则 AB=BC=1+x ，xxx12312AB=1+x=3 。 ABC的边长为3。例 4. 如图：四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是边长为a 的正方形，（1）求证： AEF CEA （2）求证： AFB+ ACB=45 分析： 因为 AEF 、 CEA有公共角 AEF 故要证明 AEF CEA 只需证明两个三角形中，夹AEF 、 CEA的两边对应成比例即可。证明： （1）四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 是正方形AB=BE=EF=FC=a， ABE=90 ，AEaECa22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载，AEEFaaECAEaa22222AEEFECAE又 CEA= AEF CEA AEF （2） AEF CEA AFE= EAC 四边形 ABEG 是正方形AD BC ，AG=GE ，AG GE ACB= CAD ， EAG=45 AFB+ ACB= EAC+ CAD= EAG AFB+ ACB=45 例 5. 已知：如图， 梯形 ABCD 中，ADBC ，AC 、BD交于点 O ，EF经过点 O且和两底平行，交 AB于 E ，交 CD于 F 求证： OE=OF 证明： AD EFBC ，OEBCAEABOEADEBABOEBCOEADAEABEBABABAB1111BCADOE同理：111BCADOF11OEOFOE=OF 从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论：ADEFBCADBCOE111ADEFBCOEOFEF12ADEFBCADBCOE1111122EFOF即112ADBCEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载这是梯形中的一个性质，由此可知，在AD、BC 、EF中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。例 6. 已知：如图，ABC中， AD BC于 D，DE AB于 E，DFAC于 F 求证：AEAFACAB分析： 观察 AE 、AF、AC 、 AB在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代换，通过，可得：，于是得到，同理ABDADEABADADAEADAEAB2可得到，故可得：，即ADAFACAEABAFACAEAFACAB2证明： 在 ABD和 ADE中， ADB= AED=90 BAD= DAE ABD ADE ABADADAEAD2=AE AB 同理： ACD ADF 可得： AD2=AFAC AE AB=AF AC AEAFACAB例 7. 如图，D为 ABC中 BC边上的一点， CAD= B， 若 AD=6 ，AB=8 ，BD=7 ，求 DC的长。分析： 本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角”的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。解： 在ADC和 BAC中 CAD= B， C= C ADC BAC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载ADABDCACACBC又 AD=6 ，AD=8 ，BD=7 DCACACDC734即DCACACDC34734解得： DC=9 例 8. 如图，在矩形ABCD 中， E是 CD的中点， BE AC于 F，过 F作 FG AB交 AE于 G ，求证： AG2=AFFC 证明： 在矩形 ABCD 中， AD=BC ，ADC= BCE=90 又 E是 CD的中点， DE=CE RtADE RtBCE AE=BE FG AB AEBEAGBFAG=BF 在 RtABC中， BFAC于 F RtBFC RtAFB AFBFFBFCBF2=AFFC AG2=AFFC 例 9. 如图，在梯形ABCD中， AD BC ，若 BCD的平分线CH AB于点 H，BH=3AH ，且四边形 AHCD 的面积为21，求 HBC的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载分析： 因为问题涉及四边形AHCD ，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解： 延长 BA、CD交于点 P CH AB ，CD平分 BCD CB=CP ，且 BH=PH BH=3AH PA ：AB=1 ： 2 PA ：PB=1 ： 3 AD BC PAD PBC ：SSPADPBC19SSPCHPBC12：四边形SSPADAHCD27四边形SAHCD21SPAD6SPBC54SSHBCPBC1227一、填空题 1. 已知abab2295，则ab：_ 2. 若三角形三边之比为3： 5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是_cm 3. 如图， ABC中， D、E分别是 AB、AC的中点， BC=6 ，则 DE=_ ； ADE与ABC的面积之比为：_。 4. 已知线段a=4cm ，b=9cm ，则线段a、 b 的比例中项c 为_cm。 5. 在 ABC中，点D、E 分别在边AB 、AC 上， DE BC ，如果AD=8 ， DB=6 ，EC=9 ，那么AE=_ 6. 已知三个数1， 2，3，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载_ 7. 如图，在梯形ABCD中， AD BC ，EFBC ，若AD=12cm ，BC=18cm ，AE ：EB=2：3，则EF=_ 8. 如图， 在梯形 ABCD中，AD BC ，A=90，BD CD ，AD=6 ，BC=10 ，则梯形的面积为：_ 二、选择题 1. 如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是_ A. 9：16 B. 3：2 C. 3：4 D. 3 ：7 2. 在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a 厘米， 宽 b 厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是 _米2 A. 104mabB. 1042mabC. abm104D. abm2410 3. 已知，如图，DE BC，EFAB ，则下列结论：AEECBEFCADBFABBCEFABDEBCCECFEABF其中正确的比例式的个数是_ A. 4个B. 3 个C. 2 个D. 1 个 4. 如图，在 ABC中， AB=24 ，AC=18 ，D是 AC上一点， AD=12 ，在 AB上取一点E，使 A、D、E三点为顶点组成的三角形与ABC相似，则AE的长是 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载 A. 16 B. 14 C. 16 或 14 D. 16 或 9 5. 如图，在RtABC中， BAC=90 ， D是 BC的中点， AE AD ，交 CB的延长线于点E，则下列结论正确的是_ A. AED ACB B. AEB ACD C. BAE ACE D. AEC DAC 三、解答题： 1. 如图， AD EG BC ， AD=6 ，BC=9 ，AE：AB=2 ：3，求 GF的长。 2. 如图， ABC中， D是 AB上一点，且AB=3AD ， B=75， CDB=60 ，求证： ABC CBD 。 3. 如图， BE为 ABC的外接圆 O的直径， CD为 ABC的高，求证： AC BC=BE CD 4. 如图， RtABC中， ACB=90 ， AD平分 CAB交 BC于点 D，过点C 作 CE AD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载于 E， CE的延长线交AB于点 F，过点 E作 EG BC交 AB于点 G ，AE AD=16 ，AB4 5，（1）求证： CE=EF （2）求 EG的长 参考答案 一、填空题： 1. 19：13 2. 24 3. 3 ；1：4 4. 6 5. 12 6. 只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如：2 222、等。 7. 14.4 8. 16 6二、选择题： 1. C 2. D 3. B 4. D 5. C 三、解答题： 1. 解： AD EG BC 在 ABC中，有EGBCAEAB在 ABD中，有EFADBEABAE ：AB=2 ：3 BE ：AB=1 ：3 EGBCEFAD2313，BC=9 ，AD=6 EG=6 ，EF=2 GF=EG EF=4 2. 解： 过点 B作 BE CD于点 E， CDB=60 ， CBD=75 DBE=30 ，CBE= CBD DBE=75 30=45 CBE是等腰直角三角形。AB=3AD ，设 AD=k ，则 AB=3k，BD=2k DE=k ，BE3k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载BCk6BDBCkk2623，BCABkk6323BDBCBCAB ABC CBD 3. 连结 EC ，BCBC E=A 又 BE是 O的直径 BCE=90 又 CD AB ADC=90 ADC ECB ACEBCDBC即 AC BC=BE CD 4. （1） AD平分 CAB CAE= FAE 又 AE CF CEA= FEA=90又 AE=AE ACE AFE （ASA ）CE=EF （2） ACB=90 ， CE AD ， CAE= DAC CAE DAC ACADAEACACAEAD216在 Rt ACB中BCABAC22224 51664()BC8又 CE=EF ，EG BC FG=GB EG是 FBC的中位线EGBC124精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页