塑性本构关系 在塑性变形中，应力不但与应变有关，还与变形历史过程以及物质微观结构的变形有关。因此，常将此时的应力应变关系称为本构关系，这样更能反映物质本性的变化。塑性力学与弹性力学求解方程的区别在于物理方程，所以本构关系是塑性力学的核心问题。 塑性本构关系就其表达形式而言，分为两个类型:全量理论或形变理论全量理论或形变理论;增量理论或流动理论增量理论或流动理论. 增量理论增量理论主要有：莱维米泽斯（Lvy-Mises）理论和普朗特罗依斯（Prandtl-Reuss）理论。 采用塑性势的概念，将以更一般的方法讨论塑性本构关系。 9-1 建立塑性本构关系的基本要素建立塑性本构关系的基本要素 建立塑性本构关系，需要考虑三个要素： （1）初初始始屈屈服服条条件件，根据这个条件可以判断塑性变形是从何时开始的，以及划分塑性区和弹性区的范围，以便分别采用不同的本构关系来分析。（2）与初始及后继加载面相关连的某一流流动动法法则则。也就是说要有一个应力和应变（或它们的增量）间的定性关系。这个关系包括方向关系（即两者主轴之间的关系）和分配关系（即两者的比例关系）。实际上是研究它们的偏量之间的关系。（3）确定一种描述材料硬化特性的硬硬化化条条件件，亦即加载函数。有了这个条件才能确定应力、应变或它们的增量间的定量关系。上述的（1）、（3）两点已经在第八章中作了详细的介绍。本章就在讨论第（2）点即流动法则的基础上来建立塑性的本构关系。 9-2 弹性本构关弹性本构关系系 1.1.直角坐标形式直角坐标形式2.2.应力强度应变强度形式应力强度应变强度形式 3.3.应力应变偏张量形式应力应变偏张量形式 1.1.直角坐标形式直角坐标形式（9-1） （9-1） 2.2.应力强度应变强度形式应力强度应变强度形式（9-1）（9-2） （9-3） （8-12） 由式（9-1） 可以得出 代入应力强度表达式3.3.应力应变偏张量形式应力应变偏张量形式（9-4） （9-4） （9-5） （9-5） （9-6） （9-5）式中只有五个方程是独立的，需要补充（9-4）式，才与（9-1）式等价。 增量形式为了与塑性本构关系中增量理论的公式相对比和运用，将（9-5） 和（9-4）式写为增量形式： （9-7） （9-8） 9-3 全量理论全量理论 全量理论认为应力和应变之间存在着一一对应的关系，因而用应力和应变的终值（全量）、建立其塑性本构方程。如果我们在简单加载的情况下考察材料的应力应变关系，则塑性变形与非线性弹性变形没有什么区别。所以，全量理论在本质上与非线性弹性理论相似，都是Hooke定律的一个自然推广。历史上，全量理论以伊柳辛伊柳辛（AA）的小弹塑性理论应用最为广泛。“小弹塑性”系为离弹性状态不远，进入塑性状态后，其变形也是小的。 9-3 全量理论全量理论 1.伊柳辛理论 2.全量理论的基本方程及边值问题 3.简单加载定理 4.卸载定律 1伊柳辛理论伊柳辛理论 1943年，伊柳辛提出了一个硬化材料在弹塑性小变形情况下的塑性本构关系，这个理论以下列基本假设为基础：（1）体积变化是弹性的，且与平均应力m成正比。（2）应变偏量与应力偏量成正比（3）应力强度是应变强度的确定函数 （1）体积变化是弹性的（1）体积变化是弹性的，且与平均应力m成正比。总应变为弹性应变与塑性应变之和，即因体积变化始终是弹性的，塑性变形部分的体积变化恒为零，即 （2）应变偏量与应力偏量成正比即 这里只是在形式上和广义Hooke定律相似，和广义Hooke定律表达式（9-5）不同，这里的比例系数比例系数不是一个常数不是一个常数，它和点的位置以及荷载水平有关，即对物体的不同的点，不同的荷载水平，都不相同，但对同一点，同一荷载水平，是常数。所以这是一个非线性关系一个非线性关系。 （3）应力强度是应变强度的确定函数即 （e）根据有关实验证实，在简单加载或偏离简单加载不大时，尽管在主应力空间中射线方向不同，可近似地用单向拉伸曲线来表示。这就是单一曲线假设单一曲线假设。因此，（e）式的函数关系与应力状态无关，只和材料特性有关，可根据该种材料的单向拉伸试验来确定。 （9-9） （9-10） （9-11） 小弹塑性全量理论本构方程小弹塑性全量理论本构方程 （9-12） 全量理论与加载历史的关系对于强化材料，全量理论的应力应变之间存在一一对应关系，最终的应变决定于最终的应力，与加载的历史无关。实际情况一般并非如此，达到最终的应力可以通过不同的加载路径（中间可有强化后的卸载），而最终的应变由于不同加载历史的影响，一般并不相同。若为简单加载，应力分量按同一比例增加，则应变状态与加载历史无关，仅由最终应力状态所决定。所以，简单加载情况下，应用全量理论是正确的。 全量理论的适用范围全量理论的适用范围对于强化材料，全量理论的应力应变之间存在一一对应关系，最终的应变决定于最终的应力，与加载的历史无关。实际情况一般并非如此，达到最终的应力可以通过不同的加载路径（中间可有强化后的卸载），而最终的应变由于不同加载历史的影响，一般并不相同。若为简单加载，应力分量按同一比例增加，则应变状态与加载历史无关，仅由最终应力状态所决定。所以，简单加载情况下，应用全量简单加载情况下，应用全量理论是正确的理论是正确的。 2. 全量理论的基本方程及边值问题全量理论的基本方程及边值问题 平衡方程几何方程本构方程 以上基本方程共15个，求解时还要用到边界条件. （9-15）（9-13）（9-14）全量理论小结对塑性力学的全量理论而言，其边值问题归结为在上述边界条件下求解15个基本方程，以确定15个未知物理量。关于求解方法，和弹性力学相似，也可以采用两种基本解法，即按位移求解和按应力求解。显然，要比弹性力学求解困难得多，因为这里的方程（9-15）是是非非线线性性的的，解题时会遇到数学上的困难。上述是针对塑性区而言的，对弹性区或卸载区应按弹性力学求解，且在弹、塑性区交界面上还应满足适当的连续条件。 简单加载定理简单加载定理 在比例加载条件下，全量理论是正确的。现在提出了一个问题，物体处在什么条件下，才能保证其内部的每个单元体处于简单加载。伊柳辛于1946年提出了简单加载定理，回答了这个问题. 简单加载定理如果满足下面一组充分条件，物体内部每个单元体都处于简单加载之中。这组条件是（1）小变形；（2）材料不可压缩，即（3）载荷按比例单调增长，如果有位移边界条件，则只能是零位移边界条件；（4）材料的 曲线具有幂函数 的形式，其中A和n为材料常数。利用平衡方程，全量理论的本构关系及边界条件，可以证明定理的正确性。 讨论 尽管全量理论有其局限性，但应用比较方便，许多人在非简单加载时也用了全量理论。由于缺乏理论根据，在应用时还必须用实验加以验证，而大部分的实验验证尚能符合，值得令人深思。看来在实际应用中，全量理论的适用范围不限于简单加载。这个范围的确定，以及在这个范围内应用全量理论所引起的误差，都尚需作进一步的研究。 4. 卸载定律卸载定律一、 单向拉伸应力状态的卸载 二、复杂应力状态的卸载 9-4 刚塑性材料的增量理论 在塑性变形阶段，由于塑性变形的不可逆性，使塑性区的变形不仅取决于其最终状态的应力，而且与加载路径（即变形路径）有关。为了对变形的发展过程作出分析，描述塑性变形规律的塑性本构关系，应该是它们增量之间的关系。所以，一般而言，对塑性力学问题，只有按增量形式建立起来的理论，才能追踪整个加载路径来求解。这就是增量理论的出发点。 如果所研究问题的塑性变形远大于其弹性变形，可以略去弹性变形而将构件视为刚塑性材料。适用于刚塑性材料的增量理论，即是Levy-Mises增量理论。9-4 刚塑性材料的增量理论1Levy-Mises流动法则流动法则 2.Levy-Mises理论采用的假设理论采用的假设 3.Levy-Mises理论本构方程及其应用理论本构方程及其应用1Levy-Mises流动法则流动法则 历史上对塑性变形规律进行探讨是从1870年由Saint-Ven-ant对平面应变的处理开始的。他从对物理现象的深刻理解提出了应变增量（而不是应变全量）主轴和应力主轴重合的假设。接着1871年M.Levy引用了Saint-Venant的这个关于方向的假设，并进一步提出了分配关系：应变增量各分量与相应的应力偏量各分量成比例，即 （9-20）式中的比例系数d决定于质点的位置和荷载水平。这一假设在塑性力学的发展过程中是具有很重要意义的，但在当时并没有引起人们的重视，他们的这一成果在他们本国以外很少为人们所知。直到40多年以后，于1913年Von Mises又独立地提出了相同的关系式以后，才广泛地作为塑性力学的基本关系式。后来实验表明，这个关系式并不包括弹性变形部分。所以，现在认为这个关系式是适用于刚塑性体的，就把这个关系式称为Lvy-Mises流动法则。 2.Levy-Mises理论采用的假设（1）在塑性区总应变等于塑性应变（2）塑性变形中无体积变化 （3）塑性应变增量的偏量与应力偏量成正比（4）采用Mises屈服条件 （1）在塑性区总应变等于塑性应变略去弹性应变 （2）塑性变形中无体积变化体积变化基本是弹性的，塑性变形引起的体积改变可以略去不计 （3）塑性应变增量的偏量与应力偏量成正比由于 不计弹性应变不计弹性应变 式中式中dd也是非负的比例因子，随载荷及点的位置而改变。在同一也是非负的比例因子，随载荷及点的位置而改变。在同一载荷同一点对各个方向而言是常数。载荷同一点对各个方向而言是常数。 （9-28） d的确定 将以上两式的分子分母分别平方，并将第二式分子分母平方后各乘以3/2的系数，将其相加就有 称为“等效塑性应变增量” （4）采用Mises屈服条件 刚塑性材料屈服后3.Levy-Mises理论本构方程及其应用理论本构方程及其应用由于在此不计弹性变形，塑性应变即为总应变。将（9-25）式写成一般形式： （9-29） 讨论 在已知应变增量时，由式（9-29）可以确定应力偏量。但由于体积的不可压缩性，不能确定应力球张量，所以就不能确定应力张量。反之，如果已知应力分量，就可以知道应力偏量，但由（9-29）式只能求得应变增量各分量的比值，不能确定应变增量各分量的实际大小。这是因为对于进入塑性状态的刚塑性体，在一定应力下应变可取无数个值。 9-5 弹塑性材料的增量理论1.普朗特罗依斯（Prandtl-Reuss）理论 2.理想弹塑性材料的增量型本构方程3.弹塑性强化材料的增量型本构方程 4.增量理论假设的实验验证 5.增量理论的基本方程及边值问题1.1.普朗特普朗特罗依斯（罗依斯（PrandtlPrandtl- -ReussReuss）理论理论下面将针对不同材料不同材料来确定比例系数d2.理想弹塑性材料的增量型本构方程（9-34）采用Mises屈服条件，为了便于确定d，将其写为以Sx、Sy、Sz分别乘方程（9-34）的左三式，以xy、yz、xz分别乘（9-34）的右三式并相加，再利用（a）、（b）式，即可得出 （a）（b）如令 在此dWd为形状改变比能增量,在塑性变形中dWd恒大于零,从而由式(c)有（d）理想弹塑性材料的增量型本构方程 （9-35）（9-35） 分析理想弹塑性材料的初始屈服面与加载曲面相重合。加载时，应力点位于屈服面上，有新的塑性变形产生 卸载时，应力点由屈服面上退回到屈服面内当应力点位于屈服面内，即处于弹性状态应用如果应力和应变增量已知，从式（d）算出dWd，代入（9-35）后即可求出应力增量的偏张量各个分量和平均应力增量dm，最后求得各个应力增量，将它们叠加到原有应力上去，即得到新的应力水平，它们就是产生新的塑性应变以后的各个应力分量。但另一方面，在已知应力及应力增量时，不能由式（9-35）确定应变增量，而只能确定其各个分量间的比值。只有当变形受到适当的制约的情况下，才有可能确定其应变的大小。这是因为对理想弹塑性材料，在一定应力下应变可以取无数个值。 9-6 塑性势理论塑性势理论 1. 稳定材料和不稳定材料稳定材料和不稳定材料 2. 德鲁克（德鲁克（Drucker）公设及其推论公设及其推论 3. 塑性塑性势理论势理论 图9-3 稳定材料和不稳定材料1. 1. 稳定材料和不稳定材料稳定材料和不稳定材料 稳定材料稳定材料 对图9-3（a）所示材料，随着加载，应力有增量时，产生相应的应变增量，材料是强化的。在这一变形过程中表明附加应力在应变增量上作正功，具有这种特性的材料称为稳定材料或强化材料。 图9-3 稳定材料和不稳定材料请请大家批评指正！大家批评指正！谢谢谢谢 ！9-5 弹塑性材料的增量理论弹塑性材料的增量理论 1. Prandtl-Reuss流动法则流动法则19241924年年L.L.PrandtlPrandtl将将L Lvyvy- -MisesMises关系式推广应用于塑关系式推广应用于塑性平面应变问题。他考虑了塑性状态的变形之中的性平面应变问题。他考虑了塑性状态的变形之中的弹性变形部分，并认为弹性变形服从广义弹性变形部分，并认为弹性变形服从广义HookeHooke定律。定律。而塑性变形部分，假定塑性应变增量张量和应力偏而塑性变形部分，假定塑性应变增量张量和应力偏张量相似且同轴线。张量相似且同轴线。19301930年年A.A.ReussReuss又把又把L.L.PrandtlPrandtl应用在平面应变上的这个假设推广到一般三维问题。应用在平面应变上的这个假设推广到一般三维问题。根据这个假设建立起来的关系称为根据这个假设建立起来的关系称为PrandtlPrandtl- -ReussReuss流流动法则。这个关系式可表示为动法则。这个关系式可表示为 （9-30） 精品课件精品课件！精品课件精品课件！比例系数也是和质点位置和荷载水平有关，所以是一个非线性的关系式。